数学与音乐的跨学科融合

金奎 陈绪梅

【摘要】跨学科教学是新课标重点倡导的教学方式.基于跨学科的教学视角，实现数学与音乐的融合，让学生在体验音乐之美的过程中体会数学原理，运用数学知识解决实际问题，培养其模型意识和应用意识，关注学生创新意识的培养.

【关键词】跨学科；综合与实践；核心素养

1引言

《義务教育数学课程标准（2022 版）》（ 以下简称《新课标》）指出：综合与实践领域的教学活动，以解决实际问题为重点，以跨学科主题式学习为主，适当采取主题活动或项目学习的方式呈现，通过综合运用数学和其他学科的知识与方法解决真实问题，着力培养学生的创新意识、实践能力、社会担当等综合品质[1].在跨学科情境项目化改造教学中，通过教师把握“度”的实践教学指导，提高学生学习数学“悟”的真谛[2].本文以人教版九年级下册“实际问题与反比例函数 ”为例，设计和实施数学与音乐跨学科学习，结合具体情境体会反比例函数的意义，并能应用反比例函数解决简单实际问题.2数学与音乐融合

从古至今，数学与音乐一直相辅相成.数学家毕达哥拉斯在世界上第一次发现音乐与数学的关系；中国古代通过数学运算研究音律；莱布尼茨说音乐是一种隐藏的数学练习；傅里叶发现声波是周期函数的一种；音乐大师贝多芬、肖邦、柴可夫斯基等也常常根据曲线来谱曲.

音乐离不开数学思维，数学思维的秩序性可以让音乐呈现出节奏、稳定、有序的状态，能够使听众产生和谐、愉悦的感受.数学的思维方式不仅能够让学生更好地理解音乐，鉴赏音乐，也能帮助学生用理性逻辑创作音乐.在我国最早产生的完备的律学理论是三分损益律，时间大约在春秋中期，《管子·地员篇》和《吕氏春秋·音律篇》中分别有述；明代朱载 （1536—1610）在其音乐著作《律学新说》对十二平均律的计算方法作了概述，在《律吕精义·内篇》中对十二平均律理论作了论述，并把十二平均律计算的十分精确，与当今的十二平均律完全相同，这在世界上属于首次[3]．根据十二平均律的定义，也可以写为数字式，如：122·122·122·…=2.因此，相邻的两个音之间的频率比为fn[]fn-1=122=1.05946…由此可见，在古代音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起.从那时起，随着数学和音乐的不断发展，人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深.

3教学过程

3.1设境催问，引燃探究

让学生用吸管吹奏音乐，感受吸管长度不同，吹出的音调也不同.引导学生从音乐、科学、物理等相关知识进行思考，从其他学科引入数学问题，然后运用数学加以解决，这始终是数学学习的重要方法.学生已了解到音调与吸管材质、吸管粗细、吸管长度、吹气的力度等有关.本节课在吸管材质和粗细均相同条件下，聚焦到音调和吸管长度的关系.

本节课基于音乐常识（吸管越短，音调越高）、物理常识（吸管越短，振动频率越大），通过信息技术软件（Phyphox和Geogebra软件）辅助，建立数学模型，让学生在真实的环境中探索，应用数学知识发现、解决问题，提升学生思维品质.

在课堂开始之前，请学生们来欣赏一段音乐.（播放吹吸管音乐）

问题1他们在用什么乐器演奏？

师生活动学生通过观看视频，回答乐曲是用吸管吹奏的.

问题2吹吸管能发出声音吗？

师生活动学生体验吹吸管能发出声音，确定本研究的可操作性.

问题3如何吹出不同的音调？和哪些因素有关？

师生活动学生根据音乐、物理等相关知识进行发散性思维，让学生自由发挥，充分调动学生积极性和求知欲，通过教师的引导，让学生发现问题，进行自我总结和反思，培养学生的批判精神.最终得出音调与吸管材质、吸管粗细、吹气的力度、吸管长度等有关，本节将问题聚焦到音调与吸管长度的关系.

问题4改变吸管长度真的能吹出不同的音调吗？

师生活动学生现场操作，同桌相互配合，一人吹、另一人剪，并邀请两位同学上台展示.实验发现：吸管越短，音调越高.学生积极参与，共同探索它们的数量关系和变化规律.

设计意图本节从优美的音乐入手，感受音乐之美和中国传统文化的博大精深.涉及一些音乐与物理的知识，学生在理解上存在一定的难度.通过问题，将数学和其他学科的知识整合起来，侧重帮助学生深入学习数学的知识和技能、理解数学的思想和方法，能创造性地解决应用性问题，实现跨学科教学[4].师生明确本节研究的对象与任务，从变量角度进一步加深对函数的认识，引导学生运用函数关系进行分析.

3.2收集数据，建立模型

问题5如何研究两个变量之间的关系？

追问1用函数来研究两者之间的关系，具体应该怎么做呢？

追问2收集什么数据？

师生活动师生共同确定好变量，确定用函数来研究此问题，可运用刻度尺测出吸管的长度，用Phyphox软件测量出此长度下吹吸管的振动频率（图1、图2）.

（学生现场实验，前后四人互为一组，在小组内一人吹吸管，一人测量振动频率，一人读取数据，一人将数据记录在数学实验报告单中.）

问题6要想通过实验得出有用的数据，在实验之前需要思考怎样做，以及会遇到哪些问题.同时，在这次测量活动中我们要对同学们的表现进行评价，评比出最佳测量小组.你认为需要围绕哪些方面进行评价呢？

师生活动师生共同制定实验报告单（表1）和实验评价表（表2），学生在教师的引导下动手完成实验，按照项目化的分工，一部分学生记录数据，一部分学生统计数据，一部分学生协助，合作完成实验报告单和评价表.

追问1：要更直观地表示这组数据的变化规律（如上表3），有什么方法？

追问2：观察图象，可以用什么函数来刻画两个变量之间的关系？

师生活动1.教师提出问题，学生独立解决问题.学生画出图象后，发现有的图象接近于一次函数，有的接近于反比例函数.经过反复实验，多次得到数据，画出图象，猜测更接近于反比例函数.教师巡视学生完成情况，并请学生展示解答过程（图3），给予适当评价.2.师生共同分析数据，引导学生经历观察表格、寻找规律、描点绘图、观察图象的过程.由于手动绘图存在一定的误差，教师引导学生运用现代信息技术（如Geogebra软件），帮助学生利用已学的函数图象与性质，确定函数更接近于反比例函数（图4），即可以选择反比例函数来刻画这两个变量之间的关系，拟合得到函数表达式.

教学说明《新课标》指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.学生根据已学物理知识将音乐中抽象的音调转化为可以测量的振动频率这一想法，笔者给予了高度的赞赏.《新课标》指出：数学教学应该从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用的过程.本节活动课的设计体现综合与实践课从生活出发、学科融合的特质.

设计意图引导学生通过实验收集数据，从观察表格数据发现规律过渡到绘制函数图象，使学

生经历将现实问题转化为数学问题的过程.Geogebra软件的应用让学生体会到信息技术在数学建模

中的作用，引导学生经历“看数据，绘图象，先猜想，再判断”的过程，渗透数形结合的思想，为

应用函数模型打好基础.

3.3应用模型，成果展示

问题8吸管长度5cm，对应的振动频率是多少呢？

师生活动依据图4，总结求出解析式，正确使用反比例函数解析式解决问题，得到应使用长度的吸管.教师可以利用Geogebra软件操作验证得到图5，并请另一位学生进行实验验证.

问题9尝试完成《小星星》的吹奏并进行成果展示.

设计意图通过具体情境应用反比例函数模型解决问题，对反比例函数的性质和图象等有更深入的理解.小组合作吹奏歌曲《小星星》，学生经历合作交流、实践探索和组织协调的过程，亲身动手、

动脑、动嘴，充分感受数学与音乐的紧密融合，发展学习能力和实践能力.

3.4问题归纳，课堂小结

（1）回顾探索音调与吸管长度关系的过程，我们经历了哪些步骤？

师生活动：学生先自己总结，进行交流互动，再得出数学建模的一般步骤，由实验获得数据—用描点法画出图象—根据图象选择函数—拟合求函数关系式—应用模型解决问题.

（2）经过这一节课的学习，你有什么收获？

师生活动学生畅所欲言.

学生1我经历了整个数学建模过程，解决了音调与吸管长度的关系问题.

学生2我感受到了高科技的魅力，比如用声学软件测频率、计算机描点等.

学生3我感受到数学来源于生活，在日常生活中数学无处不在.

学生4我了解运用函数解决问题的步骤：实验—收集数据—确定变量—描点—求函数解析式—评价.

设计意图由学生先自行整理回顾数学建模的全过程，明确数学建模的一般方法与步骤，再由教师补充提升，充分发挥了学生的自主性.通过对数学与音乐史的讲述，感受数学与生活的紧密联系，从情感上提升学生对数学学习的热情.通过学生自行总结，检验本节的教学效果，为今后的项目化的学习做好铺垫.

3.5课后拓展，巩固提升

（1）请选择除吸管外的物品（如皮筋）对其音调与长度的关系进行探究，运用数学建模的方法，寻找变量之间的关系，拟合函数，并应用求得的函数自制乐器，完成乐曲的演奏.

（2）请考虑几何结构等因素，优化自制乐器.

4教学感悟

4.1培养学生动手实验能力

杜威说：“人们最初的知识，最能永久不忘的知识是关于‘怎样做的知识.”目前的一线数学教学中基本都以传授知识为主的教学方式，为知识而讲解知识，陷入学生死记硬背、盲目机械刷题、疲于应付形形色色考试怪圈，完全扼杀学生动手能力，忽略其知识生成的过程和本质原理，无法提升学生思维能力和运用数学知识解决实际问题的能力.

本节课从“做实验”的视角，通过学生亲自参与，协同合作，在反复实验中，不断修正，建立数学模型，积极评价，最大化地实现教学目标.通过数学与音乐的融合，让学生亲自参与，提高动手能力，感受数学之美，感受生活中数学无处不在，提升学生核心素养.

4.2培养学生解决问题的能力

让学生在欣赏数学美、创造数学美的过程中，引发对数学文化的思考，培养学生运用数学解决问题的能力[5].学生通过吸管实验，直观感受音调与吸管长度的关系，以振动频率与吸管长度为变量建立数学模型，寻找数学关系，反复实验，收集数据，运用信息技术处理数据，应用数学知识处理图象，构建反比例函数模型，合理进行评价.

学生通过操作、验证、说理，将零散的知识结构化、单一的图形模型化、抽象的思维显性化、静态的图形动态化，关注学科间的综合联系，形成对知识的整体性认识，经历构建反比例函数模型的探究过程.通过项目化学习，学生在不断解决问题的过程中，体会如何利用理论知识解决问题的过程，从而在构建反比例函数模型时，利用理论知识来寻找解决问题的基本方向，再进一步利用知识指导实践.学生在做中思，在思中行.

4.3培养学生批判性思维

《新课标》明确要求：发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，初步养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神.目前课堂教学中，多数学生是老师要求做啥我就做啥，教材如何写我就如何做，知其然不知其所以然，教师以教学时间不够、学生能力差等为托词，在课堂教学中忽视对学生批判性思维能力的培养.教师要能自觉开发资源，并结合学生实际创设真实情境，深度挖掘蕴含的培养批判性思维的价值，从问题处进行批判性思考，从困惑处进行批判性探索，从猜想处进行批判性实验，从结论处进行批判性验证，从迁移处进行批判性拓展，引导学生领悟具有批判性学习的数学，从而促进学生批判精神和批判能力的提升.

4.4跨学科教学的必要性

《新课标》指出：义务教育的“综合与實践”以“跨学科主题学习”为主，其中小学可采用“主题活动”和“项目式学习”，初中可采用“项目学习”，高中阶段采取“数学建模活动”与“数学探究活动”[6].数学跨学科教学体现数学与其他学科的联系，通过解决综合性的实际问题，培养学生的模型观念、数据分析意识、运算能力和推理能力.跨学科除了教学内容、教学形式的整合，更需要学生思维的整合，优化并提升学生的思维品质.在课堂教学中引导学生在跨学科的背景下用数学的眼光观察现实世界，用数学的语言表达现实世界中事物的概念、关系和规律，帮助学生感悟数学与现实世界的联系[7].传统教学中，由于缺失了对函数生成过程的展现，使得学生普遍认为函数知识抽象难懂.本文借助跨学科的数学实验，让学生经历了构建函数的过程，深化了对函数概念的理解.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版[M].北京：北京师范大学出版社，2022：87.

[2]张洁，戴小驹，黄丽.跨学科情境教学：数学课堂的项目化改造：以“孟德尔遗传规律”为例[J].中学数学月刊，2023（06）：43-46.

[3]刘卫峰，王尚志.数学与音乐[J].数学通报，2005（04）：19-21.

[4]刘祖希.关于数学跨学科内容与教学的已有研究：兼及2022年全国高考数学试卷跨学科试题分析[J].教育研究与评论（中学教育教学），2022（12）：5-11.

[5]肖丹，杜兰歌，朱哲.数学与艺术的跨学科融合：以综合与实践课“美丽的镶嵌”为例[J].中学数学月刊，2023（04）：41-43.

[6]刘祖希.图说数学与跨学科教学[J].中学数学杂志，2023（10）：19-20.

[7]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版[M].北京：北京师范大学出版社，2022：5.

作者简介金奎（1980—），男，安徽安庆人，芜湖市中学数学教研员，安徽师范大学硕士研究生导师，芜湖市数学学科带头人；出版著作两本，主持多项省、市级课题，发表文章20余篇.

陈绪梅（1991—），女，安徽芜湖人，中学二级教师；参与多项市级课题，获芜湖市中小学实验说课一等奖.

基金项目

安徽省教育科学研究课题“多学段融通视域下数学阅读课程资源的开发与实践”（JK23176）.