学历案：学生视角巧类比，数学知识妙迁移

叶阿平

教学改革与理念创新，从根本上来说就是必须摒弃教师立场，选择学生立场，体现以学生自主构建与学习为中心的基本理念，而学历案就是一个很好的尝试与创新应用.下面笔者以“空间向量基本定理”为例，就这一单元的学历案的教学设計加以剖析与展示.

1 以生为本，明确目标

“空间向量基本定理”一节的学习目标设定如下：（1）类比平面向量基本定理，理解空间向量基本定理及其意义；（2）经历由三个不共面且两两垂直的空间向量表示空间中任一向量，到任意三个不共面的空间向量表示空间中任一向量，从而得到空间向量基本定理，体现从特殊到一般的数学思想；（3）通过两次平面向量的正交分解得到空间向量的正交分解，体现了转化的数学思想，在此过程中培养数学抽象和直观想象数学核心素养.

学历案中的学习目标要明确，充分体现“期望学生‘学会什么”为根本目的，其是基于教师课前对学生已有知识等方面的认识与把握，设计“最近发展区”，使得学生更能以参与其中，目标可测评、观察与评价，从学生的实际出发来提升关键能力与培养核心素养.

2 总体设计，前置任务

本节课的评价任务设计如下：（1）回答问题1～4，从平面向量知识切入进行复习与回顾，为思维的提升作好铺垫；（2）回答问题5与问题6，类比思维，构建新知识体系，进而学习空间向量基本定理及其相关内容；（3）结合实例应用，依托空间向量基本定理的基本认识与本质，加以简单初步应用.

学历案的评价任务是前置的，是根据教学过程前学生的实际情况设计的，能更加合理地确定学生的目标是否达成，学习任务是否完成，等等，有助于教师从学生的视角来发现教学设计中的不足与改进方向.

3 创设情境，落实过程

3.1 复习回顾，铺垫引入

问题1 在必修第二册（人教A版）第六章“平面向量及其应用”中，结合平面向量基本定理，可知平面内的任意一个向量a都可以用两个不共线的向量e1，e2来线性表示.那么，如何表示呢？

设计说明：回顾复习平面向量基本定理，为类比空间向量、学习空间向量基本定理做好铺垫.

问题2 类似地，任意一个空间向量能否还能用两个不共线的向量来线性表示呢？

预设答案：不能.

追问1：那么，任意一个空间向量需要用多少个向量线性表示呢？

追问2：三个满足什么条件的向量可以线性表示空间中任意一个向量呢？只满足不共线可以吗？

追问3：三个不共面的向量，同学们最熟悉的是在哪个几何体中见过？

追问4：另外，还有一个更为关键的问题是——在空间中，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a，b，c来线性表示呢？

教学说明：这个环节通过一系列问题串的形式，由平面向量基本定理，逐步从基底的个数、基底向量满足的条件，以及基底法分解的可行性几个角度过渡到研究空间中的类似结论是否成立.类比猜想，学生能猜到空间中的类似结论也是成立的！因此自然需要对这个结论在空间中成立的合理性进行说明.

问题3 请问大家是否记还得投影向量吗？

设计说明：回顾平面投影向量的概念，尝试类比空间中某个平面上的投影向量的概念，培养学生的数学抽象素养.

问题4 我们能把平面内一个向量在另一个向量上的投影向量类比到空间中，定义一个向量在另一个平面上的投影向量吗？

预设答案：设向量AB是非零向量，AB所在的直线在平面α外，如图1，过AB的起点A和终点B，分别作平面α的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，则这个变换是向量AB在平面α的投影，A1B1即为向量AB在平面α上的投影向量.

教师：下面，我们继续来分析在空间中，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a，b，c来线性表示.先从我们最熟悉的空间中三个不共面的两两垂直的向量这一特殊情况入手.

3.2 推陈出新，构建新知

教师：通过问题2的讨论，下面先研究长方体模型.

问题5 对于长方体，从一个顶点出发的三条棱所形成的向量有什么特殊位置关系吗？

预设答案：三个向量两两垂直.

教师：那我们就先讨论三个两两垂直的不共面向量能否将空间中任意一个向量线性表示出来.

设长方体ABCD-A′B′C′D′中，i，j，k是从同一个顶点D出发的三个两两垂直向量，则对于向量DB′，DB即为DB′在向量i，j所确定的平面（即长方体的底面ABCD）上的投影向量，则DB′=DB+BB′.

又向量BB′与k共线，所以存在唯一的实数z，使得BB′=zk，则有

DB′=DB+zk.①

又在向量i，j所确定的平面即长方体的底面ABCD上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得

DB=xi+yj.②

由①②式，可得DB′=DB+zk=xi+yj+zk.

一般地，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得a=xi+yj+zk.其中xi，yj，zk分别为向量a在i，j，k上的分向量.

追问：以上只是分析了长方体的对角线向量DB′可以用三个两两垂直的不共面向量线性表示，那空间中任意一个向量也可以这样表示吗？

预设答案：是可以的.空间中任意一个向量均可以按照以上的方式形成以自身为对角线的长方体，即可类似地得到解答.

设计说明：借助学生最熟悉也是最基础的几何体——长方体模型，帮助学生理解空间中三个两两垂直的向量可以表示出空间任意一个向量，不仅体现从特殊到一般的数学思想，而且也给学生展示了如何用三个不共面向量去表示空间中的任一向量，为后面学生用“基底法”解题打下坚实的基础.

问题6 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c来替换空间中两两垂直的向量i，j，k，也能类比得出相似的结论吗？

预设答案：答案是肯定的！空间中任意一个向量均可以按照以上类似的方式形成以自身为对角线的平行六面体，即可类似地得到解答.

设计说明：从特殊到一般，从平面到空间，引导出空间向量基本定理，构建模型.

3.3 构建模型，深化概念

空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p=xa+yb+zc.

相关概念：

（1）{a，b，c}叫做空间的一个基底（base），a，b，c都叫做基向量.

（2）任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

（3）如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}来表示.

（4）在空间中，任意一个向量a，用三个两两垂直的正交基底线性表示，称为空间向量的正交分解.

设计说明：引出空间向量基本定理，并且板书强化这一定理及其衍生的相关概念.由空间向量基本定理，通过三个不共面的向量把握住整个空间结构.同时，对于任意向量的研究均可以转化为三个基向量的研究，体现了转化与化归的数学思想.

3.4 新知应用，巩固内化

例 （对应教材第12页例1）如图2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN =1/2ON，AP=3/4AN，用向量OA，OB，OC表示向量OP.

设计说明：本例为加深学生对空间向量基本定理的理解.解决本题时，要引导学生数形结合，观察几何体的结构，再结合已知与所求，将空间向量用已知的三个不共面的向量线性表示出来.

课堂训练 已知四面体OABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示向量MN.

4 学后反思，发展素养

4.1 合理类比，分散难点

本节课是“空间向量与立体几何”这一章的第二个单元內容，是空间向量的基础，通过类比思维，由“二维”的平面向量基本定理上升到“三维”的空间向量基本定理的内容.本节课是由平面的结论类比推广到空间，在定理的理解和使用上会有一定的难度，本单元的设计就是通过问题串的形式分散难点，帮助学生更好地理解和掌握空间向量基本定理.

4.2 过程构建，思想引领

在整个学习过程中，借助“二维”平面知识上升到“三维”空间知识，渗透了类比推理的思想方法；空间向量的分解先是在两两垂直的三个不共面向量下的分解，再推广到一般的三个不共面向量的分解，体现了由特殊到一般的数学思想；通过平面向量基本定理过渡到空间向量基本定理，巧妙转化为基向量进行相关向量问题研究的思想，均体现出了转化的数学思想.整个单元的教学提升了学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象等核心素养.

课题信息：江苏省教育科学“十四五”规划2021年度重点课题“基于学历案的高中数学主题单元教学模式建构与实践探究”，课题批准号为B/2021/02/152.