2021年盐城市中考压轴题的解法探究与启示

刘 敏

(扬州大学数学科学学院,江苏 扬州 225002)

近年来,图形的旋转变换已成为中考试题的热点之一,现有大量文章基于旋转变换多种模型进行研究,常见的旋转模型有“手拉手”模型、“夹半角”模型和“对角互补”模型[1].经对比发现,通过旋转来实现点的坐标变换的这一类题型中隐含着“手拉手”模型.“手拉手”模型指共顶点且两个顶角相等的等腰三角形(或等边三角形)组成的图形,图形中两个顶角相等,若它们减去(或加上)公共部分后所得的角相等[2],则可构造全等三角形.本文研究的题型中隐含“手拉手”全等三角形模型.

1 原题呈现

学习了图形的旋转之后,小明知道,将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α,能得到一个新的点P′,经过进一步探究,小明发现,当上述点P在某函数图象上运动时,点P′也随之运动,并且点的运动轨迹能形成一个新的图形.

初步感知如图1,设点A(1,1),α=90°,P是一次函数y=kx+b图象上的动点,已知该一次函数的图象经过点P1(-1,1).

图1 函数

2 解题思路分析

深入感悟由旋转可知,本题应分类讨论点P的位置,分为三种情况,当点P的横坐标小于-1时,当点P的横坐标大于-1小于0时,当点P的横坐标等于-1时.由于P是反比例函数上的动点,运用中学知识很难求出旋转后点的运动轨迹.当点P的横坐标小于-1时,基于旋转性质可得OP=OP′,∠P′OP等于直线OM与x轴形成的锐角,则它们减去公共部分∠MOP后所得的角仍相等,联想到构造“手拉手”全等三角形模型,添加同样的辅助线,过点P作PN⊥x轴于点N,抓住“手拉手”模型的两个等腰△OP′P和△OMN,构造全等三角形,以静制动,将无法确定的动点P′转化为已知运动轨迹的动点P,根据全等三角形性质即将△OMP′的面积转化为求△ONP的面积,再运用反比例函数k的几何意义即可得到答案.当点P的横坐标大于-1小于0时,∠MOQ和∠P′OP加上公共部分∠MOP后所得的角仍相等,即∠POQ=∠P′OM,同理可构造“手拉手”全等三角形模型.在思考该题时,可紧扣“以静制动,构造全等,巧妙转化”.

灵活运用运用中学知识,很难求出二次函数图象上的动点P绕点A顺时针旋转60°后点P′的运动轨迹,故“反其道而行之”,运用逆向思维,将点B、C绕点A逆时针旋转60°后得到点B′、C′,将求△BCP′面积的最小值转化为求△B′C′P面积的最小值.由旋转的性质可知△ACC′和△ABB′是等边三角形,顶角∠B′AB和C′AC减去公共部分∠C′AB后所得的角仍相等,则构造“手拉手”全等三角形模型,即△ABC和△AB′C′全等,即可求出线段B′C′的长度和B′C′的函数表达式.需求△B′C′P面积的最小值,即求点P到直线B′C′的距离最小值,因为点到直线之间垂线段最短,从而发现当平行与B′C′的直线与抛物线相切时,切点到直线B′C′的距离最小,此切点与点B′、C′组成的三角形面积最小.在思考该题时,可紧扣“逆向思考,巧妙转化”.

3 问题解析

图4 过点P作PN⊥x轴与点N

图5 过点P作PQ⊥x轴与点Q

图6 过点P作PH⊥x轴与点H

图7 连接AB, AC,将点B、C绕点A逆时针旋转60°

4 解题反思

关于上述解题过程中,所提到的以静制动,并不是把动点转化为定点,此时的“静”并不是绝对的静止,而是运用逆向思维的方法后,此时的点可能还是动点,但更易于掌握,也就相当于“静”了[4].例如,在[灵活运用]中,我们难以求出动点P′的运动轨迹,但我们已知动点P的运动轨迹,因此保持二次函数不动,将点B、C逆时针旋转60°后可得到B′、C′将求解△BCP′的面积最小值转化为求解△B′C′P的面积最小值,大大降低了求解的难度.因此,这里提到的“以静制动”的实质就是将难以掌握的“动”转化为已知的“动”,最终化繁为简,将直线的“动”和函数图像的“动”,最终都看作是点的“动”.

5 教学启示

5.1 夯实基础,注重知识的综合运用,组织专题复习

一道压轴题蕴含多个知识点,例如上述试题综合考查了函数图象与性质、图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、一元二次方程的根、三角形面积求解等多个知识点.教师研读教材时如果能够从系统角度思考,着眼于知识之间的联系与规律,把表面看来不相同的概念、定理、法则,通过数学本质的揭示,使之处于一个统一体中,会有意外的收获[5].因此,教师在中考数学复习时要组织专题复习,注重知识点之间的联系,运用框架法梳理知识,帮助学生进行有效的知识迁移,进一步实现数学知识间的同化.

对数学知识的深刻理解关键还是在学生的自我建构,为了促成这种建构,通过对经典问题的系列变式、深度探究就是一条有效的途径.教师的教学不能“照本宣科”完全按照教材去教,要结合学生实际,对教材内容再创造,再组织.为了防止题型的机械练习,教师应围绕考点创造性地挑选试题,分析题干的条件和结论,鼓励学生积极思考、主动参与、拓展思维、合作探究、归纳总结,提高复习效率,做到“解一道题会一类题”,真正实现问题解决.

5.2 抓住解题关键,深入探究解题思路

通过上述研究,“图形旋转—点的坐标变换”这一类题型,解题的关键主要有以下几点:一是当难以求出旋转后P′的运动轨迹时,会用转化思想和逆向思维,根据旋转的性质转化为易于求解的问题.二是抓住旋转的特殊角45°,60°,90°,120°等,巧用旋转角,构造特殊图形(等腰直角三角形、等边三角形等)简便计算,体现了数学的构造思想.例如,在[深入探究]中,巧用45°角,直线y=-x绕点A逆时针旋转45°后恰好与x轴重合,大大降低了画图和计算难度.三是学会添加常用辅助线,构造图形中隐含的“手拉手”全等三角形模型,利用全等三角形面积相等的性质转化问题的求解.在课堂中,教师可以运用信息技术的演示或者实物的操作,让学生感悟图形变化的基本特征,并且知道平移、轴对称、旋转不改变图形的大小和形状.

5.3 巧用逆向思维,探索解题新路径

首先,逆向思维的培养不是一蹴而就的,应渗透于平时的教学环节中.例如,几何性质定理和判定定理中存在许多互逆命题,如角平分线定理,在教学中,教师应抓住时机,让学生感受到数学知识间存在的双向关系.其次,逆向思维应在数学应用过程中培养,例如数学运算中存在很多互逆思想,加法法则可以转化为减法法则.最后,反证法也是一种常见的逆向思维的运用.

6 结束语

逆向思维的培养需要经历一段时间的训练,让学生在潜移默化中形成双向思考,突破思维定式,激发数学学习兴趣,以获得解题的新途径,最终提高学生的逆向思维能力.