孟子的古典管理数学思想

吕变庭

(河北大学 宋史研究中心,河北 保定 071002)

孟子不仅精通礼学和乐学(或云义理之学),更精通数学和管理学。因此,就孟子思想的本质而言,人们用“内圣外王”四个字来概括它是没有问题的。然而,孟子在构建其“内圣外王”思想体系的过程中,始终没有脱离“民贵君轻”这个思想原则和社会治理的总目标。那么,究竟应该如何实现“民贵君轻”这个社会治理的总目标,从而建立一个真正的“富民”社会呢? 孟子提出了许多颇有价值的方案,例如井田制、恒产论、薄税敛、举贤任能、合理的社会分工、通权达变等等。其中最突出的方法就是将古典数学思想应用于国家管理的具体实践之中。尽管先秦有六艺(礼、乐、射、御、书、数)之教,但“数学”并未形成一门独立学科,正是因为这个特点,诸子百家的著作中都或多或少包含着一定的古典数学知识,尤其是孟子把数学与他的“仁政”管理实践相结合,在先秦管理数学领域独树一帜,同时也为后儒从数学角度诠释五经思想,提供了一种分析维度和方法。下面笔者仅就孟子的管理数学思想略陈管见,不当之处,谨请学界同仁批评指正。

一、数量化管理:在义与利之间

《孟子·梁惠王上》开首便是孟子与梁惠王两人之间的一段对话,核心内容是谈论义利问题。在孟子看来,“上下交征利,而国危矣”[1]63。尽管学界对这个命题尚有争议,特别是在商业经济不太发达的历史条件下,人们会赋予上述命题以不同的内涵,但是孟子绝对不是只讲大道理,而是采用寓数于理的方式将“国危”问题具体化为一种数学关系。他说:“万乘之国,弑其君者必千乘之家。千乘之国,弑其君者必百乘之家。万取千焉,千取百焉,不为不多矣。苟为后义而先利,不夺不餍。”[1]63有学者习惯把“万取千焉,千取百焉”单独抽出来作阐释,结果人言人殊,各有所据,几成一桩学术公案,如梁启超、李剑农、梁实秋等前贤的解释就各不相同。梁实秋就曾认为:孟子所讲的“这八个字确实含混,所以才使人糊涂了两千年”[2]。实际上,孟子言“万取千焉,千取百焉”是在暗示一种新的利益观,这种利益观不能建立在强取豪夺的政权统治之上。对此,梁启超的解释是有道理的[3]。也就是说,孟子不反对合理的上下之“取”,但是不能没有底线的巧取豪夺,甚至“暴殄天物,害虐蒸民”[4]245。至于何为合理的上下之“取”,孟子以税率的制定和征收为例解释说:

是故贤君必恭俭、礼下,取于民有制。阳虎曰:“为富不仁矣,为仁不富矣。”夏后氏五十而贡,殷人七十而助,周人百亩而彻,其实皆什一也。彻者彻也,助者藉也。龙子曰:“治地莫善于助,莫不善于贡。”贡者,校数岁之中以为常。乐岁,粒米狼戾,多取之而不为虐,则寡取之;凶年,粪其田而不足,则必取盈焉。[1]85-86

“取于民有制”是这段议论的主题,而“富”与“仁”的悖论又是此段议论的基础。为了调和“富”与“仁”这对矛盾关系,而不致使矛盾激化,孟子认为国家税率的制定应当有一个合理的量化标准,因而在追溯夏、商、周三代的税率制度时,孟子认为三代的“什一税”比较合理,即田赋的税率为11%,后世可以效法。夏朝从何时开始征税,虽然难以考校,但“贡者,校数岁之中以为常”讲得却非常明白,即“贡”是采取数年收获的平均数作为每年赋税的征收标准,表面上看,“校数岁之中以为常”(现在一般会去掉最高收获年和最低收获年,然后再作平均)有其合理性,但这项制度的弊端是耕农遇“凶年”时负担赋税过重,在“乐岁”时反而负担赋税过轻,不知因岁制宜。殷商时,由于出现了“公田”与“私田”之分,夏朝的“贡”法显然已经不能适应这种新田制的需要了。于是,“贡”法便转变为“助”法。与夏朝的“粟米之征”相较,殷商的“助”法实际上就是一种劳役地租。所谓“助者藉也”是指田农在“藉田”上耕作。有学者考证,殷商“甲骨卜辞中,虽难找出‘公田’‘私田’的迹象来,但从‘雚耤’一词看来,当时似乎已有‘籍田’即‘国’中‘公田’”[5]。另从“王往观藉”“舌伊侯藉”“众作藉”“王勿藉”等卜辞分析,“商朝的助法,显然已经是力役地租”[6]。又郑玄注《礼记·王制》“公田藉而不税”云:“藉之言借也,借民力治公田,美恶取于此,不税民之所自治也。”[7]136可见,商朝的“助”法是将“公田”的收获作为国家的财政收入,耕者不再另外负担税赋。孟子把这种力役地租看作是推行“仁政”的物质基础,也是国家统治的理想管理模式,因而大加表彰。他说:“耕者助而不税,则天下之农皆悦而愿耕于其野矣。”[1]77-78“助”法的前提是耕者有其田,而不被势力之家所剥夺。为此,孟子主张:

夫仁政,必自经界始。经界不正,井地不钧,谷禄不平。是故暴君污吏必慢其经界。经界既正,分田制禄,可坐而定也。夫滕,壤地褊小……请野九一而助,国中什一使自赋。卿以下必有圭田,圭田五十亩。余夫二十五亩。死徙无出乡,乡田共井。出入相友,守望相助,疾病相扶持,则百姓亲睦。方里而井,井九百亩,其中为公田,八家皆私百亩,同养公田。公事毕,然后敢治私事,所以别野人也。[1]86

这是孟子规划的井田制乡村社会蓝图,尽管从先秦以降,历代封建统治者都未曾实行过,但从管理数学的角度讲,井田制的“九一而助”“颇类似于近代各国政府的‘所得税’制度,,是相当公平之税法”[8]。当然,对具体的耕农而言,却是纳了的剩余劳动,远比“什一税”要重。所以周朝推行的“彻”法,依朱熹的解释就是“周制:一夫受田百亩,而与同沟共井之人通力合作,计亩均收。大率民得其九,公取其一”[9]171。这是目前学界比较认同的一种看法,它反映了社会生产力的进步(人均耕地由70亩增为100亩)和税收制度本身从劳役地租向实物地租的转变过程。因此,从生产效果来看,“计亩均收”是指“实物中产量依公私田亩数量的比例予以分配。这样,可以防止农民耕作公田不力之弊,使公田、私田都能以同等的劳动耕种。从此,劳役田租的形式有了实物田租的内容,为日后井田制的消亡和走向履亩而税的完全实物地租制度打下了基础”[10]。尤其是随着“计亩均收”的税制变化,国家不得不越来越重视对田亩的丈量,于是管理数学变成了一门独立的学科,如《周礼·地官司徒》所载保氏“教之六艺”就包括“九数”[11]的内容。可惜,《周礼》并未对“九数”作出解释,后来郑玄引郑众注云:“九数:方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、盈不足、旁要,今有重差、勾股。”[12]难怪刘徽注《九章算术·序》云:“按周公制礼而有九数,九数之流,则《九章》是矣。”[13]由于“九数”是因西周田亩制度管理之需而产生,所以它在本质上是一门将古典计算方法运用于农业生产管理过程之中的科学。对此,有学者较为客观地分析说:“中国古代是农业社会,数自然是要为农业发展服务的,便由此发展起了我国古代的数学学科。”[14]

二、数学化思维:在“劳心”与“劳力”之间

“劳心”与“劳力”是孟子思想体系中最重要的两个哲学概念,也是中国古典管理数学形成的必要条件。孟子曰:“有大人之事,有小人之事。且一人之身,而百工之所为备,如必自为而后用之,是率天下而路也。故曰:或劳心,或劳力。‘劳心者治人,劳力者治于人。治于人者食人,治人者食于人。’天下之通义也。”[1]87显然,在孟子的语境里,“劳心者”亦即“管理者”,“劳力者”亦即“被管理者”,作为一个管理者,数学化思维是必须具备的素质之一。学会用创造特定数学场景的方式来答疑解惑,是孟子训导“劳心者”应当具备的一种管理智慧。以物价的差异为例,孟子说:“夫物之不齐,物之情也。或相倍蓰,或相什百,或相千万,子比而同之,是乱天下也。巨屦小屦同贾,人岂为之哉? 从许子(指许行)之道,相率而为伪者也,恶能治国家?”[1]88-89这段话的哲理性非常强,而为了说明“物之不齐,物之情”的深刻道理,孟子用几个数学概念创设了一个思维场景,帮助人们运用“物之不齐”(物价差异)头脑来认识“物情”和治理国家。文中的“倍”是表示多少个原数的数目,一倍曰倍,“五倍曰蓰”[7]235,“什,十倍也”[7]235。在这里,我们不单认识了先秦文献中的倍数表示法,还感悟了孟子数学化思维的神奇之力。当然,许行的价格主张,也有合理的一面。特别是许行要求政府应干预市场,从而避免出现商人垄断市场价格的行为,恰与孟子“自由放任”的市场主张相悖。

管理国家事务涉及方方面面的知识,这就对“劳心者”本身提出了更高的素质要求。孟子说:“君子深造之以道,欲其自得之也。自得之,则居之安。居之安,则资之深。资之深,则取之左右逢其原。”[1]101这里,君子的综合素质包括道德、人品和能力等都需要达到一个比较高的境界,而要实现这个目标就需要掌握正确的方法,尤其需要加强从亲自实践和亲自经历中得来的各种知识储备,并通过厚积薄发或深入浅出的方式将自己所储备的知识和学问自如地运用于管理国家的具体实践之中,所谓“取之左右逢其原”,便是君子人生的终极境界。孟子提醒君子之学宜求高深,切忌肤浅。他举例说:“原泉混混,不舍昼夜,盈科而后进,放乎四海。有本者如是,是之取尔。苟为无本,七、八月之间雨集,沟浍皆盈;其涸也可立而待也。故声闻过情,君子耻之。”[1]101对君子而言,名不副实是一件可耻的事情。文中用“原泉”和“雨集”来比喻学问的深浅,含有“无穷”和“有穷”的数学之义。孟子又说:“不揣其本而齐其末,方寸之木可使高于岑楼。金重于羽者,岂谓一钩金与一舆羽之谓哉? 取食之重者与礼之轻者而比之,奚翅食重?”[1]121可见,孟子当时已经非常熟知密度(比重)概念,且能十分自如地用来析事说理,以理服人。在孟子看来,金比羽毛重,是指两者相同体积条件下重量之比,而绝不是用一丁点儿金子和一车羽毛的重量进行比较,因为数量的变化必然会引起重量的变化。因此,比较应当是有条件的,例如长度的比较就需要在某种特定条件下进行,否则,就会出现一寸厚的木块比尖角高楼还要高的现象。在谈到人的本性与潜能的关系问题时,孟子举例说:“有人于此,力不能胜一匹雏,则为无力人矣。今日举百钧,则为有力人矣。然则举乌获之任,是亦为乌获而已矣。夫人岂以不胜为患哉? 弗为耳。”[1]121“一匹雏”和“百钧”是两个相差巨大的重量单位,究竟人们能不能“举百钧”而成为像乌获那样的大力士,实际上是个观念问题,以及“为”与“不为”的问题。人的潜力是无穷的,如果一个人连“举百钧”的信心都没有,就不要设想他能够成为像乌获那样的大力士。可见,建立自信心是激发人类潜能的重要手段之一。诚如美国潜能激励大师安东尼·罗宾所言:“若想成功,必须谨慎地选择你的信念。须谨记,我们所能激发出的潜能,我们所能取得的结果,均始自我们的信念。”[15]

对于“劳心”与“劳力”的区别,孟子云:“梓匠轮舆,能与人规矩,不能使人巧。”[1]132“与人规矩”仅仅是一种实践技能,还没有上升到理论的高度,“使人巧”则是一种源于实践又高于实践的理论总结,它反过来还能对“梓匠轮舆”的工匠实践起指导作用。孟子应用数学知识于说理的具体实践,在一定程度上就是一种“使人巧”的理论思维活动。因此,孟子坚信:“天之高也,星辰之远也,苟求其故,千岁之日至可坐而致也。”[1]130显然,“苟求其故”唯有数学思维(包括数学原理和数学方法)才能做到,“日至”指冬至日。根据孟子“千岁之日至可坐而致”的结论,张闻玉先生曾推断:“这正是当时人们长期运用四分历法,推算时令节气的真实写照。反之,如果当时还处于观象授时阶段,没有行用历法,那么‘千岁之日至’何以‘坐而致’呢?”[16]清人李善兰则站在中西比较的立场,认为:“古今谈天者,莫善于子舆氏(指孟子)‘苟求其故’之一语,西士盖善求其故者也。”[17]将孟子所倡导的“苟求其故”与西方近代的科学精神相提并论,一方面,李善兰“为中国古代科学没有遵循孟子‘苟求其故’的思想前进而深感遗憾”;另一方面,“则从反面显示了儒家这一思想方法对科技发展的价值所在”[18]。

孟子比较关注各诸侯国的政治得失,对于“子产听郑国之政,以其乘舆济人于溱、洧”这件事情,孟子从全局视角考察,发现子产的做法缺少统筹规划,因而不值得提倡。他说:“惠而不知为政。岁十一月徒杠成,十二月舆梁成,民未病涉也。君子平其政,行辟人可也,焉得人人而济之? 故为政者每人而悦之,日亦不足矣。”[1]100如果把行政管理视为一个有机的系统,那么,管理者的角色就是统筹全局,而不是事事亲为,否则,你就没有办法从繁杂的具体事物中解脱出来,从而总揽全面,抓大放小,这应当是“劳心者治人”的大忌。在通常情况下,军事理论所揭示的无疑是博弈求胜防败之原理。然而,双方博弈需要分析各自的综合实力,孟子认为:“小固不可以敌大,寡固不可以敌众,弱固不可以敌强。海内之地,方千里者九,齐集有其一。以一服八,何以异于邹敌楚哉? 盖亦反其本矣。”[1]57文中出现了“方千里者九,齐集有其一”的概念,朱熹解释说:“言集合齐地,其方千里,是有天下九分之一也。”[19]257即当出现“九分之一”和“九分之八”的对局时,胜负则一目了然。

三、虚拟化的管理路径:在“王道”与“霸道”之间

孟子认为国家体制可以分为两种类型:王道与霸道。具体言之,“以力假人者霸,霸必有大国。以德行仁者王,王不待大,汤以七十里,文王以百里。以力服人者,非心服也,力不赡也。以德服人者,中心悦而诚服也”[1]77。这里是以质而非数量和规模来划分“王国”与“霸国”之别,从长远的观点看,霸国命祚不会长久。反之,“师文王,大国五年,小国七年,必为政于天下矣”[1]96,甚至“诸侯有行文王之政者,七年之内,必为政于天下矣”[1]97。这里的“五年”和“七年”讲的都是概率,甚至带有一定的虚拟性质,然而需要注意的是孟子把“时间变量”作为一个非常重要的因素,嵌入由弱变强和由小变大的历史过程之中。那么,推行王道的标准是什么? 孟子特别强调下面五者:

尊贤使能,俊杰在位,则天下之士皆悦而愿立于其朝矣。市,廛而不征,法而不廛,则天下之商皆悦而愿藏于其市矣。关,讥而不征,则天下之旅皆悦而愿出于其路矣。耕者,助而不税,则天下之农皆悦而愿耕于其野矣。廛,无夫、里之布,则天下之民皆悦而愿为之氓矣。信能行此五者,则邻国之民仰之若父母矣。[1]77-78

文中的“廛而不征,法而不廛”“讥而不征”“助而不税”“无夫、里之布”,客观上都需要一定的数学知识和计算技能。因此,孟子说:“权,然后知轻重。度,然后知长短。物皆然,心为甚。”[1]66可见,量度具有普遍性,不仅物理形态的客观存在可以用数量来权度,心理形态的客观存在也可以用数量来权度,后世出现的心理测验应当就是孟子“物皆然,心为甚”这个量度思想的进一步发展。所以有学者指出:“从本质上说,测量就是根据一定法则用数字对事物加以确定,就是对某事物或现象之整体中的某一特征进行定量化的过程。”[20]

在孟子的语境里,王道与霸道不是相悖而是相向而行。有基于此,孟子承认“管仲以其君霸(管仲辅佐桓公成就霸业)”[1]74,但由于还不是孟子所理解的“仁政”,故难以长久。因此到齐湣王时,齐国的霸主地位便开始动摇,内困外扰,民不聊生,可谓乱象丛生。如《战国策·燕策一》载苏代之分析说,齐国“南攻楚五年,蓄积散。西困秦三年,民憔悴,士罢弊。北与燕战,覆三军,获二将。而又以其余兵南面而举五千乘之劲宋,而包十二诸侯。此其君之欲得也,其民力竭也”[21]。在这种历史条件下,霸政显然难以赢得民心。所以孟子主张:“当今之时,万乘之国(指齐国)行仁政,民之悦之,犹解倒悬也。故事半古之人,功必倍之,惟此时为然。”[1]75这里,孟子提出了他的“时机”观,只有抓住时机,才能使自己的努力收到事半功倍之效。此即齐人所言“虽有智慧,不如乘势。虽有镃基(一种锄头,引者注),不如待时”[1]74的喻义。当然,“时势”是由天道、地道、人事及生存环境等多种因素相互作用所形成的一种社会走向和历史发展趋势,它可以用数学方法来预测。在此,孟子之所以信心满满地看好齐国能“行仁政而王”[1]74,主要是因为齐国除了“时机”这个条件外,还是一个“万乘之国”,具有极大的政治影响力。孟子利用几个虚拟的数学概念解释说,“文王犹方百里起”[1]74,“夏后、殷、周之盛,地未有过千里者也”[1]74。像“方百里”“方千里”等概念,都不是实测之数值,而是源于《礼记》的爵禄之制。《礼记·王制》云:“王者之制禄爵:公、侯、伯、子、男,凡五等。……天子之田方千里,公、侯田方百里,伯七十里,子、男五十里。不能五十里者,不合于天子,附于诸侯,曰附庸。”[1]111至于此“方百里”是不是还内含一定的数学方法,孟子曾推测:“今滕,绝长补短,将五十里也,犹可以为善国。”[1]84可见,滕国的“方五十里”,是通过“绝长补短”这种数学方法将一个不规则的土地面积变成了一个规则的土地面积,以与《礼记》所规定的“禄爵”序列相合,其他如“汤以七十里,文王以百里”皆类此。

把数学置于王道之国的基础地位,重视数学在社会政治领域的应用,是孟子管理数学思想的显著特色之一。孟子说:“离娄之明,公输子之巧,不以规矩,不能成方员。师旷之聪,不以六律,不能正五音。尧、舜之道,不以仁政,不能平治天下。”[1]94-95无论是“规矩方员”还是“五音六律”,都离不开数学知识的应用。在这里,“规矩”“六律”和“仁政”,不是相互独立的三个部分,而是三位一体的关系。对此,孟子有明确的论述。他说:“圣人既竭目力焉,继之以规矩准绳,以为方员平直,不可胜用也;既竭耳力焉,继之以六律,正五音,不可胜用也;既竭心思焉,继之以不忍人之政,而仁覆天下矣。”[1]95“目”“耳”“心”是人体的最关键器官,也是人类智慧的来源,所以《鬼谷子·符言》篇云:“以天下之目视者,则无不见;以天下之耳听者,则无不闻;以天下之心虑者,则无不知。”[22]而以天下为耳目心思来观察问题和分析问题,便是问政于民的“王者之道”。因为舜作为万世之所宗之圣,就曾“询于四岳,辟四门,明四目,达四聪”[4]217,其时,舜臣垂作规矩准绳、耒耜、耒耨、铫耨[23]等,表明舜帝时代的原始数学和农业生产都有了较大的进步。孟子之所以推崇尧舜之王道,主要还是因为“王道”重视对民生的建设与规划。例如,孟子述“文王之治”云:

天下有善养老,则仁人以为己归矣。五亩之宅,树墙下以桑,匹妇蚕之,则老者足以衣帛矣。五母鸡,二母彘,无失其时,老者足以无失肉矣。百亩之田,匹夫耕之,八口之家足以无饥矣。所谓西伯善养老者,制其田里,教之树、畜,导其妻子,使养其老。五十非帛不暖,七十非肉不饱。不暖不饱,谓之冻馁。文王之民,无冻馁之老者,此之谓也。[1]128-129

这是一种对社会发展的远景规划,也是一种原始的目标管理,看似简单,其实也是需要一定数学知识的。以“八口之家”(亦作“数口之家”)为基准,孟子很认真地规划了在小农经济条件下,能够满足此“八口之家”消费所需的住宅、衣帛、肉食、粮食等基础数量,其中“百亩之田”这个数据,成为衡量农民是否进入富民社会的一个必要条件,但不是充分条件。“百亩之田,勿夺其时,数口之家可以无饥矣”[1]64,又“养老丧死无憾,王道之始也”[1]64。孟子认为,真正的“小农”富民社会,光是拥有“百亩之田”还不够,需要再加上“易其田畴,薄其税敛”[1]129这个充分条件。至于“薄其税敛”的数量标准,孟子主张“什一税”,大于或小于这个税率,孟子都是坚决反对的。例如,魏国大臣白圭想征收“二十取一”的税率,特向孟子征求意见,孟子感觉白圭将“无城郭宫室、宗庙祭祀之礼,无诸侯币帛饔飧,无百官有司”[1]125作为“二十取一”税率的依据,非常不切实际。所以孟子回答说:“欲轻之于尧、舜之道者,大貉小貉也。欲重之于尧、舜之道者,大桀、小桀也。”[1]125坚守尧舜之道是孟子政治管理思想的底线,因此,对于《礼记》“王者之制禄爵”所定各等贵族封地数量之上限,孟子认为不可突破,否则就会引起各诸侯之间相互攻城略地的严重后果。从这个意义上,孟子反对“富桀”和“强战”这两种“古之所谓民贼”[1]124的行为,哪怕它能给君主带来巨大的物质利益。

四、儒家的数学之用:在孔子与孟子之间

在先秦诸子百家中,儒家特别重视数学对于政治管理的价值和作用,这也是孟子管理数学思想的又一个显著特点。孟子是一位杰出的论辩家,他喜欢运用数学手段来析物明理,其理论水准之高可谓空前绝后。对此,贺继康先生在《<孟子>数学思想撷论》一文中有较详细论述,不赘。如众所知,孔子曾经在鲁国经历了应用数学的具体实践,如《孟子·万章下》载:“孔子尝为委吏矣,曰‘会计当而已矣’。”[1]113在这里,孔子的一句话已把“会计”这门管理数学的本质概括得十分到位了。因此,有学者总结说:“会计工作的要害系于‘当’字,取要得当,用要得当,算要得当,一个‘当’字,使会计的公允性和一致性两性合一。”[24]

孟子虽然没有孔子那样的数学实践经历,但他却格外重视数学之用,并且将数学知识与他的论辩才能结合在一起,从而形成了对数学之用的独特认识。

第一,孟子掌握了大量的数量词。如“万乘之国”“千乘之家”“五亩之宅”“百亩之田”“举百钧”“八口之家”“囿方七十里”“五旬而举之”“兼金一百”“方寸之木”“尺寸之肤”“榱题数尺”“马千驷”“革车三百两”等。这些数量词涉及政治、经济、地理、冶金、生物、生理、文化生活等众多方面,可谓包罗万象。

第二,对中国古代“历史周期率”的认识。孟子说:“彼一时,此一时也。五百年必有王者兴,其间必有名世者。由周而来,七百有余岁矣。以其数,则过矣;以其时考之,则可矣。”[1]84把“五百年”作为一个兴亡周期,孟子是把他的“天下之生久矣,一治一乱”[1]93思想数量化了,古代历史确实因社会矛盾的不断激化而呈周期性振荡和循环不已,所以它在总体上符合历史发展的波浪式发展规律。然而,若从数学的角度看,“五百年”则只是一个概率,并非一定如此。也就是说,“当时间区间足够大时,出现一个王者是很正常的,因为孟子没有说刚好五百年出一个”[25]。

第三,运用数学语言对某些物体的特征进行描述。例如:“城门之轨,两马之力与?”[1]134城门下的车辙如此之深,一定不是拉车的两马之力所致,而是众多车辆长年累月碾压路面所留下的痕迹。“有为者辟若掘井,掘井九轫而不及泉,犹为弃井也。”[1]129古代七尺或八尺为一仞,“九轫”约为七丈左右,不能因为在这样的深度还没有见到泉水就中途放弃,还需要持之以恒,因为掘井没有有效深度,只要及泉就算成功。“养其一指,而失其肩背而不知也,则为狼疾人也。”[1]120这是成语“惜指失掌”的来源,它告诉我们看问题应学会从整体利益出发,因为整体是由相互联系和相互作用的部分组成的,而部分在这个整体中就具有了它作为相对独立存在时所没有的性质,一旦脱离了整体,部分便失去了原本的意义和价值。“今之欲王者,犹七年之病求三年之艾也。苟为不畜,终身不得。”[1]97此为临渴掘井的另一种说法,但这里运用了数学上的“分倍”思维,旨在让人们进一步明白做事情须有备无患的道理。“古之为市也,以其所有,易其所无者,有司者治之耳。”[1]83这种市场行为必然包含着等量交换的数学原则。所谓“有司者治之耳”,就是说“市”是民众交易的场所,古代的官府对市场只是进行管理而不必对交易双方征收商业税。前揭孟子主张“物之不齐”的物价理论,他反对许行所提出的等量商品等量交换之“市贾不贰”[1]88观。实际上,市场上的物价既有“不齐”的一面,同时数量相同的同一类商品价格又有“等齐”的一面。在战场上,“兵刃既接,弃甲曳兵而走,或百步而后止,或五十步而后止”[1]63,于是就出现了“五十步笑百步”的逃兵之论。单就数学本身而言,“数的绝对值大小与方向关联,因为倒退,是负的方向,所以,‘五十步’才笑‘百步’”[26],问题是“五十步”与“百步”之间不是数量的差异,而是在本质上的同一。因此,孟子说:“直不百步耳,是亦走也。”[1]63不被现象所迷惑而紧紧抓住问题的本质,这是孟子论辩思维的根本。从孟子这个个案,我们不难发现,在先秦,哲学与数学之间经常表现为一种相互融合的关系,“数学成果往往带有哲学思辨的色彩,哲学观点又往往借助于数学语言来表达”[27]。

第四,在[0,1)即≥0,＜1的范围之内讨论问题,把复杂的问题简约化,亦即“博学而详说之,将以反说约也”[1]101,这有利于对未来目标进行统筹规划。孟子的时代没有“0”这个数字,但有“无”或“亡”的概念。孟子云:“宋人有闵其苗之不长而揠之者,芒芒然归,谓其人曰:‘今日病矣! 予助苗长矣!’其子趋而往视之,苗则槁矣。天下之不助苗长者寡矣。以为无益而舍之者,不耘苗者也;助之长者,揠苗者也,非徒无益,而又害之。”[1]76这个故事告诉人们,做事不能违背客观规律,更不能将自己的主观意志强加于客观事物之上,否则一切努力都会等于“0”,徒劳无益。《孟子》又载:

滕文公问曰:“滕,小国也,间于齐、楚。事齐乎? 事楚乎?”孟子对曰:“是谋非吾所能及也。无已,则有一焉:凿斯池也,筑斯城也,与民守之,效死而民弗去,则是可为也。”[1]72-73

这段话的核心思想就是,滕国想要在“齐、楚”两个大国之间求生存,就得上下团结一心,凿池筑城,坚守国土,尤其是当遇到外敌入侵的时候,没有一个人(＜1)因为怕死而离开滕国。实际上,这是最简约的回答,也是最有效的生存之策。在《孟子》一书里,同样的实例还有不少。如孟子曰:“有天爵者,有人爵者。仁、义、忠、信,乐善不倦,此天爵也。公卿大夫,此人爵也。古之人修其天爵,而人爵从之。今之人修其天爵,以要人爵,既得人爵,而弃其天爵,则惑之甚者也,终亦必亡而已矣。”[1]120所谓“终亦必亡而已”是指由于“弃其天爵”,这些人连他们自己本来修来的那一丁点儿仁心,也必然会最终丢失(=0)。

第五,开出了一条与《九章算术》略有差异的中国古典数学发展路径。中国古典管理数学和古典经济数学既存在共性同时又存在差异性。例如,孟子是站在君主的立场来讨论数学对于国家治理的重要性问题的,所以《孟子》一书具有比较鲜明的管理数学特色。因此之故,郭沫若才“将井田制认作当时土地的一种计量的方法与制度”[28]。若进一步分析,孟子是把数学作为一种说理并服务于政治的工具,而非仅仅是一种计算方法,从这层意义上讲,孟子的数学方法又近于亚里士多德的非证明式演绎系统[29]。然而,秦汉以降,大一统的政治体制逐渐使孟子的管理数学开始转向经济领域,偏重其应用性而不是说理性。自此,以《九章算术》为标志,中国古典数学的经济应用价值日益突出,只可惜,这种转向淡化了先秦古典数学发展的理论色彩和它的政治功能。

结论

如前所述,孔子尽管有从事计算工作的经历,但他却主张“君子不器”[1]19,这是儒家“德重艺轻”思想的滥觞。朱熹释:“器者,各适其用而不能相通。成德之士,体无不具,故用无不周,非特为一才一艺而已。”[9]78孔子卒后,“于威(齐威王,前357—前320)、宣(齐宣王,前319—前301)之际,孟子、荀卿之列,咸遵夫子之业而润色之,以学显于当世”[30]。孟子自称:“予未得为孔子徒也,予私淑诸人也。”[1]102从“私淑”的视角看,孟子与孔子的思想主旨是一致的,由“仁”说到“仁政”,一以贯之。然而,就对待“数”的态度方面,孟子则更加开放和包容。孟子举例说:“今夫羿之为数(指棋算数,益智游戏的一种),小数也。不专心致志,不得也。”[1]118字里行间满是对“小数”的尊重,而非歧视。尤其是孟子对孔子“尝为委吏”的“会计”经历,倍加赞赏,这恰好与狄尔泰所建构的“生活哲学”诠释理论相一致。

音乐和数学的一致性问题,是古今音乐家追求的崇高目标。西周的“六艺之教”,把“音乐”和“数学”同时纳入其整个贵族教育的体系之中,实际上已经明确了二者的内在联系。据《韩诗外传》载:孔子学鼓琴于师襄子,经过了“得其曲”“得其数”“得其意”“得其人”以及“得其类”[31]等五个步骤和“数”“意”“人”“类”四种境界,其中“得其数”是指掌握了乐曲的内在数比关系、结构与节奏。由于音乐教育是一种培养管理者内在涵养的必要手段,所以孟子也非常重视“六律”的学习,他在不同场合反复强调“不以六律,不能正五音”[1]94,朱熹释“六律”云:“截竹为筒,阴阳各六,以节五音之上下。黄钟、太簇、姑冼、蕤宾、夷则、无射,为阳;大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟,为阴也。”[19]336由于《管子·地员》载有确认六律的“三分损益”[32]法,因此,孟子所讲的“六律”(包括生律方法和生律次序)不仅仅系一个数学计算问题,应该还是一个如何营造“与民同乐”[1]68的“王国”政治生态问题。

孟子主张“九一而助”的税制,这种税制源于殷商所行之“井田制”,尽管11%的税率在中国古代从来都没有真正实行过,但作为一种理想化或者说数学化的管理目标,它却成为后世改革家和农民起义推动社会进步的重要思想动力之一。特别是孟子以“九一而助”为基础构建了一个具有“仁政”性质的“王国”治理体系。在孟子看来,征税是政府筹措各种管理支出的重要手段,因而是维系整个国家正常运转的必要前提,但须“取于民有制”[1]85,不能高于或低于11%。此外,在一个以自然经济为主体的社会经济领域里,征税的主要对象应当是农业,而非一般的商业和手工业。即使农业税,也仅限于下述三种税之一种,“有布缕之征、粟米之征、力役之征。君子用其一,缓其二。用其二而民有殍,用其三父子离”[1]134。

交易是维系农业生产正常进行的必要条件,对于这一点,孟子认识比较清楚。他认为:“一人之身,而百工之所为备,如必自为而后用之,是率天下而路也。”[1]87所以出路就在于“通功易事、以羡补不足”[1]91。孟子生活的时代,已经出现了“铁耕”[1]87,而农民“以粟易械器”[1]87是社会发展的必然趋势。通观来看,孟子的管理数学思想正是建立在这样的历史基础之上。于是,他区分了“劳心”与“劳力”两个社会阶层,前者重在管理,尤其是对国家发展规划和经济生态的量化管理,突出体现了孟子管理数学思想的特点。孟子运用数学方法于社会管理的多个领域,不仅是为了思辨,更重要的是为了实现“仁政”社会远景和人类的美好生存理想而提供思想动力,只有这样给孟子的管理数学思想定位,才能赋予孟子“仁政”说以更加丰富的思想内涵和价值意义,也只有这样去理解孟子的实用数学思想,我们才能弄清楚孟子为什么没有将易象数学[33]纳入他的视野之内。