注重基本经验，提升思维品质

张喜峰

一、原题呈现

二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A（?1，0），B（4，0）.

（1）求此二次函数的表达式.

（2）如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点，动点N在线段DE上运动，连接CF，CN，FN，若以点C，D，N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标.

（3）如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45°，求点P的坐标.

分析：这是一道较为典型的二次函数综合题，将三角形知识与二次函数相结合，综合考查学生对于三角形相似的判定和性质，二次函数基本性质的掌握情况，方法比较开放，笔者在此列举（3）的三种常见解法，从不同的角度对此问题进行探究.

1. （2）解法如下：

解：（1）当x=0时，y=4，∴C（0，4） .设抛物线的表达式为，将点C的坐标代入得：，解得， ∴抛物线的表达式为.

（2）设点N的坐标为则，由于∠CDN与∠FEN对应关系确定，分以下两种情况讨论

① 当△CDN∽△FEN时，即，解得

∴点N的坐标为

（3）② 当△CDN∽△NEF时，即，解得：

∴点N的坐标为

综上所述，点N的坐标为或

二、解法赏析

1 .构造等腰Rt△，利用“三直角”模型

解1：如图3，过A点作AD⊥MP，垂足为D，过D点作x轴的垂线DF，垂足为F，过M点作ME∥x轴，交DF于E，过M点作x轴的垂线MG，垂足为G.

∵∠AMP=45°，AD⊥MP

∴△AMD为等腰Rt△

∴AD=MD

易证△ADF≌△DME ∴ DF=ME，AF=DE

由点M的横坐标是1得M（1，6），∴E点纵坐标也为6即EF=6；

设点D的横坐标为d，又A（?1，0），

则DE=AF=d+1，DF=ME=d-1

又∵DE+DF=EF=6∴d+1+d-1=6 ∴d=3

∴DE=AF=4由△ADF∽△DPF或射影定理可得PF=1

∴P（4，0）

评注：由于45°角的存在，易想到构造等腰Rt△，由A点作垂线，也容易想到.由于构造出的等腰Rt△在平面直角坐标系中是较为“一般”的（没有边坐标轴平行或重合），因此可以通过过直角定点作坐标轴垂线的方法构造“三垂直”模型，结合等腰Rt△的性质，可得一组全等三角形.但此处相等的边只有AD，MD为已知，因此充分利用A，M这两个已知点，发现DE与DF的和为定值，即可解决.

此方法中构造等腰Rt△和“三直角”模型的辅助线，学生能想到，但最后一步建立等量关系求出D点坐标，部分学生方法不够简洁，需要优化.

还有过N点作垂直的方法也类似，不做展开，见图3-1

解2：如图4，过A点作AK⊥AM，交抛物线于K，过A点作x轴的垂线LQ，分别过K，M作x轴平行线交LQ于L，Q点.

∵∠AMP=45°，AK⊥AM

∴△AMK为等腰Rt△

∴AM=AK

易证△AML≌△AKQ

∴ KQ=ML，AQ=AL由点M的横坐标是1得M（1，6），

∴L点纵坐标也为6即AL=KQ=6；

又A（?1，0），则ML=2=AQ

∴K（5，?2）

由M，K坐标解得直线MK的表达式为y=?2x+8

∴ P（4，0）

评注：此方法的思路基本与第一种一致，但算法上更為简洁。不同之处在于以A点作为等腰Rt△的直角顶点，此时在构造出的△AML中，三边均为已知，即可解决.

三、题后反思

1. 夯实基本技能，善于发现通法

本文所述题目综合性较强，既体现在命题设计中，在知识点上，综合考查学生对于二次函数基本性质，三角形相似的判定与性质的掌握情况，在思想方法上，考查学生能否在解决第二问之后，将“三垂直”模型进行迁移；本题的综合性还体现于笔者对于审题和解题的感悟之中.合理的审题，迅速挖掘出题中包含的基本图形及特殊角，对于找到解题抓手有很大帮助.以上辅助线的添加，基本图形的构造，离不开有效的审题. 因此，在解题教学中，教师应多让学生阐述解题思路的由来，注重基本策略的积累，并指导学生将题目中的信息与已有的知识有机组合，与已有的模型合理联系，直至解决问题.

2.注重反思归纳，优化解题之术

一题多解，是通过多种解题方法的展示，挖掘方法背后蕴含的基本数学思想、方法，不仅能学生从题海中解脱出来，还有助于培养学生的求简意识和创新能力。因此，解体后的反思，方法的归纳梳理，才是学生能力的增长点，这也对教师的专业素养提出了较高的要求.原题中解法2与解法1相比，优点就在于充分利用了已知线段，简化了计算.

3.积累活动经验，提升思维品质

本题解法3和4，源自学生的课堂生成，看似神来之笔，其实都脱胎于基本图形。因此，无论课堂的设计还是考题的命制，都应该基于学生已有的知识和经验，遵循知识发展逻辑。教师在新授课的教学设计中，要给予学生充分的时间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，获得基本的数学活动经验.在解题教学中，引导学生通过合理审题，激活其已有的知识和经验，是提升学生分析和解决问题能力的重要环节.注重基础、关注技能、突出经验、强化思想也是近年来中考的明显趋势. 一题多解，通过方法的展示，渗透基本思想方法，逐步将学生的思维引向深入，使学生的思维品质得到提升.

在设计新授课时，注重学习过程，让学生掌握基础知识和基本技能，同时经历过程，积累活动经验，是提升思维品质的基础. 在解题教学中，充分给予学生探索和表达的机会，挖掘隐含的基本思想方法，是提升思维品质的途径.