初中数学教材中“二次函数”内容的设计与分析

吴阳 王家正

摘要：教材是教师理解教学内容和培养学生思维能力的有效媒介，本文中以“人教版”“康轩版”“singlee版”初中数学教材中“二次函数”为研究对象进行分析，得出三版教材的编排既有普遍一致性，又有其各自的特色，其中二次函数图象和性质的呈现方式有两种.第一种是借助各形式间的关系，遵循从特殊到一般的过程；第二种是运用类比推理，注重知识的系统性.通过对比分析三版教材的特点，为教师开展教学设计或实践提供更为广阔的视野或启发.

关键词：初中数学；教材；二次函数

“函数”作为初中阶段数与代数领域的三大主题之一，是学生初步形成抽象能力和推理能力的重要载体.在“函数”内容中“二次函数”是教学的难点，也是学生理解的难点，根本原因在于二次函数的学习需要学生具备一定的数形结合思维，而初中生对“数”和“形”的认识还存在一定的困难.本文中选取人民教育出版社（以下简称“人教版”）、中国台湾康轩文教事业版（以下简称“康轩版”）及新加坡singlee版（以下简称“singlee版”），就“二次函数”内容的设计进行梳理及分析.

1 三个版本的教材梳理

“人教版”教材在学习二次函数概念的基础上，引导学生通过函数图象学习性质.章头图以喷泉喷水画面为情境，呈现喷出的水珠曲线形似二次函数图象，并带着三个情境问题进入本章的学习.设计思路如下：第一课时“二次函数”，通过对章封面三个问题的解答，引入二次函数的概念、表达式.第二课时“y=ax2的图象和性质”，利用描点法画出a取不同值的函数图象，总结出a>0及a<0时图象的开口方向、对称轴、顶点等性质.第三课时“y=a（x－h）2+k的图象和性质”与第四课时“y=ax2+bx+c的图象和性质”设计思路同上.第五课时“二次函数与一元二次方程”，在引入问题情境的基础上，探讨函数与方程根的关系，引导学生从二次函数的角度认识一元二次方程，通过二次函数y=ax2+bx+c，深入探讨一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式.第六课时“实际问题与二次函数”，利用二次函数的图象和性质，刻画实际问题中变量之间的关系，从而获得实际问题的答案.

“康轩版”教材从一幅插图入手，插图呈现投篮时球所经过的路径，引入“抛物线”这一概念.设计思路如下：第一课时“二次函数的意义”，在回顾一次函数概念的基础上，通过正方形边长与面积的关系阐释二次函数的概念.第二课时“二次函数的图形”，分别介绍了y=ax2，y=ax2+k，y=a（x－h）2，y=a（x－h）2+k四种不同形式下二次函数的图形，先对不同系数下的解析式通过描点法画出函数的图形，再归纳总结其性质.第三课时“配方法与二次函数的图形”，利用第三册学过的配方法将二次函数的一般式化成形如y=a（x－h）2+k的式子，进而掌握它的图形.第四课时“二次函数的最大值与最小值”，以y=a（x－h）2+k（a＞0）为例，由x-h=0时判断出函数的最小值，再推出二次函数的顶点就是函数图形的最低点.第五课时“二次函数图形与两轴的交点”，根据x，y轴上的点的纵坐标、横坐标分别为0，得出图形与x，y轴的交点坐标；由判别式Δ=b2－4ac、图形的顶点及开口方向，判断图形与x轴交点的个数.第六课时“应用问题”，以函数数问题为例并解答，给出应用二次函数求解实际问题的解题步骤，即设未知数、列式、求值、作答.

“singlee版”教材第二、三册均涉及二次函数的内容，其中第二册“二次函数的图象”，通过三个探究、四个例子探索二次函数的概念、图象与性质.设计思路如下：探究1，借助正方形的面积与其边长之间的关系，利用几何软件呈现y=x2的图象，引出二次函数这一概念.探究2，同样先用绘图软件分别绘制出y=x2，y=－x2的图象，再探究图象的性质，引出二次函数的一般形式.探究3，在几何软件上通过改变一般式中a，b，c的值，得出系数和图形形状、位置的关系.四个例子分别对图象与两轴交点坐标的求解、a＞0时一般式图形的绘制、a＜0时一般式图形的绘制、二次函数的实际应用给出解决方案.第三册“二次函数的图象”，继续学习形式为y=（x－h）（x－k），y=－（x－h）（x－k），y=（x－p）2+q，y=－（x－p）2+q的图象和性质，方法同第二册一般式的学习，通过使用绘图软件呈现出各形式的图形，再结合图象探究其性质.

2 分析

在整个单元中，二次函数的图象和性质是重点，也是培養学生数学思想方法的突破口.通过上述三个版本的编排可以看出，二次函数图象和性质的教学方式有两种形式：一种是借助二次函数各形式间的关系，按从简单到复杂、从特殊到一般的顺序来探讨；另一种是运用类比推理，先掌握探索一般式下图象和性质的方法，再以此方法继续讨论二次函数的交点式、顶点式，注重知识的系统性.如“singlee版”教材，从探索y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质到探究y=（x－h）（x－k），y=（x－p）2+q，优点是利于学生将新知识纳入到已有的知识体系中，从而建立起知识间的联系.关于二次函数各形式的呈现顺序，三版教材并无二致.“人教版”“康轩版”教材均从y=x2开始，利用平移关系接着探讨y=ax2，y=ax2+k，y=a（x－h）2，y=a（x－h）2+k，再通过配方法将一般式y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，进而掌握它的图象和性质，其优点在于结合二次函数各形式间的关系，在揭示数学知识的本质特征和内在联系的同时，也强化了学生对数形结合思想的理解.

“人教版”教材将二次函数分为三大板块，即二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程、实际问题与二次函数.相比于“康轩版”和“singlee版”，“人教版”将二次函数与一元二次方程单独作为一课时，引导学生理解一元二次方程与二次函数的区别和联系.如，二次函数与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根；由一元二次方程根的情况，可以确定二次函数图象与x轴的位置关系；一元二次方程中x的值最多有两个，而二次函数中x，y之间的对应值有无数组.经历知识产生、发展的过程可以使学生感受知识是如何生长出来的.教材这样的教材安排，有助于学生实现函数与方程的相互转化，利用函数与方程的思想解决问题.

“康轩版”教材的特点在于增设了“二次函数的最大值与最小值”“ 二次函数图形与两轴的交点”这两小节，从二次函数的图形特征、一元二次方程的公式解及判別式出发，再回到函数性质中去，让学生经历借助直观图形理解抽象的二次函数的过程.对比“人教版”，两版教材都将方程与函数思想贯穿于教材中.不同的是，“康轩版”教材先通过判别式Δ=b2－4ac来判断一元二次方程根的个数，再由求根公式得出图形与x轴交点的坐标，强调用数学语言刻画函数性质.“人教版”教材则是通过二次函数图象看出其与x轴的位置关系，进而确定一元二次方程根的情况，强调函数图象与性质的联系.

数和形是数学的两大支柱，用信息技术勾勒图形、研究图形，可以把代数原理形象地表达出来.“singlee版”教材巧妙地将信息技术应用于教学中，并在教材中提供电子资源网址供学生探索，借助其形象、直观、生动的特点，引导学生观察不同参数下图形的变化.教材探究的思路与“人教版”“康轩版”类似，都是先呈现同一变量不同取值下的图形，再观察其形状、位置的变化，最后得出二次函数的性质.但不同的是，该版本中图形的呈现不依附于教材，而是通过几何软件实现，其开口方向、对称轴、最值、截距也一目了然，使抽象难懂的二次函数生动形象地展示给学生，学生更易发现其中存在的数学规律.

3 几点启示

“二次函数”这部分教材内容，主要涉及二次函数的概念、图象、性质以及其他相关知识，同时也涉及相关数学思想方法的研究.教师通过引入实际问题帮助学生形成函数概念，引领学生经历从实际问题中抽象出数学知识的过程.在研究函数性质时，并非直接将性质呈现给学生，而是借助直观图形学习二次函数的性质，通过图象探索函数与方程的关系，以此体会数形结合思想在二次函数中的应用，进而促进抽象思维的形成.

“人教版”和“康轩版”教材都有从函数的角度来讨论一元二次方程.两版教材都是将函数图象与方程的解（根）进行联系.这种螺旋上升的编排结构可以使方程与函数有机结合，层层深入，渗透函数与方程思想，有助于学生实现函数与方程之间的相互转化.《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出在“互联网+”时代，教师应注重信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果.对于“singlee版”教材使用几何软件辅助学生学习，教师在实际教学中有效融入信息技术，可以帮助学生从多方位认识函数的特点，把握函数的本质.