化动为定　探解法之本质

摘 要：2019年连云港市中考数学第16题是一道探求两条动线段之比的最大值问题，动点P在圆周上运动，无法直接入手利用距离的最值解决问题，可考虑运用转化化归的数学思想，将两个变量转为“一定一动”即单变量问题，然后利用相似或面积法转化目标线段的比值，从而简化问题，得到问题解决的基本路径，并提炼一般性模型，揭示问题解法的本质.

关键词：动点问题；化动为定；解法探究

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）05-0014-03

中考填空压轴题具有结构优美、解法多样等特点，本文以2019年连云港市第16题为例，对其进行结构分析、解法探究、解题步骤、模型提炼.

1 试题再现

如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则AP/AT的最大值是[1].

2 结构分析

2.1 条件分析

矩形ABCD长、宽分别为4与3，故此矩形为确定性图形，与矩形ABCD有关的线段、角、面积等相关要素都可求得，由勾股定理易得对角线BD=5，利用面积法可求得点A或点C到线段BD的距离2.4，⊙C是以矩形ABCD的一个顶点为圆心，与对角线BD相切，故⊙C半径是2.4.

2.2 结论分析

所求结论是两条动线段的比值，主动点P在圆上，从动点T在矩形ABCD的对角线BD上，进一步观察可发现这两条动线段的公共端点为A.故本题是一道确定矩形和确定圆上点之间的距离问题.

2.3 图形分析

如图1，从整体分析，矩形ABCD和⊙C都具有对称性，但本图并没有直观的对称轴.从局部分析，把矩形作为中心对称图形，点A与点C为对应点，故它们到对角线BD的距离相等，圆作为一种特殊的对称图形，这里仅考虑切点关于圆心C的对称点，往往这就是解题的突破口.根据解题经验，可以通过P点作相应线段的平行线，构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质求解.

3 解法探究

3.1 基于条件特殊化下探究最值

如图2，把矩形ABCD特殊化为正方形，当点P运动到AC的延长线上时（非切点），此时AT取最小值，AP取最大值，非常容易求出的最大值为3.

3.2 基于平行线构造相似的思路分析

构造出相似三角形是解决本题的第一个关键步骤.AP，AT都是在点P变化过程中长度变化的线段，可通过构造相似三角形将其转化为相似三角形对应边之比，且其中一条线段的长度是定值，将双变量转化为单变量，减少了变量，实现此过程最有效的手段就是过特定的点作相关线段的平行线，构造相似三角形.结合点P在圆周上运动，根据构造的相似三角形与圆的最值的相关知识解决问题.

解法1 如图3，过点P作PE∥BD交AB的延长线于点E.

因为∠AEP=∠ABD，所以△APE∽△ATB，所以AP/AT=AE/AB.因为AB=4，AE=AB+BE，所以AP/AT=AE/AB=AB+BE/AB=1+BE/AB，若要AP/AT最大，令BE最大即可.

如图3，过点B作BF⊥PE于点F.因为∠FEB=∠ABD，所以sin∠BEF=sin∠ABD=AD/BD.因为AB=4，AD=3，∠DAB=90°，所以BD=5，所以sin∠BEF=sin∠ABD=3/5，所以BE=5/3BF，所以当BE最大时，BF最大，只需求BF的最大值即可.

因为BF为平行线DB与PE之间的距离，点P在圆周上运动，且⊙C与BD相切，所以圆周上一点到切线的最大距离应为直径，此时PE与⊙C相切，即图4中的PE在Rt△BCD中，易得⊙C的半径为2.4，直径为4.8，所以BF的最大值为4.8，所以BE最大值为8，则AE最大值为12，从而AE/AB的最大值为3，即AP/AT的最大值为3.

解法2 如图5，分别过点A、P作BD的垂线，垂足依次为E、G，则△AET∽△PGT，故PT/AT=PG/AE，从而AP/AT=AT+PT/AT=1+PT/AT=1+PG/AE.又AE=2.4，要使AP/AT最大，只要使PG最大，即点P到BD的距离最大.过点C作CG′⊥BD于G′，交⊙C于P′，易知P′G′即为PG的最大值，此时P′G′=2CG′=2AE.因此AP/AT的最大值为3.

解法3 如图6，过点P作AD的平行线，交直线BD于点Q，则△ADT∽△PQT，所以AP/AT=AT+PT/AT=1+PT/AT=1+PQ/AD=1+PQ/3.再作PG⊥BD于点G，易得PQ=5/4PG，从而AP/AT=1+5/12PG，要使AP/AT最大，只要使PG最大，即点P到BD的距离最大.由解法1知PG最大值为4.8，故AP/AT=1+5/12PG=3.

解法4 如图7，过点P作BD的平行线，交AD的延长线于点Q，则AP/AT=AQ/AD=AQ/3，要使AP/AT最大，只需使AQ最大.向上平移BD，使其再次与⊙C切点为P′，且交AD的延长线于点Q′，此时AQ′即为AQ的最大值.连接P′C并延长，交BD于点G′，再作DH⊥P′Q′，则P′G′=2CG′=4.8，故DQ′=6，故AQ′=9，即AQ的最大值为9，故AP/AT的最大值为3.

3.3 基于三角形面积转化的思路分析

解法5 如图8，连接PB，PD，

易证AP/AT=1+PT/AT，要使AP/AT最大，只需PT/AT最大.因为SΔPTD/S△ATD=PT/AT且SΔPTB/S△ATB=PT/AT，故S△PBD/SΔABD=S△PTD+SΔPTB/S△ATD+S△ATB=PT/AT·S△ATD+PT/AT·S△ATB/S△ATD+S△ATB=PT/AT，即SΔPBD/6=PT/AT，要使PT/AT最大，只需使SΔPBD最大，即点P到BD的距离最大，最大值为1/2BD·P′G′=1/2×5×4.8=12，故AP/AT=1+PT/AT=1+S△PBD/6=1+2=3.

4 解后思考

由以上解法可以看出，解決这类问题可从以下几方面入手.

（1）观整体：运用几何图形基本性质，求解隐含几何常量.从已知出发，根据矩形性质、圆性质、切线性质求得矩形的四条边长、对角线长及顶点到对角线的距离，其中求出圆的半径对于解答本题至关重要.

（2）寻动点：明确动点运动的轨迹，构造相似三角形转化变量.点P是主动点，点T是从动点，为降低难度必须转化变量，将两个变量转化为一个变量，构造相似三角形是转化变量最重要的手段，最常用的方法就是作平行线.

（3）察最值：观察动点定线位置，确定点线距离最值.当问题转化为单变量时，发现这个变量最终是圆上的一个点与一条定直线之间的距离，因而只要去判断点线距离便便获得最值.

5 结束语

中考压轴题的解题过程，既要分析题目条件与结论的内在逻辑结构，又要分析解题的依据和数学的本质，顺势而思、自然生成.本例在转化思想的引领下，借助几何直观和相似模型实现转化，对结论逆向溯源获得解题途径.

参考文献：

［1］ 尹庆刚，赵广国.透过“多余条件”探寻一类动点问题背后的基本数学模型[J].数理化学习（初中版），2020（2）：27-30.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-11-15

作者简介：何则淦（1975.9-），男，福建省永泰人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.