“双减”政策背景下以题串知助推中考高效精准复习
——以二次函数复习课为例

刘凤至

(广州市真光中学,广东 广州 510380)

在中考数学复习中,很多教师反映复习课难上,复习课往往变成了试卷讲评课,结果会的学生原先就会,不会的学生练得再多也还是不懂,复习课演变成了“炒夹生饭”.在“双减”政策背景下,如何既减轻学生的课业负担,又可以提高中考数学复习效率,成了初中数学教师思考的热门话题.笔者认为,中考数学复习课的主要目标应该是引导学生回顾知识并梳理知识之间的联系,形成知识结构,锻炼数学思维,提升对知识的整体理解,深化数学思想方法,增强数学活动经验.基于此,笔者借助“以题点知”的形式,助推中考数学复习达到高效精准的效果.

1 了解中考动态,提升复习的方向性

俗话说,想给学生一滴水,教师要有一桶水.在带领学生进行中考复习时,作为一名教师,首先要了解《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《2022年版课程标准》)对复习内容的基本要求,了解复习内容在中考的考查方式及考点分值占比.与《义务教育数学课程标准(2011年版)》(下称《2011年版课程标准》)相比,《2022年课程标准》在《二次函数》这一章突出了实际问题的情境研究,提到了会利用特殊点画二次函数图象的草图;通过图象了解二次函数的性质,知道二次函数的系数与图象形状和对称轴之间的关系;会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标;通过顶点式,得出二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值,解决简单的实际问题.《2022年课程标准》更加突出了二次函数图象的性质,增强了数形结合思想[1].

“知己知彼,百战不殆”.笔者通过对广州市近六年中考数学试题分析发现,二次函数在中考中的地位很高,每年考查分值都在15分之上,主要在第24题或第25题中出现,是中考数学压轴题,主要考查二次函数的综合性问题.尤其是2022年,在第24题和第25题都涉及二次函数的综合运用.

2 以题串知,构造知识体系

2.1 抛砖引玉,争做小老师

问题1 如图1,观察二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,你能从中得到抛物线的什么信息?请同学们做小老师,提出问题,找同学们作答.学生争先抢做老师,进行提问,最后通过图象大家一起得出10条结论:①抛物线开口向上;②对称轴为直线x=3;③与y轴的交点为(0,-7);④与x轴的交点为(7,0),(-1,0);⑤可求得抛物线的解析式为y=x2-6x-7;⑥顶点坐标为(3,-16),也是抛物线的最低点;⑦二次函数有最小值-16,此时x=3;⑧一元二次方程x2-6x-7=0有两个不等实根,x1=-1,x2=7;⑨当x>3时,y随着x的增大而增大;x<3时,y随着x的增大而减小;⑩当x>7或x<-1时,y>0,当-1

图1 抛物线图象示意图

表1 2011年版与2022年版课程标准比较分析

表2 广州市近六年中考对二次函数的考查情况

教学解读:在问题1中,学生通过观察函数图象,以小老师提问的形式,系统地回顾了本章的知识,通过数形结合,达到以形助数,以数辅形的目的,从而提高学生分析问题和解决问题的能力.

2.2 实践与探索,学会构造

问题2 如图2,直线l与抛物线G交于点A和点C,根据图象可以得到哪些结论呢?请小老师们提出问题,并找同学们进行解答.

设抛物线G与x轴的另一个交点为B.通过小老师的提问,学生归纳总结出本题的8条结论或问题.①直线l与抛物线G的交点坐标为A(7,0),C(0,-7);②根据A,C两点的坐标可以求出直线AC的解析式为y=x-7;③求出S△ABC=28;④求当x-7>x2-6x-7时,自变量x的取值范围为07;⑥设抛物线的顶点为D,求四边形BCDA的面积;⑦在对称轴上有点E,使BE+CE最小,求点E的坐标;⑧将直线AC向左平移2个单位后,求平移后的直线与抛物线的交点坐标.

教学解读:通过添加一条直线,让问题1从考查一个函数的有关知识过渡到了考查两个函数之间关系的问题2.在教学过程中,更有小老师结合八年级“将军饮马”的知识,提出了线段和的最小值问题,超出了笔者在设计这题时的预期.

追问1 如图3,点P为AC下方抛物线上一点,过点P做平行于y轴的直线MP,交AC于点M,求线段PM长度的最大值.

图3 直线 MP与抛物线G示意图

追问2 如图4,点P为AC下方抛物线上一点,过点P做平行于y轴的直线,交AC于点M,求△PAC面积的最大值.

教学解读:追问1和追问2是动点问题,对学生而言具有一定的难度.其主要考查利用铅垂高或水平宽求线段长度、二次函数与线段长、铅垂法求面积的最值问题、二次函数与线段长的最值问题等知识.

2.3 感悟与拓展提高

图5 △PAC的面积最大示意图

本题是一道存在性问题,已知三角形的面积,求点坐标.本题主要考查二次函数与线段长、面积之间的关系,利用铅垂高或水平宽即可求得线段长度.

3 总结

3.1 回归课本,重视对概念的理解

在中考备考复习中,要立足教材和课程标准,不能忽略重要数学概念的复习,需要理解概念的各种表达形式和相互间的转换,如二次函数的概念及其一般形式、顶点式、交点式.复习时要紧跟中考的步伐,练习时要紧扣中考真题,复习内容既要全面,又要做到细而实.帮助学生对基础知识、基本技能进行梳理,使之系统化、完整化.

3.2 联系已学知识,重视对性质的理解

在复习中,首先多创造机会让学生亲自动手参与画图,学会自己将文字语言转化为符号语言、图形语言;其次可以通过列表法、思维导图等方法对比记忆各种性质定理,可以结合之前学习的内容进行比较理解.

3.3 养成检查习惯,重视答题的规范性

注重学生解题过程的书写规范和养成检验的习惯.代数运算中,必要的检验可以提高解题的正确率.在复习过程中要规范学生的数学表达,强调答题的规范性要求[2].