初中数学应用题的解题技巧研究

摘 要：数学作为我国教育体系中的重要学科之一，在初中阶段占据着非常重要的地位.为提升学生的数学素养和数学思维能力，解题训练是不可缺少的，尤其要针对一些特殊题型进行重点训练.应用题便是如此，这是一类对学生理解能力、分析能力要求均较高的题型，在各类考试中都占据着较大的分值比例，教师应高度重视起来，帮助学生掌握常用的解题技巧.基于此，文章以初中数学应用题的解题技巧的为研究对象，同时分享部分解题实例供参考.

关键词：初中数学；应用题；多元化；解题技巧

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）05-0020-03

应用题是通过语言或者文字对有关事实进行叙述，反映出某种数学关系，如数量关系、位置关系等，且求解未知数量的一类题目，每道应用题中都包含有已知条件与所求结论.在初中数学解题教学中，应用题的题型较多，不同类型的应用题需要用到不同的解题思路与技巧，教师应通过多元化的训练，使学生能根据实际情况采用相应的解题技巧[1].

1 二元一次方程类应用题的解题技巧

二元一次方程类应用题在初中数学应用题解题训练中较为常见.解决这类问题的关键是认真审题，充分理解题意，找到题目中相关条件之间的逻辑关系与数量之间的等量关系，据此设出未知数，建立二元一次方程组，最终使用二元一次方程組的相关知识把未知数求出来.需要注意的是，解决此类应用题时，应保证最终结果同实际情况相契合，让学生学会全面考虑问题，使其掌握解答此类应用题的一些技巧[2]，提高其解题能力.

例1 王军同学为本班购买课外书，回校后向班主任汇报：我购买两种课外书，一共是30本，单价分别是20元与24元，买书前的700元还余下38元.班主任说他肯定搞错了.

（1）班主任说王军搞错的原因是什么？结合所学知识解释；

（2）后来王军发现的确错了，还购买了另外一本课外书，但是单价不清楚，只能辨认出是不满10元的整数，假如单价是20元的课外书比单价是24元的课外书多，求外一本课外书的单价.

解析 本题理解起来难度不大，第一问比较简单，建立二元一次组后不难解答，第二问难度稍大，学生应大胆设出参数，且依据题意找准参数之间的大小关系，再通过分析、计算确定最终答案.

具体解题过程如下：（1）设单价为20元、24元的课外书分别购买x本，y本，根据题意列出方程组x+y=30①，20x+24y=700-38②，解之得x=14.5，y=15.5，由于课外书的数量是整数，所以认为王军搞错了；（2）设单价为20元的课外书是a本，那么单价是24元的课外书有（30-a）本，另外一本课外书的单价是b元，根据题意可知a＞30-a，故a＞15，结合总钱数可得20a+24（30-a）+b=700-38，解得a=14+2+b/4＞15，因为b是小于10的整数，所以b=6，即另外一本课外书的单价是6 元.

2 分式方程类数学应用题的解题技巧

分式方程是一类比较特殊的方程，当遇到此类应用题时，教师首先要求学生仔细阅读题目内容，了解题干所描述的情境，使其结合个人所学与生活经验找到题目中参数之间的潜在关系，明确围绕哪个参数来列方程.解完方程后，学生还要检查结果的准确性.在初中数学解题教学中，不少应用题都能够利用分式方程解决.

例2 张华家距离动物园1 900 米，一天他步行去看动物表演，走到路程的一半时发现没有携带门票，这时距离表演开始还有23 分钟，于是他马上步行回家取票，然后骑自行车去动物园，假如张华骑自行车到动物园比步行少用20 分钟，且速度是步行的5倍，进家取票花费4 分钟，那么他是否可以在表演开始之前到达动物园？通过计算说明理由.

解析 通过审题发现，本题应构建一个有关路程、速度与时间的分式方程，先求出张华骑自行车与步行的速度，再根据路程、速度与时间之间的关系，计算所需时间，最后结合计算结果进行准确判断.

具体解题过程如下：设张华步行的速度是x米/分钟，结合步行与骑自行车之间的关系能够列出分式方程1 900/x-1 900/5x=20，解之得x=76，经过检验x=76是该分式方程的解，即他步行的速度是76米/分钟，依据题意需要计算出张华步行返回家中、取票和汽车去动物园三个时间的总和，即为1 900/2×76+1 900/5×76+4=21.5 分钟，因为此时距离动物表演开始还有23分钟，所以说他能够在表演开始之前到达动物园.

3 一元一次不等式应用题的解题技巧

在初中数学教学过程，所学习的不等式知识以一元一次不等式为主，相应地会围绕一元一次不等式安排应用题.这类应用题的题干描述往往与众不同，会出现“不超过”“不少于”“不多于”“最少”“最多”等特殊词，把握好这些词是解决一元一次不等式应用题的关键.

例3 某商店计划购进甲、乙两种商品，其中甲的进价单价比乙多5 元，且用800 元购进的甲商品和用400 元购进的乙商品数量相同，现在要一共购进甲、乙两种商品100 件，进货资金不少于800 元，不多于850 元，那么有多少种进货方案？如果甲商品的利润是m 元，乙商品的利润是（6-m）元，如何进货才可以确保获得的利润最大？

解析 本题需先求出甲、乙两种商品的进价单价，再根据总进价资金的范围找到不等关系，确定参数取值范围，并写出关于总利润的表达式，分析式子中各个参数的取值范围，然后结合一次函数的性质求出最大利润.

具体解题过程如下：设甲商品的进价单价是a元，乙商品的进价是（a-5）元，由此得到800/a=400/a-5，解之得a=10，即为甲、乙商品的进价单价分别是10 元、5 元.设购进甲商品x件，乙商品为（100-x） 件，则800≤10x+5（100-x）≤850，解之得60≤x≤70，由于x只能是整数，故一共有11种进货方案；根据单价、数量、利润之间的关系可得总利润Q=mx+（6-m）（100-x）=（2m-6）x+600-100m，因为m＞0，当0＜m＜3时，总利润Q随x增大而减小，当x=60 时获得最大利润，最大利润是（240+20m）元；当m≥3时，总利润Q随x增大而增大，当x=70 时获得最大利润，最大利润是（180+40m）元.

4 三角函数类数学应用题的解题技巧

三角函数是初中生接触到的一类特殊数学知识，初中阶段以学习锐角三角函数为主，包括正弦、余弦、正切.解决此类应用题的步骤如下：（1）认真审题与读图，确定题设所求的问题；（2）根据题意，利用所学的几何知识尝试构造直角三角形，必要时添加辅助线；（3）求解未知量的值时，需要注意不同三角函数中线段之间的关系是不一样的，以免因为关系弄错而计算出错误的结果.

例4 如图1所示，王勇同学计划测量小山AF的高度，山底有一条长是60 m的斜坡CE，坡角是30°，他从点E处沿着斜坡走到中点D处，在D处测得山顶A的仰角是53°，坡顶C与小山之间的距离BC是100 m，那么小山AF的高度是多少？结果精确至0.1 m（tan53°≈1.33，3≈1.73）.

解析 解决本题时，应以所求结论为前提展开逆向推理，寻找要求解的未知量，再结合解题经验添加辅助线就能进行分析，寻找角度和线段之间的关系，认真计算后即可得出准确结果.

5 二次函数类数学应用题的解题技巧

二次函数应用题是初中数学解题训练中的一类难点题型.因为二次函数是初中阶段难度最大、知识点最多和关系最复杂的一部分内容，处理此类应用题时对

学生的解题能力要求更高，要以仔细审题为基础，结合题干描述与解题经验准确找到二次函数关系，使其根据二次函数相关知识进行解题.

例5 一种土特产的生产成本是每个60元，为了解市场行情，准备先试销一段时间，在试销期间销售单价不能比成本价低，利润不能高于40 %，销售量y（万个）和销售单价x（元）之间的函数图象如图2所示，那么当销售价定为多少时有最大利润？最大利润是多少？

解析 解答本题时，学生需以充分理解题意为基础，先根据图象联系一次函数知识，明确销售量和售价之间的关系，再根据成本、利润与销售量建立二次函数，最后利用二次函数的性质求出最大利润.

具体解题过程如下：根据一次函数图象，可以运用待定系数法求出销售单价和销售量之间的函数关系，再结合题目信息找到自变量的取值范围.从图象中找到两个点的坐标分别是（70，50）、（63，57），代入到一次函数解析式=kx+b中得到一个方程组，求出k=-1，b=120，即为y=-x+120，根据题意确定x的取值范围是60≤x≤60（1+40%），即为60≤x≤84，则利润Q=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7 200=-（x-90）2+900（60≤x≤84），该二次函数的对称轴是x=90，开口方向向下，取值范围在其左侧，利润Q随着x的增大而增大，所以当x=84时有最大利润，最大利润是Q=-（84-90）2+900=-36+900=864（万元）.

6 结束语

在初中数学解题教学中，应用题解题训练是极为重要的一部分，在考试中做好应用题，不让大题失分过于严重，往往就能够取得优异成绩.因此，教师应适当加强应用题解题练习，通过解题示范传授技巧，帮助学生掌握一些不同应用题的不同解题技巧，全力提高学生解答不同类型应用题的能力.

参考文献：

［1］ 江宋标.初中数学应用题解题能力培养的策略[J].基础教育研究，2021（24）：66-68.

[2] 严兰兰.初中数学应用题的解题障碍及技巧[J].现代中学生（初中版），2021（10）：37-38.

［責任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-11-15

作者简介：黄晓勇（1978.4-），男，福建省永春县人，本科，中学一级数学教师，从事初中数学教学研究.