初中数学反思型教学的实践
——以“锐角三角函数”为例

文| 陈慧静

在传统的初中数学教学中，锐角三角函数是教学的难点，学生往往只是死记硬背或简单地运用公式计算，缺乏对概念的深入理解和灵活运用。传统教学模式的问题在于注重知识的灌输和机械式的记忆，忽视了学生思维能力和创新思维的培养。而反思型教学作为一种新兴的教学模式，强调学生主动性和批判性思维的培养，鼓励学生通过解决问题来深入理解和应用知识。因此，加强反思型课堂教学的探索，对提高学生的数学素养具有重要的意义。

一、传统锐角三角函数课堂教学中存在的问题

传统教学往往偏重于把大量的定义、公式和定理等知识点堆砌给学生，导致学生只会机械记忆和运用，而缺乏对概念本质和应用方法的深刻理解，时间一长学生对sin、cos 等的概念记忆会产生混淆，甚至记不清彼此的比值。传统教学缺乏具体的实际应用和示例分析，导致学生对知识点如何在实际问题中运用不够了解，对知识的理解程度较低。传统教学模式中，教师主导教学，学生被动接受，缺乏自主探究和思维训练的机会，这样的教学模式限制了学生自主学习和解决问题能力的发展。传统教学中，教师往往以单向传授知识为主，学生之间缺乏互动和合作学习的机会，无法培养学生的团队合作精神和交流能力。传统教学往往依赖纸质教材和教具，缺乏新技术支持和丰富的在线资源，限制了教学手段和资源的多样性和适应性。

反思型教学是一种强调学生主动参与和深入思考的课堂教学方法，能够有效解决传统三角函数教学中存在的问题。反思型教学要求学生在学习过程中不仅要掌握知识，还要对所学知识进行思考和反思，从而达到理解知识并运用知识解决问题的目的。反思型教学的优势在于能够激发学生的学习兴趣和学习动力，培养学生的独立思考能力。此外，反思型教学能够帮助学生深入理解知识，提高学习效果和学习质量。同时，反思型教学还能够培养学生的创新意识，提高学生的综合素质和应用能力。因此，反思型教学对培养学生自主学习和解决问题的能力具有重要意义。

二、反思型教学下的锐角三角函数课堂教学实践

（一）引入互动型教学

在传统的锐角三角函数教学中，教师大多是基于多媒体图片、教材资料进行教学导入。这种引入方式虽然能够向学生展示丰富的学习资料，但是缺乏对学生的反馈，无法全面地掌握学生在引入环节的学习状态，不利于接下来的教学开展。通过对传统引入环节的反思，发现互动型教学引入具有明显的优点。互动型教学是一种强调师生互动和学生互动的教学形式，它打破了传统教学中教师单向传授知识的模式，鼓励学生积极参与，并通过互动和合作促进学习。通过师生互动和生生互动，增强了学生的参与感和学习动力，也便于教师掌握学生在课堂引入环节的学习效果。在“锐角三角函数”的课堂导入环节，教师可以借助互动型教学方式，创设具有互动性的课堂引入方式，从而激发学生的学习积极性，帮助教师了解学生的学习状态。

师：同学们，在之前我们已经学习了三角形相似的内容，我现在在黑板上画出一个直角三角形，谁能利用直尺等道具画出一个与之相似的小直角三角形？（选3～4 名学生画直角三角形）

师：很好，我们将大三角形命名为△ABC，小三角形命名为△DEF，如图1 所示。同学们可以猜测一下是什么关系？谁能上台通过直尺测量的方式来验证自己的猜测？

图1

师：很好，由于Rt△ABC∽Rt△DEF，所以∠C=∠F，因此，可以得到在直角三角形中，任意已知锐角其对边与斜边的比值为常数，与三角形的面积大小无关，我们可以将任意锐角命名为α，将其对边与斜边的比值称为sin（正弦），得到

（二）基于虚拟技术的三角函数深度学习

随着技术的发展，虚拟技术开始被应用于初中数学课堂，相较于传统多媒体教学方式，虚拟技术有着无可比拟的优越性。虚拟技术通过三维模型展示几何关系，帮助学生深刻理解三角形三边关系。学生通过观察和操纵虚拟模型来深入理解锐角三角函数的概念和性质。这种视觉化学习可以增强学生对抽象概念的理解，并提升学习效果。使用虚拟技术，学生可以主动参与学习过程，通过触摸、拖动和操作虚拟模型来探索实验，这种互动学习可以激发学生的兴趣，增强学习动力，并促进学生深入思考和探索。虚拟技术可以提供即时的错误纠正和反馈机制。学生在学习过程中难免会犯错误，虚拟技术可以迅速检测和指出错误，并给予相应的反馈。这使学生能够及时纠正错误并加深对概念的理解。

因此，在锐角三角函数教学中可以借助虚拟技术开展课堂教学。虚拟模型和动画可以展示锐角三角函数的运算过程以及锐角大小变化带来的正弦、余弦、正切、余切等函数波形的可视化变化。教师还可以使用虚拟技术进行虚拟实验，让学生自己通过实验来发现锐角三角函数的规律和性质。教师通过调整角度的大小，让学生比较正弦函数、余弦函数和正切函数之间的关系，并探究周期、对称性等特点。教师利用虚拟技术开发练习和测验的应用，让学生能够在虚拟环境中进行相关题目的练习和测验。这种方法可以帮助学生巩固和应用所学知识，同时提供及时的反馈和错题解析。另外，虚拟技术还可以记录和追踪学生的学习成果，了解学生的学习状态，为教师进行个性化的指导和评估提供帮助。

（三）实践运用下的三角函数知识探讨

传统的数学课堂侧重于理论知识的探讨，重点在于帮助学生理解和记忆三角函数的公式，对学生三角函数的实践运用缺乏深入分析。通过对课堂教学的反思发现，实践运用能力在初中数学锐角三角函数教学中不可忽视。通过实际应用，学生可以深入理解概念与原理，培养解决问题的能力，增加学习的动力和兴趣，同时也可以增加学习与生活的联系。因此，在数学课堂中，教师应该注重培养学生的实践运用能力，设计实际应用的问题和情境，引导学生主动探究和应用锐角三角函数的知识，提升学生的数学素养和综合能力。

基于三角函数知识应用的案例设计——旅行中的山坡角度测量

背景：小明和小红在一次山区旅行中发现山坡上有一座瀑布非常壮观。为了更好地欣赏瀑布，他们希望通过测量自己所站的位置与水平面的夹角来确定两个观赏点的高度差。

任务：通过测量自己所站的位置与水平面的夹角，计算并比较小明和小红所选观赏点的高度差，如图2 所示。

图2

提示：

1.将山坡视为直角三角形，小明和小红的观赏点分别视为三角形的顶点。

2.假设小明和小红所站的位置与山坡平面的直线距离已知，需要计算他们观赏点的高度差。

3.建议使用锐角三角函数中的正切函数来计算夹角，使用三角函数的性质来计算高度差。

此案例旨在让学生应用锐角三角函数的知识，通过测量与水平面的夹角，计算观赏点的高度差。通过实际测量和计算，学生可以理解角度与高度差之间的关系，并应用三角函数的定义和性质进行计算。这个案例与实际生活中的测量和测角问题有关，可以培养学生的实践应用能力和解决问题的能力。

（四）跨学科模式下三角函数作业设计

在多元文化的发展视角下，加强数学学科与其他学科的结合是提升学生数学素养、培养数学综合型人才的关键。跨学科理念在初中数学课堂的运用有助于提升学生学习兴趣、提高学生综合能力、丰富学生知识结构，提高数学实用性、增强课程整体性。教师应根据学科的特点和学生的需求，合理融入其他学科的内容和方法，创造多样化的学习场景，促进学生跨学科思维和综合运用能力的发展。例如，在锐角三角函数教学时可以结合初中地理内容，要求学生对太阳能板的倾斜角度进行设计。

背景：某学校计划在校园内的建筑物上安装太阳能板，以利用太阳能发电。为了能够最大限度地接收太阳光，并提高太阳能板的效率，需要合理设计太阳能板的倾斜角度。假设学校所在地的纬度为x 度，请根据给定纬度和尽可能全面的信息（如太阳的运行轨迹、一年中不同季节太阳高度角的变化等），确定太阳能板的最佳倾斜角度。

任务：设计太阳能板的倾斜角度，使其在一整年内能够最大化接收到太阳光。

提示：

1.使用锐角三角函数计算太阳高度角和太阳光的入射角等相关参数。

2.讨论太阳能板的倾斜角度与太阳能源收集效率的关系，提出你的建议和解释。

该案例能够让学生应用锐角三角函数的知识，通过计算和分析，设计太阳能板的倾斜角度，使其能够最大化接收到太阳光，提高太阳能板的效率。这个案例与现实生活中的可持续能源利用紧密相关，可以培养学生实践应用能力和解决问题的能力。

（五）在线学习下的三角函数项目研究

与传统数学教学相比，在线学习模式可以为学生提供更加灵活的学习方式。学生可以根据自己的时间和地点选择学习。这种灵活性可以让学生更好地安排学习时间，提高学习效率和自主学习能力。在线学习平台通常具备个性化学习功能，根据学生的学习进度、兴趣和能力，推荐适合学生的学习资源和内容，从而更好地满足学生的学习需求和差异化的学习风格，提升学习效果。在线学习模式可以提供丰富多样的学习资源，如视频教学、多媒体教材、在线练习等。学生通过不同形式的学习资源进行知识的深入理解和掌握，增强学习的趣味性和互动性。

因此，数学教师可以利用在线学习方式组织学生开展与锐角三角函数相关的项目研究。设定一个与锐角三角函数相关的项目主题，如建筑物的高度测量、海上航行的方向计算等。确保项目主题能够激发学生的兴趣，并与实际生活和应用场景联系紧密。通过在线学习平台提供学习资源，如电子书、视频教学、网站链接等，帮助学生理解和掌握锐角三角函数的概念、公式和性质。此外，教师还应提供相关的指导材料，如研究项目的要求、步骤和评价标准，以帮助学生规划和开展项目工作。

学生利用在线学习资源和实地考察等方式收集与项目主题相关的数据。例如，使用锐角三角函数的知识，在实验室内设置合适的条件，测量光线在不同角度入射时的反射、折射等现象。这些实践活动可以帮助学生将理论知识应用到实际中，深化对锐角三角函数的理解。利用在线学习平台数据处理工具，对收集到的数据进行整理和统计分析。借助绘图软件绘制图表，观察数据之间的关系，并与锐角三角函数的知识进行关联，发现规律和结论。利用在线学习平台上的博客、论坛、演示文稿等工具，将本团队的项目研究结果进行整理。通过撰写报告、制作海报、录制视频等形式，分享本团队在项目中的发现和成果，与同学和教师进行交流。

三、总结

通过反思型教学的实践，学生在锐角三角函数的学习中取得了明显的进步，培养了批判性思维和创新能力，为进一步应用数学打下了坚实的基础。因此，反思型教学在初中数学教学中具有重要的价值。同时也需要关注反思型教学模式的实施问题，进一步完善和推广反思型教学，在促进学生全面发展的同时，提高整体数学教学水平。