基于遗传算法的脱模机转动系统最优控制器设计

熊澳，王琦

（武汉工程大学机电工程学院，湖北 武汉 430000）

混凝土作为现代最主要的建筑原材料，其强度对整个建筑工程的结构安全有重要影响，对建筑工程的质量也有很大影响，因此拥有相当严格的技术标准。建筑工程中，施工单位主要是通过混凝土试块检测方式来检测混凝土的强度，以确定混凝土配料是否符合施工的设计标准[1]。混凝土试块的制作包括振动、抹平、脱模、养护等工作步骤。现阶段，混凝土脱模全过程基本都是由工人完成，随着不同标号不同类型的混凝土种类越来越多，试件制作的工作量逐步加大，脱模工作量也变得很大，耗费较多人力，故需要研制混凝土自动脱模机来实现混凝土脱模的自动化。混凝土试块脱模机是一种专注于混凝土试块快速脱模的新型自动化设备[2]。根据课题，每次脱模，混凝土试块不少于5 组，每组3 个混凝土试块，该设备采用电推杆、微顶气压和可拆卸模具等装置进行辅助脱模，能够实现快速同步脱模，拥有操作方法简单方便、脱模快捷等优点，能够有效减少混凝土试块在脱模过程中发生的碰撞，极大减少了试块的不良率。模型如图1 所示。

图1 混凝土试块脱模机三维模型图

转动装置是混凝土试块脱模机的关键组成部分。为实现脱模机转动系统的角度控制，采用直流伺服电机作为驱动装置，传动轴为连接件，外框架为被控制对象。

随着电子技术的发展，直流电机的成本大大降低[3]。同时，直流电机还具有比较简单的控制理论。目前，直流电机角度跟踪控制已成为一项应用性很强的技术，因低成本、易携带、使用寿命长等特性受到欢迎[4]。但由于受精度建模等限制，所以存在鲁棒性不能令人满意等一系列问题[5]。为实现对伺服电机的高精准度、高灵敏度控制，许多学者通过现代控制理论，提出一系列线性或非线性的控制方法，如模糊PID 控制[6-7]、极点配置法[8]、最优控制[9-11]、神经网络控制[12-13]、神经网络PID 控制[14-15]等。其中最优控制的理论研究基础完善，实际控制性能强。如何设计出最优控制律主要取决于其加权矩阵Q、R的参数，但“最优”的加权矩阵系数往往通过设计者的经验工程和试凑法确定，而这样的控制器通常计算效能较差，也就无法获得最佳的动态性能指标。

本文以脱模机转动系统为研究对象，设计出一款基于最优控制的控制器，并利用遗传算法进行优化，即提高了设计效率，又保证了控制器的控制性能[16-19]。通过仿真结构验证了经过遗传算法寻优得到加权系数的控制器优于经验法求得的控制器。

脱模机转动控制主要是以直流伺服电机作为执行机构，通过直流伺服电机连接传动轴驱动外框架来实现角度控制的目的。直流伺服电机的驱动是依靠电路两端的电压，再采用传动轴连接脱模机外框架，实现外框架的角度跟踪控制[20]。其系统原理如图2 所示。

图2 传动系统角度控制模型图

1 脱模机转动模型建立

1.1 动力学和电学方程

整个系统在运动过程中，根据基尔霍夫电压定律和牛顿第二定律，得到满足的动力学方程和电学方程。

电枢回路电压平衡与反电动势方程为：

式中：E为电机反电动势；I为电枢电流；t为时间；Ke为电机反电动势系数；θ为角度。

电磁转矩方程为：

式中：Ki为电机力矩系数，N·m/A。

当电枢通过电流时会产生一个力矩，该力矩可用于维持负载和克服摩擦力等。根据牛顿第二定律，可以得到负载平衡方程式为：

式中：TL为负载转矩；Jm为电机转动惯量；ωL为负载角速度；Bm为负载粘性摩擦系数。

当TL＝0 时，由式（3）（4）可得：

化简式（1）（2），可得：

1.2 电机的传递函数

对式（5）（6）进行拉普拉斯变换，得：

式中：Ke为电机反电动势系数。

消去中间变量I( )s，得到电机电压到角位置的传递函数为：

本实验采用AKM41H 型直流伺服电机模型，参数：Ra＝1.2 Ω，La＝1×10-3mH，Ki＝0.5 N·m/A，Ke＝0.029 V·s/rad，J＝0.01 kg·cm2。

代入式（9）可得电机角度的传递函数为：

1.3 脱模机转动系统模型建立

本文以脱模机转动模型为研究对象，主要是依靠电机进行负载，其力学模型如图2 所示，根据上述电压平衡方程，可得力学微分方程为：

式中：bm为电机的粘性摩擦系数。

式（11）可简化为：

式中：ω为电机的角速度。

所以针对脱模机转动过程运动模型，建立状态空间模型为：

式中：y(t)为系统的优化输出向量。

根据前文参数，输入脱模机转动系统的状态空间模型为：

2 控制系统的分析

2.1 系统的稳定性分析

根据定常系统的劳斯判定依据，若系统的特征根全部为实数，则系统稳定，反之，若系统的特征根有一个或多个具有负实部，则系统不稳定[21]。求得矩阵A的特征根为0、-1.2096、-1198.8，有一个为0，所以根据上述理论，该系统处于不稳定状态。

2.2 系统的可观性和可控性

根据最优控制理论，对于式（14），若矩阵[A,B]完全可控、[A,C]完全可观，则存在状态反馈增益矩阵K。根据系统的可观性和可控性的秩判据计算为：

当rank(C)＝n时，系统可观。

当rank(M)＝n时，系统可控。

在MATLAB 中求得，rank(C)＝2＝n、rank(M)＝2＝n。因此，系统完全可观且可控。

3 LQR 控制器的设计与仿真

3.1 线性二次型控制算法

LQR（Linear Quadratic Regulator，线性二次型调节器）采用线性二次型控制，其是一种常见的控制器设计方法，适用于连续或离散时间系统[22-23]。通过线性二次型控制实现系统稳定性，由上述模型建立出的线性系统状态空间表达式为：

式中：x(t) 为系统状态变量；u(t) 为系统输入。

根据脱模转动过程的需求，计算出系统法最优状态反馈增益矩阵K，求得最优控制律u*(t)，使系统的优化输出y(t)跟随期望输出yr(t)，并使下列性能指标极小：

式中：Q为权重矩阵，是一个3×3 维正定对角矩阵，其中对角线上的每一个元素分别为系统电流、角速度和角度误差的权重系数；R为权重系数，是系统控制输入的调节系数，是一个正实数变量；e(t) 为系统的输出误差向量。

式（16）表示：通过使用Q和R进行优化，可以同时控制脱模机转动过程中的电流、角速度和角度，从而实现转动过程的稳定性控制。

2.2 节已证明该系统的可观性和可控性，现拟设计最优控制律u*(t) 为：

式中：P为满足代数黎卡提矩阵方程的唯一正定对称解。

黎卡提方程为：

本系统中y(t)=x3(t)，则在该系统中应采用以下状态反馈控制方案：

式中：r为参考输入；1x为电流输入；x2为角速度输入；3x为角度输入。

3.2 线性二次型控制仿真

在本文中通过试凑法选取加权矩阵为：

所以：

式中：Q11为电机电流的权重；Q22为电机角速度的权重；Q33为电机角位置的权重。

在MATLAB 中最优增益反馈矩阵K由函数K＝lqr[A,B,Q,R]实现，得到K＝[0.008,0.1927,1]，运行后得到仿真图如图3 所示。

图3 转动系统的线性二次型控制仿真

4 基于遗传算法的LQR 控制器设计与仿真

4.1 遗传算法

遗传算法是一种全局搜索算法，主要通过模仿自然界物种的优胜劣汰机制演化而来。它将待优化的参数进行编码作为染色体，通过自适应度函数对染色体进行比较、选择、交叉和变异，实现筛选个体，以保留优秀个体、淘汰不良个体，最终达到符合目标条件的全局最优解。本节主要使用遗传算法对线性二次型控制中的加权矩阵Q和R的参数进行智能寻优，将线性二次型的最小性能指标转换为适应度函数，以满足控制仿真结果的“最优”。

4.2 遗传算法确定参数的过程。

（1）确定变量空间。确定加权矩阵的四个参数和取值范围，本文设置加权矩阵Q的取值范围为[1,100]，R的取值范围为[1,10]。

（2）编码和解码。将4 个变量分别以长度为十的二进制字符串表示，将这些字符串组成长字符串。

（3）确定目标函数。为获取满意的动态特性指标，采用线性二次型控制算法的性能指标作为系统的最小目标函数，所以目标函数为：

（4）确定适应度函数。将误差信号e(t) 和控制量u(t) 作为系统的约束条件，控制系统的动态性能指标主要取决于这两个条件构成的目标函数值，其目标函数值越小，控制系统的控制效果越好。所以在遗传算法中将目标函数f(x) 的倒数作为适应度函数J。

（5）确定遗传算法的运行参数非常重要。在确定参数时，需要根据实际情况来选择种群大小、遗传代数、交叉概率和精英成员等。本文通过目标函数的计算，确定了迭代到20 次后，遗传算法的结果不再发生变化。经过研究，发现种群越大，寻优的可能性越大。因此，在确定参数时需要权衡计算效率和结果的准确性，选择适当的参数以达到最优结果。

解决上述遗传算法的参数问题后，遗传算法的优化控制律流程如图4 所示。

图4 遗传算法优化流程图

4.3 基于遗传算法的线性二次型控制

设置遗传算法，种群为100，交叉概率为0.4，精英成员为10，lqr的取值范围为[1,100]，R的取值范围为[1,10]，遗传代数为20。lqr参数的编码也是选取二进制字串，一共四个变量，分别表示为lqr(1),lqr(2),lqr(3),lqr(4)。之后将四个编码串联形成长编码，即为遗传算法的可操作对象。

设Q＝diag[lqr(4),lqr(2),lqr(3)]、R＝x(4)，经过遗传算法寻优后得到参数为：Q＝diag[6.71,2.19,90.5]、R＝6.4，经过计算得到状态增益反馈矩阵K＝[0.4 0.73 3.76]，得到目标函数优化曲线如图5 所示。可以看出，当程序运行到第四代时，目标函数已达到最优。

图5 目标函数优化过程及最优个体图

将得到的K代入Simulink 仿真图中，并与试凑法比较，比较后的仿真结果如图6 所示。可以看出，在试凑法中，通过求得的加权矩阵Q和R参数得到的状态反馈增益矩阵K使得系统稳定时间为2 s，且存在一定的超调量。而通过遗传算法寻优得到的Q和R参数计算出的K，使系统在1 s 内达到平衡。通过反复测试，得出结论，经过遗传算法寻优得到的参数明显优于试凑法得到的参数，具有更好的性能和更快的响应速度。

图6 两种优化方法的仿真图

5 结论

为提高脱模机转动系统的角度控制，本文对脱模机转动装置进行了数学建模，并建立了传递函数模型和状态空间方程。同时，对系统进行了可控性和可观性分析。为实现理论控制，采用了线性二次型最优控制方法，并进行了仿真研究。然而，在控制方法优化方面，发现LQR控制法的加权矩阵Q、R的参数需要进行优化，因此，提出遗传算法来解决这个问题。通过仿真结果可以看出，经过遗传算法寻优得到的参数所计算出的状态反馈增益矩阵优于试凑法得到的状态反馈增益矩阵。在针对脱模机转动系统的角度控制方面，遗传算法均优于试凑法。经过优化后，线性二次型控制法的稳定时间从2 s 降到了1 s，且没有超调量。虽然基本遗传算法具有较快的收敛速度，但是局部搜索能力较弱，容易陷入局部最优解。因此，需要提供一种改进遗传算法的方法，以增加其局部搜索能力，避免陷入局部最优。