函数域中差集与不可约多项式的一个注记

蔺玉荣，吴家淼，李国全，许贵桥

（天津师范大学数学科学学院，天津 300387）

设N 为全体自然数的集合，记N+=N{0}，P 为全体素数的集合，记P-1={p-1：p∈P}.对于B⊆N+，如果|B∩{1，2，…，N}|/N=0，则称B 为正密度的.定义B 的差集为B-B={b-b′：b、b′∈B}.文献[1]采用定量的方法证明了，如果B⊆N+是正密度的，那么（B-B）∩（P-1）=.此后，文献[2-5]改进或推广了文献[1]的估计.目前，文献[3]得到的界是已知最佳的，文献[3]得到如下定理1.

定理1[3]设N∈N+，B⊆N∩[1，N].若（B-B）∩（P-1）=，则有

这里D≥1 和0

设Fq为q 个元的有限域，记Λ⊆Fq[t]为Fq上的多项式环.记Ω={ω∈Λ：ω 是首1 不可约的多项式}，对于N∈N+，令GN={m∈Λ：deg m

命题设N∈N+，A⊆GN.设r∈Fq[t]{0}.如果（AA）∩（Ω+r）=，则有

这里C≥1 和0

文献[6]在命题的条件下得到

本文的主要结果如下：

定理2设N∈N+，A⊆GN，r∈Fq[t]{0}.如果（AA）∩（Ω+r）=，则有

这里C≥1 和C～>0 为只与q 有关的常数.

1 相关引理

对于N∈N+，记=qN.对于m∈Λ，记|m|=qdegm.对于Λ 中的一个有限集A，|A|表示A 的基数.定义Λ+={m∈Λ：m 是首1 的多项式}.

引理1[6]设N∈N+，r∈Fq{0}，m∈Λ+，A⊆GN，且则存在N′∈N+，m′∈Λ+，集合A′⊆GN′，且|A′|=，满足

这里，0 < κ、c1、c2< 1，C1≥1，C2≥1 为只与q 有关的常数.

构造序列{（Ni，Ai，mi，δi）}i≥0.定义（N0，A0，m0，δ0）=（N，A，1，δ），设j∈N+，假设已定义序列如果下式成立

那么由引理1，存在（Nj，Aj，mj，δj），满足

如果式（2）不成立，则终止定义（Nj，Aj，mj，δj）.

由δj-δj-1≥c2δ>0 和①可得，因为δj≤1，所以上面的定义过程必终止于有限步.设其终止于第J 步.

则上面的定义过程将进行到第Z+1 步，而Z+1>J，这导致矛盾，从而应有.

由①和②可得

再由③可得

通过计算ln R（x）的导数，可得下面的引理2.

引理2设

则R（x）在（0，ξ）上单调递减，在（ξ，+∞）上单调递增，且ξ≤，其中C4≥1 为与q、N 有关的常数.

文献[6]通过说明

成立，从而确保式（3）是成立的.而对于1 ≤j0

即j=j0+1 时式（2）未必成立.因此，文献[6]的证明不能确保定义过程进行到第j0+1 步，从而不能保证式（3）有效.

为了确保定义过程进行到第Z 步，需要说明对任意1≤j

对于x≥0，记

这里C5=C2（1+ c1），则|mj|≤Q（j）.由式（4）和式（5）可知，式（6）应修正为

证明使用反证法.假设δ

2 定理2 的证明

当N（只与q 有关）充分大时，有ln R（x）≥ln C1.

从而，当N（只与q 有关）充分大时，有ln R（x0）≥ln C1.证毕.

引理5如果δ≥C2exp（），则当N（只与q有关）充分大时，对于x≥0，有κln R（x）≥ln Q（x）.

证明记

则有

设

必有κ lnR（x）+lnS（x）≥0.当N（只与q 有关）充分大时，式（15）成立.

当N（只与q 有关）充分大时，有

因此，由式（12）—式（14）可知引理结论成立.证毕.

定理2 的证明

由引理4—6 可知，当δ≥C2exp（），N（只与q 有关）充分大时，对于x≥0，有κ lnR（x）-lnQ（x）≥0，ln R（x）≥ln C1，κ ln R（x）+ln S（x）≥0，从而式（7）成立.取C=C2，，则定理得证.

定理2 也可以通过反证法证明.设前述定义给出了一个有限序列，则下面3 个不等式

至少有一个成立，进而得到一个关于δ、N、q 的关系式，从而得到定理2 的结论.具体思路参见文献[7-9].相比反证法，本文方法利用函数性质可精准确定δ 的范围，得到最佳结果.