利用“两点之间线段最短”解决最值问题

陈礼弦

(贵州省贵安新区普贡中学,贵州 贵安新区 561113)

与线段之和或差有关的几何最值问题是中考热点,通常以中考压轴题的形式出现,具有一定的选拔性功能,对学生而言具有一定的难度.这类问题是教学的难点,是核心素养的重点考查对象[1].在初中数学教学中,教师该如何引导学生利用“两点之间线段最短”解决最值问题呢?根据笔者多年的教学经验,只要弄清三个数学模型,学生在解决这类问题时便会收到事半功倍之效.

1 模型1 “一线两点”型

1.1 利用“两点之间线段最短”求线段和的最小值

1.1.1点在直线两侧时,线段和的最小值问题

例1 如图1,两定点C、D位于直线a两侧,在直线a上找一点M,使得MC+MD的值最小.

图1 点在线段两侧示意图

解析如图2,连接CD交直线a于点M,点M就是所找的点.理由是“两点之间线段最短”.

1.1.2点在直线同侧时,线段和的最小值问题

例2 如图3,两定点C、D位于直线a的同侧,在直线a上找一点M,使得MC+MD的值最小.

图3 点在直线同侧示意图

解析如图4,作点D关于直线a的对称点D′,连接CD′与直线a交于点M,点M就是所找的点.显然,将直线a同侧两个定点转化为两侧两个定点,便可以利用点在直线两侧时线段和的最小值问题的处理方法解决最值问题.

1.1.3模型应用

例3 如图5,已知△DEF中,DE=DE,GH是DE的垂直平分线,M是GH上一动点,点N是EF的中点,如果DE=13,△DEF的周长是36,求EM+MN的最小值.

图5 例3题图

1.2 利用“两点之间线段最短”求线段差最大值

1.2.1点在直线同侧时,线段差的最大值问题

例4 如图7,两定点M,N位于直线b的同侧,在直线b上找一点H,使得|HM-HN|的值最大.

图7 点在直线同侧示意图

解析如图8,连接MN并延长与直线b交于点H,点H就是所找的点.

1.2.2点在直线两侧时,线段差的最大值问题

例5 如图9,两定点B,C位于直线l的两侧,在直线n上找一点M,使得︱MB-MC|的值最大.

图9 点在直线两侧示意图

解析如图10,作点C关于直线n的对称点C′,连接BC′并延长与直线n交于点M,点M就是所找的点.显然,将已知直线两侧的两个定点转化为同侧的两个定点,便可以用同侧线段差最大值的方法解决问题.

1.2.3模型应用

例6 如图11,在正方形DEFG中,DE=6,点I是对角线EG上靠近点E的三等分点,点H是DG边上的一点,且GH=2.J为EF上一点,连接JH、JI.

图11 例6题图

①在图中画JH-JI的最大值时点J的位置(为区分点J,请用字母J’标记);

②求JH-JI的最大值.

解析如图12,连接HI并延长交BC于点J′,则点J′即为所求作的点.

2 模型2 “一定两线”型

2.1 利用“两点之间线段最短”求周长最小值

例7 如图13,点D是∠BOC的内部一定点,在OB上找一点N,在OC上找一点M,使得△DMN的周长最小.

图13 例7题图

解析如图14,分别作点D关于OB、OC的对称点D′、D″,连接D′D″,交OB、OC于点N、M,点N、M便是所找的点.

2.2 利用“两点之间线段最短”求线段和的最小值

例8 如图15,点M是∠DEF的内部一定点M,在ED上找一点A,在EF上找一点B,使得MB+AB的值最小.

图15 例8题图

解析如图16,作点M关于EF的对称点M′,过点M′作ED的垂线,分别与ED、EF交于点A、B,点A、B是所找的点.

2.3 模型应用

例9 如图17,在Rt△BCD中,∠BCD=90°,DC=6,BC=8,DE是∠BDC的平分线.若M、N分别是DC、DE上的动点,求NC+NM的最小值.

图17 例9题图

3 模型3 “一定长,两定点”型

3.1 异侧线段和最小值问题

例10 如图19,已知直线a∥b,直线a和直线b之间距离为c,在直线a和直线b上分别找点A、B两点,使AB⊥a,且MA+AB+BN的值最小.

图19 例10题图

解析如图20,将点M向下平移c个单位到M′,连接M′N交直线b于点B,过点B作BA⊥l1于点A,点A、B两点是所找的点.

3.2 同侧线段和的最小值问题

例11 如图21,在直线a上找A、B两点(A在B左侧),使得AB=k,且MA+AB+BN的值最小.

图21 例11题图

解析如图22,将点M向右平移k个单位到点M′,作点M′关于直线a的对称点M″,连接M″N交直线a于点B,将点B向左平移k个单位到点A,A、B两点是所找的点.

4 结束语

在初中数学教学中,教师引导学生经历并弄清“一线两点”型、“一定两线”型、“一定长,两定点”型最值问题的求解方法,不仅能够提高学生分析问题和解决问题的能力,而且能够使教师的教学效果达到“教是为了不教”之目的[2].