基于响应面法的换流变压器励磁涌流峰值快速计算分析

吴永恒, 许 尧, 彭明智, 胡永波, 袁洪德, 陈志伟

(1.国网安徽省电力有限公司超高压分公司, 合肥 230022; 2.合肥工业大学电气与自动化工程学院, 合肥 230009)

随着我国电力系统的进步与发展,电网的电压等级、输送容量与输电距离不断提升,在此背景下高压直流输电具有更低的损耗和较高经济性。换流变压器作为高压直流输电中的核心设备,其链接着交流系统和直流系统,工作方式特殊,具有容量大、高膝点工作电压以及剩磁水平高等特点[1]。因此,换流变压器铁心极易饱和,空载合闸时励磁涌流幅值更高、衰减缓慢。励磁涌流可能会使继电保护装置误动作,从而导致变压器合闸失败,严重的可能诱发在运换流变产生和应涌流,进而导致大面积在运保护误跳闸,造成停电事故[2-3]。

为避免换流变压器空投时的励磁涌流导致电力系统继电保护装置的误动作,准确且快速计算出不同剩磁与初始相位角条件下换流变合闸产生的励磁涌流峰值,对电力系统继电保护设备保护值的整定,防止保护装置误动作具有重要意义。目前,变压器励磁涌流的计算主要分为解析法和软件仿真法。方智泉等[1]采用经验解析法对一台高压内置式高阻抗变压器励磁涌流峰值进行计算并与常规变压器励磁涌流峰值比较。黄棋悦等[2]利用PSCAD分析软件对一台110 kV系统变阻抗变压器励磁涌流进行分析,并利用Comsol Multiphysics软件进行应力分析。龚振等[3]提出一种变压器非线性多尺度建模方法,能够在较大时间步长仿真情况下准确刻画励磁涌流非线性特征,从而根据流过铁心的电流与磁链的曲线拟合关系求出励磁电流。任于展等[4]提出了一种基于暂态电流差极值特征的剩磁测量方法,利用有限元软件对待测变压器铁心进行建模和计算。变压器铁心内剩磁具有较高的测量精度,对提高变压器励磁涌流计算精度具有重要意义。解析法计算采用对变压器的铁心和绕组进行磁路等效,计算过程兼顾铁心的磁滞特性,能定性地对变压器励磁涌流进行评估,但定量分析不够准确;软件仿真法,即应用MATLAB、Electro-Magnetic Transient Program(EMTP)和有限元等仿真软件,对变压器铁心参数等的材料进行建模并仿真,进而获取瞬态过程的电流,但不能实时求解[5-6]。

响应面法是一种数据拟合的方法,是数学和统计学的结合产物,常用在改变不同输入参数值的组合,最后达到取得最佳响应值的效果[7]。响应面法凭借其拟合计算的高效性在工程领域有着广泛的应用,在电气工程领域中,其常被用在各种电气设备结构设计和优化中,在模型降阶技术中,响应面法运用在非场量模型数据的实时计算上。

针对上述研究现状,本文提出将响应面拟合计算的方法运用在变压器励磁涌流峰值计算中,将主心柱中心剩磁密度和初始合闸角作为拟合变量,以励磁涌流峰值为响应值,进而实现不同剩磁条件变压器在不同合闸角下励磁涌流峰值的实时计算。首先,基于有限元软件建立一台单相换流变压器仿真模型;其次,以初始合闸角和绕组初始电流(剩磁)为变量在试验设计(design of experiments, DOE)进行多次响应面拟合,得到励磁涌流峰值的响应面模型;最后,比较响应面模型计算值和全阶有限元计算值,验证响应面精度,以期为变压器励磁涌流快速计算分析与电力变压器数字孪生技术研究提供一定的技术参考。

1 基本原理

1.1 励磁涌流分析

变压器合闸前,变压器内的总磁通为剩磁。在合闸瞬间,由于施加了电压必然会产生稳态磁通,根据磁链守恒定理(总磁通不能突变),会产生一个与稳态磁通方向相反、大小相等的暂态感应磁通,此暂态感应磁通与变压器内部的剩磁合成的偏磁,在变压器内随时间缓慢衰减。当偏磁与稳态磁通合成的总磁通超过饱和磁通时,变压器绕组电抗陡降,产生励磁涌流。其励磁特性曲线如图1所示。

图1 励磁特性曲线

假设铁心励磁特性曲线可等效为两段直线,如图1中曲线1和曲线2。进一步考虑线圈匝数后按磁链分析,经过铁心的主磁链由两部分构成:铁心用空气替换(铁心完全饱和)时的磁链ΨH=LHi和铁心磁化(铁心未饱和时)产生的磁链ΨF=μ0WSJ=LFi。其中,i为涌流电流;μ0为磁导率;J为铁心的磁化强度,当铁心完全饱和时J=JSat,JSat为饱和磁化强度;S为铁心截面积;W为绕组匝数。铁心未饱和时,LF=∞;铁心饱和时,LF=0。

B

B≥BSat时,磁化曲线斜率为μ0,此时的磁密B=μ0JSat+μ0H。因此,铁心区域对应的磁链ψI为

(1)

单相变压器合闸接线和等值电路如图2所示。Lk和LH为励磁支路上互感性质的电感;系统电压us=Ussin(ωt+α);因此令饱和互感Mair=LH+Lk。

u1为单相变压器一次侧施加的交流电压;i10为单相变压器空载运行时的一次侧空载电流;i20为二次侧电流;u20为二次侧的电压;Φ为变压器铁心内部流通的磁通;Zs为系统阻抗;Rσ为变压器一次侧绕组的漏电抗;Lσ为一次 侧绕组的漏电抗;RσD为二次侧绕组的漏电抗;LσD为二次侧绕组的漏电抗;Rm为激磁电阻;Lair为空心电感;Mair为饱和互感

磁通分布与等值电路的参数分别对应。铁心饱和时LF=0,则高压绕组自感L11=Lσ+Lk+LH,又称为高压绕组空心电感,定义为Lair。当变压器一次侧施加电压u1=Ussin(ωt+α)时,变压器合闸时电磁方程为

(2)

式中:Us为变压器一次侧施加正弦交流电压的峰值;ω为角速度,ω=2πf;t为时间;α为初相位。

Ψ=Ψs+Ψσ+ΨK+ΨI=(Ls+Lσ+LK)i+φI=(Ls+Lσ+LK)i+WSBI

(3)

式中:R为合闸回路总电阻;Ψ为合闸回路总磁链,包括系统磁链Ψs(Ψs=Lsi)、自漏磁链Ψσ(Ψσ=Lσi)、互漏磁链Ψk(Ψk=Lki)及铁心磁链ΨI(ΨI=WSBI),BI为铁心磁密。Lk+LH为铁心极度饱和后的线性微分电感。

上述公式说明了电感参数和磁链的线性对应关系。绕组通过的磁通越大,对应的电感参数也越大。因此,改变绕组排布会改变等值电路中对应电感参数。具体为:绕组排布越靠近铁心,空心电感Lair越小;绕组排布越远离铁心,则Lair越大。

由式(2)可解得

(4)

式中:Ψr为铁心剩磁磁链(Ψr=WSBr),Br为剩磁磁密。这里仅研究初始涌流幅值大小,衰减影响有限,暂不计回路电阻,式(4)变为式(5)。

(5)

综合式(1)和式(3),可得

Ψ=(Ls+Lσ+Mair)i+μ0WSJSat

(6)

进一步得到

(7)

当Ψ<μ0WSJSat,即B

(8)

式中:L=Ls+Lσ+Mair,用磁密表示为

(9)

式中:Bs=Us/(ωWS)。

从式(9)可以看出,外部条件一致时决定涌流大小的仅仅为分母的L。需要注意的是,这里的L是铁心饱和后的值,比不饱和时的励磁电感小很多。当铁心进入饱和时,铁心电感从一个极大值急剧减小,数值上与绕组的“自漏电感”和“互漏电感”大致相等,因此,涌流幅值对这两者的变化很敏感。

1.2 响应面法

响应面法的基本思想是构造一个具有明确表达形式的多项式来表达隐式功能函数[8]。常用的有一阶多项式形式和二阶多项式的形式,其表达式形式分别为

(10)

(11)

式中:y为目标函数;β0为常数项;βi为一阶系数;βii为二阶系数;βij为二阶交互系数;ε为误差变量;xi为变量;n为参与拟合的变量个数。

高阶多项式函数可以有效地提高数值拟合过程中的平滑度,提高拟合模型的可靠性。一阶模型的精度有限但模型简单。需要在保证模型精度高的同时,满足模型不过于复杂,因此选择二阶多项式形式。

假设待求响应面函数需要进行k次拟合,式(11)可变为如下形式:

(12)

式(12)可以简写成

当地目前市场处于淡季，只有油菜有部分用肥。今年受粮价低影响，农民用肥积极性普遍不高，很少囤肥，所以市场供过于求现象严重。受化肥零增长政策影响，农业用肥量减少，经销商普遍对目前市场走势不看好，期待市场好转后再做打算。此外，目前尿素价格已触底，当地价格已跌破1800元/吨。预计后期肥价将逐渐趋于稳定，并有上涨趋势，预计涨幅在100-150元/吨。

y=Xβ+ε

(13)

可通过最小二乘法使得ε平方和最小,求得

β=(XTX)-1XTy

(14)

2 变压器模型的建立

以一台单相换流变压器为研究对象,对其进行仿真计算,为响应面设计提供计算结果。具体变压器参数见表1。

表1 变压器主要参数

根据上节的理论分析,励磁涌流与合闸角和初始剩磁有关,因此变压器的绕组激励采用参数化设置的方式。本文为等效变压器初始剩磁状态,在激励设置里添加初始电流I0一项,如图3所示。与此同时,添加了合闸角项q,用于模拟不同的初相合闸情况。

图3 变压器仿真模型

3 励磁涌流峰值响应面的生成与分析

3.1 响应面设计

响应面拟合精度很大程度上取决于DOE抽样点的布局,合理的布局设计可以在很大程度上减少所需数据点的数量和提高响应面拟合精度[9]。为使拟合更加平顺,采用抽样效率高的拉丁超立方抽样法(Latin hypercube sampling,LHS)。LHS包含抽样与排列两个过程[10],抽样过程采用点阵抽样(lattice sampling,LS),排列过程采用Gram-Schmidt序列正交化法来消除各行之间的相关性[11-12]。

本文的响应面设计以换流变压器的初始电流I0和合闸角q为变量,以网侧绕组励磁涌流峰值Imax为响应值。具体的拟合变量及其分布范围见表2。

表2 拟合变量及其分布范围

对于采样规模N,采用中心复合设计(central composite design,CCD)方法,其所需运行次数一致为

N=2n-f+2n+np

(15)

式中:n为变量数;f为部分因子;np为中心点运行次数。

根据式(12),拟合变量数n为2,f取0,np取1,计算可得每个变量xk(k=1, 2)需经LHS采样9(22+2×2+1)次,经Gram-Schmidt排列过程,最终生成2×9阶的采样矩阵L, 该矩阵的行代表2中某个变量所有的采样值,该矩阵的列代表所有某一次DOE计算中所有变量的输入值,即响应面拟合需要运行9次DOE计算。为保证响应面模型的拟合精度,利用采用点的误差判断保证拟合精度。具体过程如图4所示。

图4 响应面拟合过程

3.2 响应面结果分析与评估

经过响应面拟合得到响应面模型,如图5所示,显然随着初始电流(剩磁)的增加,励磁涌流峰值急剧增加,随着合闸角的增加,励磁涌流减小。

图5 响应面模型

基于拟合得到的响应面模型,获取了任意变量组合下的响应值预测结果。为验证响应面的预测精度,均匀地抽取了变量区间内的9组数据样本,对励磁涌流峰值Imax进行响应面预测值和实际有限元计算结果比较,如图6所示。

图6 响应面模型精度验证

从图6中可以看出,响应面模型的预测计算值与全阶有限元模型的计算值非常接近,表明响应面模型拟合度高,预测精度好。具体误差上,最大预测误差在5%以内,满足工程精度要求。

3.3 初始电流与剩磁的关系

本文的响应面设计得到了初始电流I0与合闸角之间的拟合关系,但在实际工程中都是测算出主心柱的初始剩磁,并根据剩磁条件估算出涌流大小的。因此,还需研究铁心柱剩磁和本文中的响应面模型中的初始电流变量I0的关系。介于铁磁材料存在高度非线性,初始电流与剩磁Br之间也为非线性关系,因此采用单变量响应曲线去拟合,变量如图7所示。

图7 变量示意图

以不同网侧绕组初始电流为变量,选取主芯柱中间的磁通密度为响应值,拟合出两者的响应曲线模型,拟合变量初始电流I0范围为0～1 000 mA,同样利用LHS抽样法进行变量离散化,经过插值拟合得到图8所示的初始电流和变压器主芯柱剩磁关系的一一映射,结合3.2节中的响应面模型,实现了不同剩磁状态下换流变涌流峰值的快速计算分析。

图8 剩磁-初始电流响应曲线

4 结语

提出一种将响应面拟合计算方法运用在换流变压器的励磁涌流计算上,基于该方法可以实现换流变在不同剩磁条件下的网侧绕组励磁涌流峰值的高效计算。分析了变压器合闸产生的励磁涌流的机理,进而从中提取了关键影响变量参数。展开了响应面拟合试验设计,构建了初始电流、合闸角和涌流峰值之间的响应面关系。经过计算验证比较,响应面预测精度较高,最大误差在5%以内。开展了初始电流变量与铁心柱剩磁之间的关系研究,进而实现不同剩磁条件下换流变压器的励磁涌流高效计算分析。