利用对角线证明中点四边形的特殊性

摘 要：文章立足于初中数学教学实践，利用已知四边形的对角线分析了中点四边形的特殊性.旨在为初中数学教师教学提供崭新思路.与此同时，通过数学模型的证明与应用，培养学生的几何推理能力，提升学生的数学核心素养.

关键词：中点；中点四边形；对角线；数学模型

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）05-0005-03

任意画一个四边形，以这个四边形各边的中点为顶点可以组成一个新的四边形，这个新的四边形叫做中点四边形[1].中点四边形有何特殊性，教师又如何去引导学生证明呢？教学实践发现，这是一个数学模型，利用已知四边形的对角线证明中点四边形的性质，会达到事半功倍的效果.

1 基本模型

模型1 已知四边形的对角线既不相等也不垂直，中点四边形是平行四边形

如图1，已知四边形ABCD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，问四边形EFGH是什么四边形？说明理由.

模型分析：由三角形中位线的性质，易知四边形EFGH是平行四边形.理由如下：

因为点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，由三角形中位线的性质可得EH∥BD，BD=2EH，FG∥BD，BD=2FG，所以EH∥FG，EH=FG，所以四边形EFGH是平行四边形.

模型2 已知四边形的对角线相等，但不垂直，中点四边形是菱形

如图2，已知四边形ABCD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，AC=BD，问四边形EFGH是什么四边形？说明理由.

模型分析：四边形EFGH是菱形.理由如下：

因为点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，所以EH∥BD，BD=2EH，FG∥BD，BD=2FG，EF∥AC，AC=2EF，所以EH∥FG，EH=FG，所以四边形EFGH是平行四边形.又AC=BD，所以EF=EH，所以四边形EFGH是菱形.

模型3 已知四边形的对角线垂直，但是不相等，中点四边形是矩形

如图3，已知四边形ABCD，点E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中点，AC⊥BD，问四边形EFGH是什么四边形？说明理由.

模型分析：四边形EFGH是矩形.理由如下：

因为点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，所以EH∥BD，BD=2EH，FG∥BD，BD=2FG，EF∥AC，AC=2EF，所以EH∥FG，EH=FG，所以四边形EFGH是平行四边形，又因为AC⊥BD，所以∠AJD=90°，所以∠EFG=∠EID=∠AJD=90°，所以四边形EFGH是矩形.

模型4 已知四边形的对角线既相等又垂直，中点四边形是正方形

如图4，已知四边形ABCD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，AC=BD，AC⊥BD，问四边形EFGH是什么四边形？说明理由.

模型分析：四边形EFGH是正方形.理由如下：

因为点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，所以EH∥BD，BD=2EH，FG∥BD，BD=2FG，EF∥AC，AC=2EF，所以EH∥FG，EH=FG，所以四边形EFGH是平行四边形.又因为AC⊥BD，所以∠AJD=90°，所以∠EFG=∠EID=∠AJD=90°，所以四边形EFGH是矩形.又因为AC=BD，所以EF=EH，所以四边形EFGH是菱形，所以四边形EFGH是正方形.

2 应用例举

例1 如图5，四边形MNOP中，I，J，K，L分别是MN，NO，OP，PM的中点，若四边形IJKL是菱形，那么四边形MNOP的对角线满足什么条件？

解析 根据模型1，易知四边形IJKL是平行四边形.又因为若四边形IJKL是菱形，根据模型2，易知四边形MNOP的对角线相等，所以若四边形IJKL是菱形，所以四边形MNOP的对角线满足的条件是MO=PN.

例2 如图6，四边形DEFG是菱形，点H，I，J，K分别是边DE，EF，FG，GD的中点，请问四边形HIJK是什么图形？

解析 因为四边形DEFG是菱形，所以四边形DEFG对角线互相垂直.根据模型3，易知四边形DEFG是矩形.

例3 如图7，在四边形BCDE中，F、J、H、I分别是各边的中点，则四边形FJHI是（）.

A. 正方形 B.矩形C.菱形 D.平行四边形

解析 因为在四边形BCDE中，F、J、H、I分别是各边的中点，根据模型1，易知四边形FJHI是平行四边形，故选D.

例4 如图8，点G、H、I、J分别是四边形CDEF的边CD、DE、EF、FC的中点，若四边形GHIJ是矩形，则四边形CDEF的对角线CE和DF有何关系？

解析 因为点G、H、I、J分别是四边形CDEF的边CD、DE、EF、FC的中点，四边形GHIJ是矩形，根据模型3，易知四边形CDEF的对角线CE和DF互相垂直，即CE⊥DF.

例5 如图9，四边形EFGH四条边上的中点分别为I、J、K、M，顺次连接点I、J，K、M，得到四边形IJKM.

（1）四边形IJKM的形状是____.当四边形EFGH的对角线满足____（填入位置关系或数量关系）时，四边形IJKM是矩形.

（2）当EG=FH时，四边形IJKM的形状是.

（3）若EG⊥FH且EG=FH，求证：四边形IJKM为正方形.

解析 （1）因为四边形EFGH四条边上的中点分别为I、J、K、M，根据模型1，易知四边形IJKM是平行四边形.根据模型3，易知四边形EFGH的对角线满足EG⊥FH.故四边形IJKM是平行四边形，EG⊥FH.

（2）因为四边形EFGH对角线EG=FH，根据模型2，易知四边形IJKM是菱形.

（3）证明：因为四边形EFGH对角线EG⊥FH.根据模型3，四边形IJKM是矩形，又因为四边形EFGH对角线EG=FH，根据模型2，四边形IJKM菱形.综上所述，四边形IJKM是正方形.

3 结束语

综上所述，不论已知四边形是什么四边形，其中点四边形的形状只与已知四边形的两条对角线有关.当已知四边形的两条对角线既不相等也不垂直时，顺次连接已知四边形各边的中点得到的中点四边形是平行四边形；当已知四边形的两条对角线相等，但是不垂直时，顺次连接已知四边形各边的中点得到的中点四边形是菱形；当已知四边形的两条对角线垂直，但是不相等时，顺次连接已知四边形各边的中点得到的中点四边形是矩形；当已知四边形的两条对角线既相等又垂直时，顺次连接已知四边形各边的中点得到的中点四边形是正方形[2].中点四边形的这些特殊性在解题中有着广泛的应用.

参考文献：

［1］ 叶智强，胡琴，钟华兰.“类中点四边形”：对“中点四边形”的再研究[J].明日，2019（34）：1.

[2] 张晓东.关注数学本质 发展学生思维：以“中点四边形”教学为例[J].中学课程辅导：教师通讯，2021（8）：76-77.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-11-15

作者简介：陈礼弦（1971.12-），男，贵州省清镇人，本科，高级教师，从事初中数学教学研究.