几何图形面积计算的几种常用方法

吴仕为

(福建省福鼎市第八中学,福建 宁德 355215)

与几何图形面积有关的计算问题主要考查学生的数学思维与计算能力,由于几何图形的变化灵活多样,从而导致大部分学生对这类问题感到困难与茫然,尤其是在计算不规则图形的面积时,学生很难快速获取解题突破口.实际上,解决与几何图形有关的面积问题时,只要充分掌握常用方法,熟悉常用解题套路,便能够高效完成问题解答.鉴于此,文章围绕典型的几何图形面积计算问题,分析求几何图形面积的几种常用方法.

1 巧用平移法计算几何图形的面积

平移法,顾名思义是通过图形的横向、纵向水平运动进行解题,即把几何图形中的部分进行切割,然后使其横向或纵向水平运动到恰当位置,进而重新组合成常见的规则几何图形,然后利用规则图形的面积公式求解,以此达到简化解题难度的目的[1].在实际解题过程中,学生可以通过观察几何图形的结构特征,快速判断是否需要利用平移法计算面积.

例1 如图1,现有一块长度为32 m、宽度为20 m的矩形地面,需在地面上按照阴影区域设计修建道路,其余非阴影区域用于绿化设计,若绿化设计面积为540 m2,请问道路修建的宽度应为____m.

图1 矩形地面构造示意图

学生在遇到此类不规则图形的面积问题时,通过观察已知图形便能够快速发现其结构特征,可考虑利用平移法,将不规则几何图形转化为规则的基本图形,然后利用规则图形的面积公式求解面积.基于此,本题有两种求解计算方法,求解过程如下.

方法1 如图2,将不规则图形经过平移变为三个规则的矩形,通过平移与组合阴影部分的图形,能够得到两个规则的阴影矩形.假设道路的宽度为xm,结合题目条件能够列出(20-x)(32-x)=540,这是一个关于x的一元二次方程,解此方程即可得到问题的答案.

图2 平移变为三个规则的矩形

解法1 设道路宽度为xm.根据题意,得(20-x)(32-x)=540,即x2-52x+100=0,解得x1=50(不合题意,舍去),x2=2.故道路的宽度应为2 m.

方法2 如图3,将不规则图形平移变换为四个规则的矩形,此时绿化设计面积被分成四个规则的矩形,根据题目中的已知条件能够得到20×32-(20+32)x+x2=540,这是关于x的一元二次方程式,解此方程即可得到问题的答案.

图3 平移变换为四个规则的矩形

解法2 设道路宽度为xm.根据题意,得20×32-(20+32)x+x2=540,即x2-52x+100=0,解得x1=50(不合题意,舍去),x2=2.故道路修建的宽度应为2 m.

通过典型例题讲解可以发现,利用平移法解决不规则几何图形的面积问题时,平移的方式不同,可能会得到不同的解题思路.教师应抓住典型例题的“一题多解”思路,进一步拓展学生的数学逻辑思维,进而引导学生突破固有思维限制.

2 巧用旋转法计算几何图形面积

旋转法主要应用于构造直角三角形、全等三角形等基本图形求面积问题,这种解法的基本原理是面积的旋转不变性[2].

例2 如图4,点P是等边△ABC内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,则△ABC的面积是( ).

图4 等边△ABC示意图

根据总结的旋转法解题技巧,应找到旋转中心.根据等边三角形边长的性质易知AB=BC,故可考虑以点B为旋转中心,将△BPC逆时针旋转60°,可得到△BEA,如图5所示.由旋转的性质可得BE=BP=4,∠PBE=60°,进而能够判断△BPE是等边三角形,PB=PE=4,∠BPE=60°.此时,在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,利用勾股定理的逆定理能够判断△APE是直角三角形,即∠APE=90°,进而能够计算出∠APB的度数.过点A作AF⊥BP,交BP的延长线于点F,利用三角函数可计算出AF及PF边长,再次利用勾股定理可得出AB边长,最终利用三角形面积公式计算得到△ABC的面积.

图5 旋转变换后的图形

解因为△ABC是等边三角形,所以BA=BC.以B点为旋转中心,把△BPC逆时针旋转60°得到△BEA,连接EP,过点A作AF⊥BP,交BP的延长线于点F,则BE=BP=4,PC=AE=5,∠PBE=60°,所以△BPE是等边三角形,所以PB=PE=4,∠BPE=60°.

在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,所以AE2=PE2+PA2,所以△APE是直角三角形,∠APE=90°,所以∠APB=150°,所以∠APF=30°.

3 巧用分割法计算几何图形面积

在计算几何图形面积的过程中,分割法较为常用,其本质是对原图添加合适的辅助线,从而达到将原图分隔为若干个规则的几何图形,如直角三角形、等腰三角形、正方形、长方形等,然后利用规则图形的面积公式解决问题,从而求得原图形的面积.

例3 已知⊙O为△ABC的内切圆,其中F、D、E分别是AB、BC、AC边上的切点,若BC=x、AC=y、AB=z,⊙O的半径为R,请计算△ABC的面积S.

图6 分割后的△ABC示意图

4 巧用“补”法计算几何图形面积

“补”方式与“割”方式相反,“割”是指将原几何图形分割为若干个常见的规则图形,而“补”是指利用添加辅助线方式,将原不规则图形转化为规则图形,利用规则图形的面积公式直接求解,从而达到降低实际解题难度的目的.同时也能够根据不同的“补”的方式,将原不规则图形转化为多样化的规则图形,进而为学生提供多元化的解题路径.

图7 不规则阴影部分示意图

分析本题目主要考查正方形性质与旋转性质,故借助图形的旋转不变性、正方形的性质即可实现求解.如图8所示,这是基于“补”方式处理后的示意图.图8中AECB为直角梯形,基于此便可以利用题目中所给条件与直角梯形相关公式完成阴影部分面积的分析与计算.

图8 将阴影部分“补”成规则图形

5 结束语

综上所述,解决几何图形面积计算问题,对提高初中生数学成绩、强化学生解题能力与数学思维十分有利.因此,教师应积极通过典型的几何图形面积计算问题的讲解与解析,帮助学生充分掌握常用的几何图形面积计算方法,进而总结解题方法和技巧,熟悉常规题型的解题套路,实现快速、正确解题.