辅助角公式的蜕变之旅

吴志玲

辅助角公式是历年高考的一个基本考点与命题热点，是三角恒等变换及其相关应用过程中一个非常重要且基本的技巧方法.借助三角函数关系式的恒等变形与转化，巧妙利用辅助角公式将复杂的三角函数问题化为简单的三角函数问题，综合应用正弦型或余弦型函数的图象与性质实现问题的突破与解决.而辅助角公式源于高中数学教材，教材中又没有明确给出对应的公式，因此要合理加以归纳总结，便于综合应用.

1 源于教材

例题 〔人教A版《数学（必修第一册）》“5.5三角恒等变换”中第227页例9〕求下列函数的周期，最大值和最小值：

根据教材中的分析与解析过程，可知具體的变换过程如下：（1）y=sin x+3cos x=2sinx+π/3；（2）y=3sin x+4cos x=5sin（x+φ），其中锐角φ满足tan φ=4/3.进而，再进一步利用正弦型函数的图象与性质来确定函数的周期，最大值和最小值等问题.

2 公式展现

以上例题的处理方式就是逆用和（差）角公式，将y=asin x+bcos x（ab≠0）转化为正弦型函数y=Asin（x+φ）的形式，利用三角函数的图象与性质来分析与转化.

这就是三角函数中的辅助角公式：

辅助角公式在现行教材中没有明确说明，形如“asin x+bcos x”的三角式子是高考中经常出现的一类三角函数结构式，其实际应用非常广泛、多变.

3 高考链接

一般对形如y=asin x+bcos x（ab≠0）或y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x（abc≠0）的三角函数式的化简、求值以及变换问题，往往都需要借助三角函数的辅助角公式，巧妙将两项或三项合为一项，再利用三角函数的图象与性质等知识来分析与处理.特别在近年高考中，辅助角公式的应用也是非常常见的一类应用技巧与方法.

4 教学启示

4.1 回归教材，高于教材

正确回归教材，挖掘教材中涉及辅助角公式的例（习）题的应用.辅助角公式在教材中虽未以公式的形式出现，但其应用广泛，常用它对三角函数关系式进行等价变形与转化，处理三角函数的图象与性质、三角恒等变换和解三角形等问题.

在平时数学教学与学习过程中，在充分利用教材的同时，要合理归纳，源于教材又要高于教材，正确总结性质与规律，以方便更进一步的综合与应用.

4.2 归纳类型，综合应用

涉及辅助角公式的应用问题，关键是构造相关的主角，利用辅助角公式，构建与之对应的三角函数关系式是目的，由此解决一些相关三角函数的判断、求值、求角、最值或取值范围以及开放性应用等问题.其应用广泛，在历届高考中也频频出现，倍受命题者青睐，因此在平时教学与学习过程中应予以高度重视.