一维纳米准晶层合梁的非局部振动、屈曲与弯曲研究

原庆丹, 郭俊宏,2

(1. 内蒙古工业大学 理学院 力学系, 呼和浩特 010051;2. 内蒙古工业大学 航空学院, 呼和浩特 010051)

0 引 言

以色列科学家Shechtman于1982年在急冷凝固的Al-Mn合金中观测到了五次对称电子衍射图像,1984年准晶被首次报道后[1],引起了各界的广泛关注．准晶是一种具有特殊对称性,原子常呈定向有序排列,但不具有周期重复性的固体结构[2]．由于原子排列的特殊性,准晶具有很多优异性能,如高硬度、高强度、不黏性、耐腐蚀等[3]．因此,准晶常用作表面改性材料,可涂覆于炊具表面和太阳能工业薄膜等,作为结构材料的增强相,可提升材料的整体性能[4],并且在航空航天、汽车制造等领域也有着广泛的应用[5]．

当准晶材料尺寸为纳米级时,能有效提高结构的强度和韧性．作为一种超微粒子,纳米准晶因其结构精细而具有优异的形态可控性,可以作为各种应用的活性材料[6]．到目前为止,数百种准晶已经被发现[7],随着制备技术的发展,纳米准晶的制备取得了丰富的成果．Barua等[8]采用机械合金化技术制备了Al-Cu-Fe纳米合金,分析了球磨时间和热处理对准晶相形成的影响．Singh等[9]通过冷铸和挤压得到了含有纳米准晶相的Mg-Zn-Y合金,拉伸和压缩时的屈服强度高达400 MPa．由于纳米准晶具有以上性质,因此经常被用来制造纳米器件和纳米传感器等．

梁板结构作为建筑结构中的重要组成部分,吸引了大量学者进行研究．在宏观尺度下,Wang等[10]对具有非理想界面的一维六方准晶层合板的振动和弯曲变形进行了研究,分析了非理想界面参数对材料力学性能的影响．在微纳米尺度下,结构的尺度效应不可忽略[11],经典连续介质力学已不适用于研究纳米结构的力学性能．人们为了更好地研究微纳米材料,提出了考虑尺度效应的偶应力理论[12]、非局部理论[13]、应变梯度理论[14]等理论．基于非局部理论,Waksmanski和Pan[15]导出了具有非局部效应的简支多层准晶纳米板的解析解．Li等[16]研究了功能梯度多层二维准晶纳米板的非局部效应．Zhang等[17]研究了多层一维六方压电准晶纳米板在表面电弹性载荷作用下的静态弯曲变形问题．Sun等[18]通过伪Stroh型公式和传递矩阵法得到了二维准晶层状纳米板非局部振动频率和临界屈曲载荷的精确解．除此之外,很多学者利用其他理论对准晶材料进行了研究,如Guo等[19]研究了具有修正偶应力效应的一维准晶层合板的振动响应．Zhang等[20]基于非局部应变梯度理论,研究了功能梯度多层准晶纳米板的静态弯曲变形问题．

相对而言,关于准晶梁的研究较少,Huang等[21]考虑非局部效应的影响,研究了具有简支和固支边界条件的双层压电准晶纳米梁的静态问题．Li和Xiao[22]基于修正偶应力研究了不同边界条件下一维压电准晶纳米梁的自由振动,分析了边界条件对固有频率的影响．Sun和Guo[23]利用状态空间-微分求积法,研究了一维准晶层合梁在各种边界条件下的振动响应和弯曲变形．基于经典弹性理论,陈韬等[24]将伪Stroh型公式和传递矩阵法相结合,获得了一维六方准晶层合梁自由振动和屈曲问题的精确解．

纳米梁作为重要而常见的纳米结构之一,在微纳机电系统、原子力显微镜[25]、生物传感器和混频器等领域中有着广泛应用．Zhang等[26]提出了级联纳米梁光谱仪设计方案,提高了光谱仪的测量分辨率;Huang等[27]用石墨烯梁加强电池的阳极,增加了锂电池的容量．实验中很难生成块体准晶,一般制备的准晶尺度是微米或纳米级的,准晶与晶体材料组成的复合材料[28-29]可有效提升基底材料的力学性能．Chang等[30]将Al-Cu-Fe准晶合金层与钒层结合形成多层涂层,发现退火后的多层结构由于准晶强化而表现出较高的流变应力．然而,目前缺乏纳米尺度下层状准晶梁理论方面的研究．为了揭示准晶增强纳米复合材料的变形机制,为工程中准晶用于纳米器件的表面涂层和增强复合材料提供科学依据,非常有必要研究纳米准晶层合梁结构的力学行为．因此,本文基于非局部理论,建立纳米准晶层合简支深梁模型,研究了其自由振动、屈曲和弯曲问题的力学行为,结合伪Stroh型公式和传递矩阵法,导出其固有频率、临界屈曲载荷和弯曲变形的精确解,分析高跨比、层厚比、叠层顺序以及非局部效应对准晶层合简支梁力学行为的影响,为纳米准晶结构的设计优化提供了理论依据．

1 问题描述和基本方程

根据准周期方向的维数,可以把准晶分为一维准晶、二维准晶、三维准晶,而它们的结构均为三维的．本文建立一维六方准晶的二维多层深梁模型,梁长为L,宽度为b,总厚度为h,如图1所示,准周期方向沿x3轴方向．

图1 一维纳米准晶层合二维简支梁模型Fig. 1 A 2D layered simply-supported beam for 1D nano-quasicrystals

基于一维准晶的线弹性理论,应变-位移关系为

(1)

其中i,j=x,z(或1,3);下标中的逗号表示求偏导;ui,wi分别表示声子场和相位子场的弹性位移;εij,ωij分别表示声子场和相位子场的应变张量．

在非局部理论中,一维六方准晶的本构关系为[31]

(2)

其中σij表示声子场应力;Hij表示相位子场应力;Cijkl表示声子场弹性常数;Kijkl表示相位子场弹性常数;Rijkl表示声子场与相位子场的耦合弹性常数;∇2是二维Laplace算子,l=e0a是非局部参数,其中a为内部特征长度,e0为与给定材料相关的常数．

运动学方程为

(3)

对于简支的多层准晶纳米梁,声子场和相位子场的边界条件可以写成

u3=w3=σ11=0,x1=0,L．

(4)

(5)

假设多层纳米准晶梁的界面均是完美黏结的,满足如下连续性边界条件:

(6)

2 问 题 解 答

根据简支边界条件(4),一维纳米准晶层合梁的广义位移的通解可表示为

(7)

其中p=nπ/L,a1,a2,a3是待定的未知常数,n为正整数．对于准晶层合梁的自由振动问题,φ=sx3+iωt;对于准晶层合梁的屈曲与弯曲问题,φ=sx3,ω是角频率,s是待确定的特征值．

假设广义应力的一般解为

(8)

引入两个向量a=[a1a2a3]T和b=[b1b2b3]T,通过推导可得到如下控制方程:

{Q+m(1+l2p2)I+s(R-RT)+s2(T-ml2I)}a=0,

(9)

其中

(10)

为了求解控制方程(9),引入中间向量d,

(11)

可得如下特征系统:

(12)

其中

(13)

从式(12)中可以得到6个特征值si(i=1,2,…,6)和特征向量a,b．

利用传递矩阵法[24],可获得广义位移和广义应力的一般解为

(14)

(15)

且

(16)

由于研究的二维准晶梁的结构相对简单,本文采用传递矩阵法,指数函数的数值计算是稳定的．但对于各向异性层状复合材料板、壳等复杂结构,如采用传递矩阵法,指数函数可能会导致数值计算不稳定的现象,为此研究者们提出了新的计算方法,如双变量位置(DVP)法[32]、节点耦合矩阵法和传统矩阵法相结合的方法[33]等．

2.1 振动与屈曲

对梁的自由振动和屈曲问题,梁的上下表面自由,得到

(17)

其中C1,C2,C3和C4是C=PN(hN)PN-1(hN-1)…P2(h2)P1(h1)的子矩阵．当C3的行列式为零时,可求出纳米准晶梁自由振动的固有频率或临界屈曲载荷．

2.2 弯曲

对梁的弯曲问题,梁的下表面是自由的,梁的上表面受到声子场载荷σ33,则边界条件为

t(h)=[0,σ0sin(px1),0]T,t(0)=[0,0,0]T．

(18)

从式(14)可得

(19)

将式(18)和(19)代入式(14)中,即可得到纳米准晶梁任一点处的广义位移和广义应力的精确解．

3 数 值 算 例

我们将考虑由一维准晶Al-Ni-Co(QC1)和另一种一维准晶材料(QC2)制成的QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2两种层合梁,分析高跨比、层厚比、非局部参数、叠层顺序对其自由振动的固有频率和临界屈曲载荷及弯曲变形的影响．QC1和QC2的材料性能[23]如表1所示．

表1 Al-Ni-Co准晶(QC1)和QC2的材料系数

3.1 自由振动

表2 准晶均匀简支梁的前四阶固有频率

Wang等[34]研究了碳纳米管的本构关系和非局部连续力学中小尺度参数,采用梯度法获得材料的非局部参数l=e0a=0.04 nm,其中e0的取值取决于晶格动力学中的晶体结构和物理性质．因此,本文所取的非局部参数的范围是0 nm≤l<0.04 nm,即l/L=0,0.015,0.03．取高跨比h/L=0.1,得到QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2两种叠层顺序下准晶层合简支梁的前四阶固有频率,见表3,其中梁模型各层的厚度均相同．可以看出,在相同阶的固有频率下,随着非局部参数l的增大,准晶层合梁的固有频率呈递减趋势,这是因为非局部效应导致纳米梁的刚度减小,从而降低了固有频率．通过比较两种准晶层合梁的固有频率可以发现,QC1/QC2/QC1层合梁的固有频率比QC2/QC1/QC2层合梁高,所以高弹性常数的准晶因具有较高的刚度更适合用作涂层．

表3 两种叠层顺序下准晶简支梁的前四阶固有频率

图2显示了QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2两种准晶层合简支梁的第一阶固有频率随高跨比h/L的变化．从图中可知:两种纳米准晶层合梁的一阶固有频率随着高跨比的增加而增大,表明增加厚度可以提高准晶层合梁的固有频率．

图2 两种叠层顺序下准晶层合简支梁的第一阶固有频率随h/L的变化Fig. 2 Variations of the 1st-order natural frequency of quasicrystal layered simply supported beams with h/L under two different stacking sequences

图3显示了QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2两种准晶层合简支梁的第一阶固有频率随层厚比h1/h2的变化．从图中可知:在层厚比h1/h2小于1时,两种准晶层合简支梁的固有频率变化幅度较大;当层厚比h1/h2大于1时,固有频率的增长变化趋于平缓．当h1/h2约为0.13时,两种准晶层合梁具有相同的固有频率．随着h1/h2的增大,非局部效应的影响更加明显．

图3 两种叠层顺序下准晶层合简支梁的第一阶固有频率随h1/h2的变化Fig. 3 Variations of the 1st-order natural frequency of quasicrystal layered simply supported beams with h1/h2 under two different stacking sequences

图4为在不同非局部参数l下QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2两种准晶层合梁沿厚度方向的模态,其中umax为u1,u3,w3中的最大值．从图中可以观察到,随着非局部参数的增大,声子场位移模态逐渐增加,而相位子场位移模态逐渐减小,且两种准晶层合简支梁的振型都是关于中间层对称的．

图4 不同非局部参数下准晶层合简支梁一阶模态沿厚度方向的变化Fig. 4 Variations of the 1st mode shape of quasicrystal layered simply supported beams along the thickness direction under different nonlocal parameters

3.2 屈曲

表4 均匀准晶简支梁的临界屈曲载荷

表5 两种叠层顺序下纳米准晶层合简支梁的临界屈曲载荷

图5显示了QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2两种纳米准晶层合简支梁的临界屈曲载荷随高跨比h/L的变化．从图中可以看出,两种纳米准晶梁的临界屈曲载荷均随着高跨比的增加而逐渐增大．

图5 两种纳米准晶层合简支梁的临界屈曲载荷随高跨比h/L的变化Fig. 5 Variations of the critical buckling loads of nano-quasicrystal layered simply supported beams with h/L

图6显示了QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2两种纳米准晶层合简支梁的临界屈曲载荷随层厚比h1/h2的变化．从图中可知,随着h1/h2的增加,QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2的临界屈曲载荷的变化趋势相反．当层厚比h1/h2小于1时,两种纳米准晶梁的临界屈曲载荷变化明显;当层厚比大于1时,临界屈曲载荷逐渐趋于平稳．当h1/h2约为0.13时,两种准晶层合梁具有相同的临界屈曲载荷．随着h1/h2的增大,非局部效应的影响更加显著．

图6 两种纳米准晶层合简支梁的临界屈曲载荷随层厚比h1/h2的变化Fig. 6 Variations of the critical buckling loads of nano-quasicrystal layered simply supported beams with h1/h2

3.3 弯曲

假设在纳米准晶层合梁的上表面仅受声子场载荷作用,即σ0=1 N/m2．图7和8分别显示了两种叠层顺序下广义位移和广义应力沿厚度方向的变化,其中层合梁的尺寸h/L=0.1,且各层的厚度均相同．从图中可以看出,叠层顺序对声子场位移的影响相对较小,而对相位子场位移和相位子场应力的影响较大．随着非局部参数的增加,声子场位移u3的幅值逐渐增大,而相位子场位移w3的幅值逐渐减小．非局部参数对QC1/QC2/QC1相位子场的应力几乎没有影响,但对QC2/QC1/QC2相位子场的应力的影响较大．

图7 声子场位移u3和相位子场位移w3沿层合梁厚度方向的变化Fig. 7 Variations of phonon displacement u3 and phason displacement w3 along the thickness direction of layered beams

图8 相位子场应力沿层合梁厚度方向的变化Fig. 8 Variations of the phason stress along the thickness direction of layered beams

4 结 论

本文基于非局部理论,研究了一维准晶多层纳米梁的自由振动、屈曲和弯曲问题,将伪Stroh型公式和传递矩阵法相结合,导出了简支边界条件下一维纳米准晶层合深梁自由振动、屈曲和弯曲问题的精确解．通过数值算例分析,得出了如下结论:

1) 纳米准晶层合简支梁的固有频率和临界屈曲载荷均随着高跨比的增加而增大,表明厚度的增加可提高纳米准晶层合梁的固有频率和临界屈曲载荷．

2) 随着层厚比的增加,QC1/QC2/QC1层合梁的固有频率和临界屈曲载荷逐渐增大,但QC2/QC1/QC2层合梁的固有频率和临界屈曲载荷逐渐减小．QC1/QC2/QC1层合梁的固有频率和临界屈曲载荷高于QC2/QC1/QC2层合梁,这是由于QC1材料具有较高的刚度,更适用于作表面涂层．

3) 准晶层合梁的自由振动固有频率和临界屈曲载荷均随着非局部参数l的增大而减小,这是因为非局部效应使得纳米梁的刚度减小,从而降低其固有频率和临界屈曲载荷．

4) 叠层顺序对一维准晶纳米层合梁的力学性能有较大影响,特别是对相位子场的影响要大于对声子场的影响．