类比迁移 提升能力 落实素养

李明树

1 教材内容分析

义务教育阶段数学课程内容由数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个学习领域组成.初中阶段，图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题.圆是平面几何中基本的图形之一，它不仅在“图形与几何”领域中有着重要地位，而且是进一步学习其他数学知识的重要基础.《义务教育数学课程标准（2022年版）》对圆有10点要求，其中“④了解三角形的内心与外心.⑥能用尺规作图：過不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形”.苏科版九年级上册第二章“对称图形——圆”是在小学学习圆的基础上，系统地研究圆的概念、性质，与圆有关的位置关系，正多边形和圆，圆的有关计算及证明.教材中，本节课程的“操作与思考”部分是通过“过一个点、两个点、三个点作圆”的探究活动，类比“两点确定一条直线”的研究方法，进而得到“不在同一直线上的三点确定一个圆”的结论；“尝试与交流”部分是运用尺规作图作任意三角形外接圆并发现三角形的外心的位置特征，其实质是运用了数学中转化的数学思想方法，促进学生理解尺规作图的原理是垂径定理的运用.

2 学情分析

九年级学生在知识储备和思维能力上均逐渐趋于丰富和成熟.学生在学习本章之前，通过对称、平移、旋转以及推理等方式认识了点、线、面、角、相交线、平行线及三角形、四边形等“直线型”几何图形的性质，积累了一定的数学活动经验.同时，学生已经掌握了尺规作图的基本技能和方法，能够运用尺规作图法解决数学问题.教师通过数字平台提前发布学习任务，以便了解学情并对数据进行精准分析.因此，基于学情的视角进行有效的教学设计思路为：以教材为基础，强化合情推理与演绎推理的融合，同时加强代数推理的渗透，以呼应初中阶段图形与几何领域的三个主题.

3 教学目标设置

经历“不在一条直线上的三点确定一个圆”的探索过程，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念；能够利用尺规，过不在同一直线上的三点画出一个圆；理解类比、转化的数学思想，发展推理能力.

4 教学重难点

教学重点：探索“不在一条直线上的三点确定一个圆”的本质.

教学难点：通过类比，经历确定圆的条件的探索过程，说明“过不在同一直线上的三点有且只有一个圆”.

5 教学过程

5.1 前学

（1）从画圆的过程描述圆的定义：.

（2）从集合的角度描述圆的定义：.

（3）圆具有两个要素，①，②，其中确定圆的位置，确定圆的大小.

（4）如图1，用尺规作图法作线段AB的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）.

（5）如图2是一张圆形纸片，如何确定圆形纸片的圆心？请用多种方法解决.

设计意图：教师提前通过数字平台发布课程包，引导学生线上或线下自主探究，同伴互评.利用任务激发学生学习的动机，以便了解学生对圆的概念、尺规作图、垂径定理等知识的掌握情况，为学生提供自学、互助、交流的机会，同时为本节课内容的学习提供必要的知识储备，进而确定和调整课堂教学的起点及节奏.

5.2 共学

（Ⅰ）创设情境，发现、提出问题

情境一：两点确定一条直线.

操作1：在平面内任取一点A，过点A画直线.

追问：可以画多少条直线？

操作2：在平面内任取两点A，B，过点A和点B画一条直线.

追问：可以画多少条直线？

操作3：在平面内任取三个点呢？你有何发现？

设计意图：通过对“两点确定一条直线”的复习回顾，加深对“确定”一词的理解，为研究“确定圆的条件”提供研究思路和方法.

情境二：考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现了一圆形瓷器碎片（如图3），你能帮助考古学家画出这个碎片所在的整圆吗？从数学的角度，需要确定圆形瓷器碎片的哪几个要素？

设计意图：情境旨在引导学生思考画圆需要确定圆的两要素——圆心和半径，从而引出本节课的学习任务——如何确定圆？确定圆的条件是什么？既激发了学生的求知欲，又明确了本节课的学习目标.

（Ⅱ）实践探索，分析、解决问题

实践探索一：探索“不在同一条直线上的三点确定一个圆”.

操作1：在图4中作一个圆，使它经过已知点A.

追问：这样的圆可以作多少个？为什么？

设计意图：通过操作、观察与思考，学生能够感受到画圆的两个要素——圆心和半径.由于圆心的位置具有随机性，半径亦随之变化，圆的位置和大小均无法确定，因此经过任意点A可以画无数个圆，为探索操作2提供思路.

操作2：在图5中作一个圆，使它经过已知点A，B.

追问：这样的圆可以作多少个？它们的圆心在什么图形上？

设计意图：基于操作1积累的经验，引导学生寻找圆心O，使OA＝OB，再运用数学动态软件的“动画”功能使圆心O运动起来，同时选择“追踪”圆，进而发现“同时经过已知点A，B的圆有无数个”“圆心O在线段AB的垂直平分线上”的重要规律.

操作3：你能作一个圆，使它经过A，B，C三点吗？如果能，这样的圆可以作多少个？圆心在什么位置？如果不能，请说明理由.

追问1：圆如果过这三个点，其圆心与点A，B，C有何关系？

追问2：经过A，B两点的圆的圆心有何特征？经过B，C两点的圆的圆心呢？经过A，C两点的圆的圆心呢？

追问3：最终，你有什么发现？

归纳总结：.

设计意图：操作3可分三步进行探索.第一步（如图6），当A，B，C三点在同一条直线上时，引导学生分别作线段AB，BC的垂直平分线l1，l2，观察发现l1与l2没有交点，进一步通过几何推理说明l1与l2互相平行，从而发现“经过共线的三点无法确定一个圆”.第二步（如图7和图8），当A，B，C三点不在一条直线上时，引导学生分别作线段AB，BC的垂直平分线l1，l2，观察发现l1与l2交于一点，再进一步说明OA＝OB＝OC，从而得出“经过不共线的三点可以确定一个圆”的重要结论.第三步，学生利用数学动态软件，拖动图5中的点C，观察点A，B，C三点经历“共线”到“不共线”的变化过程，同时观察到l1，l2由平行到相交的转换，动态呈现几何图形的运动与内部关联.此环节注重引导学生体会利用“交集法”确定圆心位置解决问题的思想方法，让学生经历“观察与操作—探索与猜想—推理”的认识过程，帮助学生从“存在性”“唯一性”两个方面理解“确定”一词的含义，促进学生形成科学地、能动地认识世界的良好品质，同时强化了合情推理和演绎推理的融合，实现信息技术与学科教学的深度融合.

例1 已知点A（2，1），B（-1，-2）.

（1）若点C（5，4），试判断点A，B，C是否可以确定一个圆，并说明理由；

（2）若点C（m，n），且点A，B，C可以确定一个圆，试探究m，n的数量关系.

设计意图：引导学生，从“数”与“形”两个角度进行自主探究、合作交流，深化数形结合数学思想方法的渗透.学生通过求经过确定的两点A，B的一次函数解析式，再将点C的坐标代入一次函数解析式来判断，从正反两个角度强化对“不在同一直线上的三点确定一个圆”的理解，发展代数推理能力.学生在平面直角坐标系中作直线AB，再描出点C，从“形”的视角直观发现并验证猜想.教师需要引导学生领悟在探究问题的过程中代数推理和几何推理相辅相成，螺旋上升.

实践探索二：归纳三角形的外接圆概念.

三角形的外接圆：三角形的三个顶点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.

设计意图：学生在上一环节探索活动中积累了“不在同一直线上的三点确定一个圆”的学习经验.引导学生将“不共线的三点”视作“三角形的三个顶点”，亦可将“三角形的三个顶点”视作“不共线的三点”.观察图9发现，△ABC位于⊙O的内部，同时三个顶点A，B，C均在圆上，故称⊙O是△ABC的“外接圆”；⊙O在△ABC的外部，同时三个顶点A，B，C均在圆上，故称△ABC是⊙O的“内接三角形”.促使学生充分理解“外接”和“内接”的内涵，感悟哲学辩证统一的观点.

实践探索三：用尺规作图法作“三角形的外接圆”.

操作4：如图10，已知锐角三角形ABC，用直尺和圆规作锐角三角形ABC的外接圆.

学生阅读教材第51页“尝试与交流”内容，完成尺规作图并思考以下问题：

（1）锐角三角形ABC有几个外接圆？

（2）如何确定三角形的外心？外心到三角形三个顶点的距离有何关系？

（3）圆有几个内接三角形？

（4）三角形的外接圆有什么性质？

设计意图：基于前面的探索活动，学生积累了一定的数学活动经验，在学生已有经验的基础上注重引导学生掌握作三角形外接圆的技能，通过操作活动进一步加深对“不在同一直线上的三点确定一个圆”的理解.

例2 请用直尺和圆规分别作出图11中直角三角形和钝角三角形的外接圆；观察所画图形，你发现三角形的外心和三角形有何位置关系？

设计意图：基于上述操作，学生自主、独立完成作图.教师引导学生先猜想，再作图，最后观察三角形外心的位置特点发现规律.当△ABC是锐角三角形时，外心O在三角形内部；当△ABC是直角三角形时，外心O在直角三角形斜边的中点处；当△ABC是钝角角三角形时，外心O在三角形外部.为后续求外接圆的半径做好铺垫.运用数学动态软件，拖动△ABC的任意顶点改变△ABC的形状，直观呈现△ABC外心的位置，最后通过说理来验证OA＝OB＝OC，进一步发展学生的几何直观和演绎推理能力.

（Ⅲ）知识迁移，内化、运用结论

课堂练习：

（1）请用今天所学的知识解决情境二的问题，并与同伴分享.

（2）如图12，A，B，C三点表示不共线的三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置.（不写作法，尺规作图，保留作图痕迹.）

（3）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求△ABC的外接圆的半径.

设计意图：第（1）题引导学生利用所学知识解决情境二的问题，即可在“圆形瓷器碎片”的圆弧上任取不重合的三点A，B，C，再分别作弦AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点O，以点O为圆心，OA为半径作圆可使“碎片复原”；第（2）题旨在培养学生从数学外部走向数学内部，学会将生活问题数学化；第（3）题利用“直角三角形的外心在直角三角形的斜边处”，综合勾股定理相关知识解决问题，为后续学习圆周角及其性质作铺垫.

（Ⅳ）课堂小结，梳理、构建结构

本节课你学习了哪些知识？

获得了哪些方法？

感悟了哪些数学思想方法？

还有什么疑惑？

设计意图：引导学生借助思维导图或知识图谱呈现本节课所学的知识点及与前后知识的关联，再一次明确本节课知识在本章的地位及价值，归纳分类讨论、尺规作图、动静结合等方法的注意事项，进一步感悟类比转化、数形结合的数学思想方法，明确合情推理及演绎推理融合的重要性.

5.3 延学

（1）根据“不在一条直线上的三点确定一个圆”这一结论，试说明平面内任意四点是否可以确定一个圆？如果可以，四边形应满足怎样的条件？

（2）例题1变式：在△ABC中，已知点A（2，1），B（-1，-2），C（m，n）.试探究m，n满足怎样的关系时，△ABC的外心在△ABC的某条边上？若外心在△ABC的内（外）部呢？

设计意图：问题（1）注重引导学生将四边形问题转化为三角形来研究，进而对后续圆周角及其性质、圆的内接四边形的学习埋下伏笔.在实践探索三中学生借助教材中提供的锐角三角形作外接圆时发现其外心在三角形内部，例2中再分别作直角三角形、钝角三角形的外接圆并观察其外心的位置，进而得到“三角形的外心位置与三角形的形状有关”的结论.问题（2）既是例1的变式，也是从代数推理的角度对“结论”加以证明，使学生明白“看到的现象”必须通过逻辑推理验证方可成为“正确的结论”，培养学生严谨的治学态度.

6 思考

6.1 混合式教学可提高课堂教学的精准度

数字平台为学生提供了多元学习场景，“前学”课程资源可实时精准诊断学情，为设计以学情、素养为导向的学习活动提供了有力的数据保障.数学动态软件的使用为学生提供了多维度的探究体验，使动静结合变为可能.“共学”环节凸显学生的主体地位，教学目标精准，学习过程扎實，思想方法灵活，教学状态灵动；“延学”部分的设置既是课堂教学的延续，又是作业创新的手段.

6.2 素养导向的探究活动可实现教学评一体化

本节课以“四基”为起点，“四能”为突破，教学目标指向发展学生的推理能力、几何直观、应用意识等，强化代数推理与几何推理的融合；以知识为载体，注重情境的真实化、探究的系统化、方法的多元化、知识的结构化、思想的统整化，学习过程体现学生的主体地位；充分体现评价的多元化，采用线上评价、线下评价、线上线下相结合的方式评价，以实现多维动态掌握学情.