谈“以生为主”高效数学课堂的建构

丁良栋

在高中数学教学中，部分教师为了追求教学进度常独占课堂，导致学生的学习积极性难以被激发，教学效率低下.为了改变这一现状，教师要改变传统的以讲授为主的教学模式，学会换位思考，放手让学生参与课堂，构建“以生为主”的和谐平等的高效数学课堂.那么，“以生为主”就要求教师在制定教学策略时以学生心理特征、思维特点、知识经验为前提，从学生的角度去思考学习内容，从而获得与学生在情感上和思维上的共鸣，真正调动学生参与学习的积极性，让教学内容在学生的参与中不断丰富，让教学过程在学生的参与中不断优化，进而打造出内容丰富、异彩纷呈的高效数学课堂[1].笔者在教学中转换角色，尝试用学生的眼光去审视教学内容，用学生的思维去思考问题，现与同行切磋交流，以期共鉴.

1 想学生之所想

课堂犹如一场生动的话剧，若想精彩演绎，教师就不能唱“独角戏”，要通过生动的语言、丰富的表情来传递感情，知晓彼此所想所思.教师要学会聆听和观察，通过语言交流明白学生之所想，通过观察明晰学生之所思，从而通过巧妙的引导帮助学生走出思维误区，建构和谐、高效的数学课堂.

在案例1的教学中，教师没有急于给出解题过程，而是通过共同探究的模式开展教学活动.讲解前，预留时间让学生独立思考，待学生对问题有了初步的认识后，再顺应学生的思路开展教学活动，借助学生的真实反馈发现教学盲点，通过巧妙的引导帮助学生走出思维误区.

师：根据已知求出集合M={1，2}，那么由NM，你能得到什么有价值的信息呢？

生1：集合N中的元素可能是1，也可能是2.

师：你们赞成生1的说法吗？

生2：集合N还可能是空集.

师：请你准确归纳一下，集合N等于什么？

生2：N=或N={1}或N={2}或N={1，2}.

师：大家还有不同的意见吗？（学生表示对生2的说法没有异议.）

师：很好！從NM，我们知晓了N的几种情形，接下来就逐个探究.当N=时，说明什么呢？当N为其他情况时，又分别说明了什么呢？

生3：当N=时，说明方程x2－mx+2=0无实数根，所以Δ=m2－8<0；当N={1}时，说明x=1是方程x2－mx+2=0的根.

师：“说明x=1是方程x2－mx+2=0的根”这句话表达得准确吗？（教师打断学生发言.）

生3：还说明方程x2－mx+2=0有两个相同的根x1=x2=1.（学生思考后给出答案.）

师：很好，“相同”这点是大家最容易忽视的.对于N={1}的情况，该如何求m的值？

生3：当N={1}时，Δ=m2－8=0且1－m+2=0.

顺着这个思路，学生继续后面的探究.本题虽然看似简单，然而对于高一学生来讲想正确完整地求解并非易事.首先，学生对空集的概念理解不够深入，在解题时容易因考虑不周而出现遗漏；其次，学生在理解N={1}或N={2}时，容易直接将x=1或x=2代入方程求m，忽视“两个相同的根”这一关键条件，此处是一个易错点.其实，从教学过程中可以看出，教师在易错点的处理上显得有些急躁，当学生出现理解偏差时不应急于打断，应该让学生充分暴露错误.例如，当N={1}时，学生的想法是将x=1代入方程，求得m=3，这时引导学生进行检验，学生自然容易发现当m=3时并不能保证集合有唯一的元素1，此结论与学生所想出现了冲突，自然会激发学生一探究竟的热情.这样，学生经历发现错误和纠正错误的过程，印象会更加深刻，可有效避免错误的再次发生.因此，在教学过程中，教师不要急于引导，应放手让学生经历探究的过程，这正是教学中不可或缺的，是了解学生的绝佳机会.

2 知学生之所疑

数学知识是抽象的、复杂的，学习中学生难免会产生疑惑和不解，若不能及时得到解决，势必会影响学习信心，同时也不利于后面教学活动的开展.教师在组织教学的过程中，要注意观察学生，当学生表情凝重或窃窃私语时，很可能是思维出现了“疙瘩”，此时教师可以尝试站在学生的角度重新思考，以学生的认知为起点，加之有效的引导让学生真正释疑.

案例2 函数奇偶性概念的应用.

学生对简单的函数，如y=2x，y=3x2等的图象了如指掌，可以结合函数图象的对称性轻松判断函数的奇偶性.然对于一些复杂函数，如y=x+x－1，y=x3+2x等，若根据图象来判断显然很难，那么如何突破这一难点呢？教师应引导学生自己去发现、去探究、去交流，从而找到判断函数奇偶性的一般方法.

师：如果让你们判断函数y=2x，y=3x2的奇偶性，大家会用什么方法呢？

生1：可以利用图象法，判断图象是否关于原点或y轴对称.

师：很好.那么函数y=x+x－1，y=x3+2x的奇偶性呢？（给学生时间思考并鼓励学生大胆提问.）

生2：这两个函数的图象很难画出来，没有图象怎么观察对称关系呢？是不是利用函数奇偶性的概念来判断呢？

师：相信大家有这个困惑，确实以上两个函数难以用图象法来判断.现在先思考——对于函数f（x）=x3，f（－1）和f（1），f（－2）和f（2）各有什么关系？

生3：f（－1）=－f（1），f（－2）=－f（2）.

师：对于函数f（x）=x3，f（－x）与f（x）有什么关系呢？

在教师的鼓励和引导下，学生根据上面的探究经验，大胆地依据奇偶性的概念推理出以上两个函数为奇函数.同时，教师用几何画板演示了函数y=x+x－1，y=x3+2x的图象，学生发现两函数图象确实都分别关于原点对称，进而验证了学生推理的正确性，提升了学生不断探索的信心.

在教学过程中，通过循序渐进的引导，不仅消除了学生的疑惑，而且帮助学生找到了判断函数奇偶性的重要方法；同时，让学生经历了由具体到一般的转化过程，提升了抽象概括能力；另外，帮助学生理解了概念的内涵，抓住了问题的本质，让学生在探究中体验数学学习的乐趣，进而提升了数学学习的信心.

3 思学生之所错

在学习过程中错误是不可避免的，因此教师在面对错误时要有一颗宽容的心.当然，宽容并不是对其置之不理，而是借助错误所暴露出的问题进行仔细推敲，找到问题的症结，从而通过合理的开发和利用将其转化为有价值的教学资源.

案例3 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，2Sn=（n+1）an（n∈[WTHZ]N*）.

（1）求a2，a3，a4的值；

（2）求数列{an}的通项公式.

教师设计本题的意图是让学生根据问题（1）猜想出{an}的通项公式，然后利用数学归纳法加以证明，但教学却并没有按照预期进行.

生1：由已知易得a2=2，a3=3，a4=4，又a1=1，所以猜想an=n.将an=n代入2Sn=（n+1）an（n∈[WTHZ]N*）验证.一方面2Sn=2（a1+a2+……+an）=（n+1）n，另一方面（n+1）an=（n+1）n，所以当an=n时，满足条件2Sn=（n+1）an（n∈[WTHZ]N*），因此an=n.

生1的证明方法给出后，学生感觉有问题，但是又不知道问题到底出在哪，为了引导学生自己发现错误，教师给出了一个反例.

师：已知{an}满足a1=1，a2n+1－a2n=an+1+an，an=n及an=（－1）n+1均符合条件.因此，an=n符合条件只能说明其为众多可能中的一种，并不能说明其唯一性.

找到问题的症结后，学生利用常规的数学归纳法顺利地证明了猜想.教师思考生1的验证过程，发现利用代入法验证也有其合理的一面，为此引导学生进一步探究，寻找另外一种解法.

师：生1的方法給了我很大的启示，如果可以继续证明符合条件的数列是唯一的，是不是推理也就成立了呢？对于本题“唯一”的推理，该如何进行呢？

生2：根据条件，由a1可得a2，由a2可得a3，……，由an可得an+1，现已知a1，因此只要对任意的n∈[WTHZ]N*，由an求得的an+1是唯一的，数列{an}就一定唯一.

师：很好！大家能用这个方法来验证通项公式an=n是唯一的吗？

生3：由2Sn=（n+1）an，得2Sn-1=nan－1（n≥2），则2an=（n+1）an－nan－1，解得an=n/n－1an－1（n≥2）.因为a1=1，而an+1是由an唯一确定的，所以数列{an}是唯一的.根据生1的判断，已经验证了an=n符合条件，故数列{an}的通项公式是an=n.

就这样，一个猜想问题的推理经过再探究获得了新生，学生又找到了验证猜想的另外一个方法.接下来教师又引导学生总结归纳出了“将结果代入条件验证”的解题步骤，这样学生不仅改正了错误，而且给“错误”赋予了新的意义.

其实，很多错误也有其闪光的一面，有其一定的合理性，在教学中教师不要急于否定，不妨顺着学生的思路继续探究，这样不仅可以发现问题的症结，而且若能“去伪存真”进行合理加工，也许会收获一些意外的惊喜.

总之，教师不能独占课堂，应多从学生的角度进行开发和建构，让学生积极地参与到教学活动中来，进而使课堂更加民主、高效.

参考文献：

［1］秦咏梅.请站在学生视角设计学案[J].山西教育（教师教学），2009（3）：54.

课题信息：扬州市教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“高中数学课堂提问的策略研究”，立项编号为2020/P/138.