抛物线中的定值、最值问题探究

摘 要：抛物线中的定值问题和最值问题是个难点，主要涉及动点及动点的路径问题，所利用的结论主要是两点之间线段最短以及垂线段最短.文章以2017年遵义市的一道中考题为例，先利用网络画板进行实验探究，然后给出试题的多种解法.

关键词：定值；最值；动点；相似三角形

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）05-0002-03

初中最值问题大致分为几何最值和代数最值两类. 几何最值是指在一定条件下，求几何图形中某个确定的几何量（如长度、角度、面积等）的最大值或最小值，而代数最值是指求一些简单的代数式或与实际问题相关（如用料最省、成本最低、能耗最少、产值最高、利润最高等）的问题.

1 几何最值問题的求解思路

在初中阶段，解决几何最值问题的依据有两个，一是两点之间，线段最短；二是垂线段最短.由这两个依据延伸出以下常用的结论：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；过圆内一点的所有弦中，垂直于过这点的直径的弦最短；直径是圆中最长的弦.

因此，几何方法求最值的思路是：将几何图形中的最值转化成基本的几何模型——“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”.其关键是抓住运动变化中不变的相关量（长度、角度、面积）与变化的相关量比较大小.即通过平移、旋转、轴对称将多条线段首尾相连转化到两定点之间的线段上，实现“折”转“直”，利用“两点之间，线段最短”说明最小.或者将问题转化为一定点到一条定直线的距离， 利用“垂线段最短”即可得出最小值.

2 几何最值案例分析

2.1 试题呈现

如图1，抛物线y=ax2+bx-a-b（a<0，a，b为常数）与x轴交于A，C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=（8/9）x+（16/3）.

（1）求该抛物线的解析式与C点坐标.

（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D，E两点，当m为何值时，ΔBDE恰好是以DE为底边的等腰三角形[1]？

（3）在（2）问条件下，当ΔBDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）.

①探究： 线段OB上是否存在定点P（P不与O，B重合）， 无论ON如何旋转，NP/NB始终保持不变？ 若存在，试求出P点坐标；若不存在， 请说明理由[2].

②试求出此旋转过程中，NA+3/4NB的最小值[3].

2.2 探究实验

第（2）问：如图2，拖动点M，观察BE和BD测量值的变化，是否存在相等的情形，有几种情况？

第（3）问：如图3所示，拖动点N，观察对应测量值，可以发现：当点P的坐标为（0，3）时，NP/NB=3/4（定值）;当ΔNOP∽ΔBON时，NA+3/4NB存在最小值，即求NA+NP的最小值.

2.3 思路分析

（1）根据已知条件求出A，B坐标， 用待定系数法可求出抛物线解析式.

（2）作BF⊥l，与l交于F点，根据等腰三角形的性质得到EF=FD=1/2DE，FM=OB=16/3，列方程即可得到结论.

（3）对于问题1，如图4所示，探究NP/NB的定值是一个比值，可联想相似三角形或三角函数，寻找与固定点（点M′，O，B）有关的三角形，即探究以点O，P，B，N为顶点组成的某两个三角形是否相似，由此猜想NP/NB可能的比值.若ΔNBP∽ΔOBN时，NB/OB=NP/ON， 可得NP/NB=ON/OB=3/4，根据已知条件无法求出点P的坐标.若△NOP∽△BON时，OP/ON=NP/NB=ON/OB=3/4，NP/NB不变，根据已知条件ON2=OP·OB， 可以求出点P坐标是确定的.

对于问题2，求两条线段和的最小值， 首先想到“将军饮马”问题模型，即“PA+PB”型最短问题，但两条线段系数不为 1 . 因此将3/4NB的系数转化为系数是1 的线段， 由问题1知NP/NB=OP/ON=3/4，得到NP=3/4NB， 将NA+3/4NB转化为两个定点A，P间折线段和的最小值问题， 即求NA+NP的最小值.

3 结束语

探求定值一般是先分清问题的不变量与变量，而定值往往与这些不变量中的某些量（或它们的代数式）有关，常将一般问题特殊化，运用特殊情形（即用特殊值、特殊位置、特殊图形等）探求定值.

参考文献：

［1］ 陆丽丽.巧构造 妙转化：另类线段和的最值问题[J].上海中学数学，2019（10）：19-21，43.

[2] 孙玉军，罗勇，李圣波.2017年中考“图形的变化”专题解题分析[J].中国数学教育，2018（Z1）：115-123.

[3] 李玉荣.三类新型最值问题的解法探究：以近年中考试题为例[J].初中数学教与学，2019（21）：31-34.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-11-15

作者简介：包胜利（1975.10-），男，甘肃省通渭人，本科，中小学一级教师，从事初中数学教学研究.