借助概念图 解答数学题

钟志伟

(昆山市新镇中学,江苏 昆山 215300)

初中数学在学生整个学习生涯中起着承上启下的作用.通过解决数学问题,不但能够考查学生对知识的理解和掌握情况,而且也是检验数学教师教学效果的重要方式.数学问题给出的条件是学生建构解题思维的切入点,结论则是解决问题的目标.学生只有调动所学知识与技能,突破解题障碍,才能达成上述解题目标.概念图作为展现知识间结构关系与思维的图形,将其应用于解题中,可提升学生思维的灵活性,提升解题效率.

1 借助概念图,串联数学知识

概念图具有显著的层级结构特征,即概念图以分层形式直观清晰地展示知识点间层级关系.部分领域的知识相互交叉连接,此交叉连接在创建新概念图时直接表明知识概念间的跳跃性.与此同时,概念图也能直观展现师生情感状态,反映概念图创建者与学习者思想情感品质[1].

事实上,在解题中应用概念图旨在帮助学生明确问题的前因与后果,其中解决问题前提条件为前因,后果即为运用所学数学知识获得的正确答案.教师指导学生运用概念图时,需先列出题目设置问题和给出的前提条件,并在前提条件与设置问题间梳理所学数学知识点之间的关系,然后学生再自主绘制概念图,梳理解题脉络及探索知识点组合成解题方式.学生在绘制概念图中可增强串联知识能力,提升解题效率.在解答几何证明题时应用概念图,可使其串联知识点的优势得到充分体现.

以“直角三角形全等的判定”为例,教师运用例题展示证明直角三角形全等的解答过程时,可运用概念图划分证明步骤,使学生清晰地认识每个步骤对应的知识原理.即先证明三角形为直角三角形,然后证明任意一对对应边与对应锐角相等,或两条对应边相等,最后获得全等结论,如图1所示.教师在解题中按照最初划分的解题步骤,形成完整性与系统化的知识体系.学生通过概念图可直观认识直角三角形全等证明方法.事实上,证明直角三角形全等时已将证明一般三角形全等的对应角相等的条件省略,只需对任意一条对应边相等证明并从中获得结论即可[2].教师运用概念图梳理证明直角三角形全等的思路,当学生在解题陷入困境时就可由概念图将思维转至题目,再按照顺序解答.

图1 直角三角形全等证明的概念图

2 借助概念图,培养解题习惯

初中数学教师可指导学生针对不同类型题目积累解题经验.一道题目的解答分为四个步骤:第一步即理解题意,该环节也称为审题,明确题目给出哪些条件,需要解答什么问题,从题目中获取解答此题目的逻辑起点、推理目标等信息;第二步为探索解题思路,即挖掘题目条件与结论之间的数学联系,将条件与结论的推理验算作为重点;第三步为书写表达,即梳理解题思路后运用文字表达;第四步为回顾反思,所谓反思即脱离自身认知,作为“第三者”观察自身在刚才做了哪些事情,把自身活动作为思考对象,再从解题层面和学会解题层面进行回顾反思.

例1 如图2,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2CD,对角线AC⊥BD,垂足为点F,过点F作EF∥AB,交AD于点E.求证:四边形ABFE是等腰梯形.

图2 例1题图

解析按照上述四大解题步骤进行解题,解题过程如图3所示.

图3 等腰梯形证明概念图

首先,理解题意.需明确题目共有几个条件以及有何数学含义.此题条件很长,有四个独立条件:四边形ABCD为直角梯形;两底边满足AB=2DC;对角线AC⊥BD;EF∥AB.本题需证明的结论为:四边形ABFE为等腰梯形,其涵盖的数学含义有三个:①EF∥AB;②直线BF与AE不平行;③AE=BF.其中①②是已知条件,故证明本题的关键是证明③成立.显然,需明确题目条件与结论之间的数学联系以及属于何种结构.其次,探索思路.运用分析法,挖掘多余条件.如图2所示,因为AD和BD的交点是D,因此,欲证四边形ABEF为梯形,可通过证明△DAB是等腰三角形来证明梯形ABFE为等腰梯形.如图2,过点D作DG⊥AB于点G.因为四边形ABCD为直角梯形,所以GD∥BC,CD∥BG,所以四边形BCDG为平行四边形.因为AB=2CD,所以BG=AG.由此可见,在△DAB中,DG既是AB边上的高,又是AB边上的中线,所以△DAB为等腰三角形.上述解题思路中尚未应用对角线,说明其为多余条件.再次,书写表达.如图2所示,过点D作DG⊥AB于点G.在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,所以四边形BCDG为平行四边形,所以BG=CD,因为AB=2CD,所以BG=AG,所以点G是AB的中点.又因为DG垂直AB,AE与BF相交于点D,所以四边形ABFE为等腰梯形.最后,回顾反思.解答此题时分为两大步骤,先证明四边形BCDG为平行四边形,再证明梯形ABFE为等腰梯形.整个证明过程运用理解题意、探索思路、书写表达等步骤,明确思考方向,思维也呈现可视化,同时在解题中运用转化与数形结合思想,有效积累解答图形问题的经验,从而提升解题能力.

3 借助概念图,实现举一反三

在解答初中数学主观题时,应用概念图的目的是让学生捋顺数学知识点之间的结构关系.根据顺序明确标注解题步骤及需开展的解题工作,顺利剥离解题过程,形成系统解题体系,促使学生归纳总结适合自身学情的解题方式,提升其解题能力.

在初中数学教学中,教师运用概念图指导学生解题时,要结合图形理清已知条件与所求量之间的关系,规范概念图绘制,明确逻辑关系推理方向,使学生总结正确、规范且适合自身学情的解题技巧,避免在解题初期就出现方向性错误.与此同时,教师需积极鼓励学生在习题练习中尽可能严谨规范地利用绘制概念图的方式分析和解答问题,熟练梳理知识点之间的逻辑关系,增强运用概念图分析问题的能力,提升学生举一反三的解题能力.例如,在解答与勾股定理相关的题目时,学生只需根据勾股定理即可简单分析解答方式与顺序等问题,再利用概念图的方式在问题旁边罗列知识点及对应的解题步骤,从而顺利解答问题.

例2 工人在一块直角梯形的草坪边修建一条从点A至点D再至点C的小路,其中AB为直角梯形两个直角的公共边,已知AD=4 m,AB=12 m,BC=9 m,部分行人为减少路程,沿路线AC行走,但此方式对草坪造成破坏,请问路人少走了多少米路?

分析上述题目可得知,问题重点考查勾股定理知识.若将直角梯形补为长方形,即可运用勾股定理获得DC=13 m.连接AC,则△ABC是直角三角形,根据勾股定理得出AC=15 m,所以路人少走的路为4 m+13 m-15 m=2 m.学生运用概念图解答可有效降低题目难度,有利于学生分析题目中的已知条件和所求量之间的关系,然后基于逻辑顺序顺利完成问题解答.

例3 如图4,点C为线段A与B的中点,点D在线段BC上,其中DB=4,AD=6,求CD长度.

图4 例3题图

在教学中,可借助如图5所示的概念图分析思考问题.

图5 例3概念图

结合题目条件,运用以下思路分析解决.其一,采取综合法.从已知条件至所求结论思考问题.根据线段AD与DB的长即可求得线段AB的长,添加中点条件可获得AC的长,再根据AD的长可求出CD的长.其二,采取分析法.即从所求结论过渡至已知条件.由AD-AC即可获得CD的长,只需求得AC或BC的长,即可求出AB的长.其中AB=AD+DB,AD与DB为已知条件.其三,通过已知与结论进行分析,通过线段AD与DB长获取线段AB的长,运用中点定义求出线段AC与BC的长,然后求出AD-AC即可求出线段CD的长.在此过程中已求出AC、AD、BC、DB.上述三种思路均可顺利解题,以下为规范解题表达方式.

因为AD=6,BD=4,所以AB=10.因为点C为线段AB的中点,所以AC=5,所以CD=1.

为强化学生思维,教师可对原题进行变式,然后要求学生运用概念图分析解答.

变式1 如图4,点C为线段AB的中点,点D位于线段BC上,AD=6,CD=1,求线段BD长度.

变式2 如图4,点C为线段AB中点,点D位于线段BC上,BD=4,CD=1,求线段AD的长.

上述变式题能够锻炼学生运用概念图分析问题和解决问题的能力.最重要的是,学生在解题中能够充分感悟互逆命题,发展其思维能力,提升其解题水平.学生在解答部分常见题目时,会不可避免地出现思维定式.为此,在初中数学学习中,除了教师的指导和督促外,更需要学生自我不懈坚持与努力.在数学学习中,受应试观念的影响,学生接触的题型较为单一,且鲜少有变化,这不利于培养学生灵活的解题思维.概念图作为清晰、直观的网络结构知识导图,应用于解题过程中,可发挥梳理知识与理解知识作用,促使学生高效解题.

4 结束语

总之,在初中数学解题中,应用概念图可概括加工各种数学概念,直观形象地反映知识点间组织结构与逻辑关系,引领学生在脑海中构建系统化数学知识体系,深入理解数学知识点.