大单元整合设计中考备考教学新格局
——以二次函数综合问题的解题思路为例

黄秀英

(福建师范大学第二附属中学,福建 福州 350015)

与二次函数有关的综合性问题考查的知识点多,求解难度较大,常常以中考压轴题的形式出现.在初中数学教学中,为了提高学生解答二次函数综合问题的能力,教师应做好题型的分类,讲解不同题型的解题思路,并结合具体实例,展示解题思路的具体应用,给学生带来良好的启发.

1 周长问题

周长问题在二次函数综合问题中较为常见,其中求解周长的最大值或最小值是中考的热点问题.这种类型问题的求解思路为:利用二次函数与几何图形知识判断需求解图形的类型,灵活利用一次函数与二次函数关系式,求出关键点的坐标与线段长度之间的关系.一方面,可考虑构建二次函数,利用二次函数性质求解;另一方面,可考虑利用相关模型或借助图形之间的等量代换求解.利用二次函数性质求解时需确定自变量的取值范围,借助图形求解时需灵活利用相关图形的几何性质[1].

(1)求二次函数的解析式;

(2)P为二次函数图象第一象限部分上的一点,且∠PAB=∠OCA,求点P点坐标;

图1 例1题图

问题(3)思路:分析四边形CEFP由哪几条线段构成,确定长度不变的线段,将重点放在长度可变的线段上.结合最短路径模型,通过点的平移、对称,确定点的具体位置,然后利用一次函数知识求解.

2 面积问题

求三角形的面积是二次函数综合类问题中的重点问题.解答该类问题的关键在于灵活运用三角形面积求解公式,其主要思路为:根据题意确定三角形是特殊三角形还是一般三角形,运用直线和抛物线之间的关系,求出线段长度、点的坐标.求解一般三角形的面积时可采用分割法、补形法,以达到化难为易,顺利解题的目的[2].

例2 如图3,抛物线y=x2+bx+c(b、c为常数)的顶点为C,与x轴交于A、B两点,A(1,0),AB=4,点P为线段AB上的动点,过点P作PQ∥BC交AC于点Q.求:(1)该抛物线的解析式;(2)△CPQ面积的最大值.

问题(1)思路:给出的抛物线解析式y=x2+bx+c中含有两个参数,并给出其图象上两点坐标,采用待定系数法可求得b、c的值,易得抛物线的解析式为y=x2+2x+3.

问题(2)思路:求出点C的坐标及直线BC、AC的方程.设出点P的坐标,由PQ∥BC,表示出直线PQ的方程,将其和直线AC联立,求解点Q的坐标.分别表示出△APC和△APQ的面积,则S△CPQ=S△APC-S△APQ,将问题转化为求二次函数的最值,易求得S△CPQ的最大值为2.

3 角度问题

二次函数综合类问题中的角度问题考查的内容主要有:特殊三角形的性质,包括直角三角形、等腰三角形、等边三角形;三角形全等、三角形相似、勾股定理等.解答该类问题的思路为:根据题意运用直线与抛物线、三角形之间的关系求出相关参数,必要情况下可以作出辅助线,以三角形相似、全等为依据,求出线段长度、角度.

例3 如图4所示,在平面直角坐标系xOy中,抛物线图象过点A(3,0),B(0,3),且其图象的对称轴为直线x=2.如图动点C,D分别在x轴上方和下方的抛物线上运动,且满足∠CAO=∠DAO,连接CD和x轴交于点E.求:(1)该抛物线的解析式;(2)当点C、D运动时,∠CEO的度数是否发生变化,若不变化求出sin∠CEO的值;若变化,求出∠CEO的变化范围.

图4 例3题图

问题(1)思路:设出抛物线的顶点式方程,而后将A、B两点坐标代入其中,求出对应参数.

问题(2)思路:根据已知条件画出函数图象,设出C、D两点坐标,由∠CAO=∠DAO构造相似三角形,利用三角形相似的性质确定C、D两点坐标,利用待定系数法求出直线CD的方程,然后表示出点E坐标以及sin∠CEO,得出结论.

4 判断形状问题

判断图形形状类的二次函数综合问题需结合图形性质进行分析.解答该类问题的思路为:根据题干创设的情境,以直线、二次函数图象为依托,求出相关图形边或角度,根据边、角度关系作出判断.

例4 如图6,二次函数图象的顶点P(3,3),其与x轴交于点A(6,0),点B在图象上,OB与二次函数图象的对称轴l交于点M,点M、N关于点P对称,连接BN、ON.

图6 例4题图

(1)求该二次函数解析式;

问题(2)思路:根据已知条件分别求出点N与点B的坐标,运用两点间的距离公式求三角形边长的平方,根据勾股定理逆定理判断其形状即可.

5 结束语

二次函数综合问题虽然难度较大,但只要有明确的思路,并不难突破.解答二次函数综合问题需具体问题具体分析,灵活运用几何图形性质、直线与二次函数图象之间的内在联系求出关键线段的长与关键点的坐标,必要情况下利用三角形全等、三角形相似、勾股定理等知识,便可找到解题切入点.