一时滞微分系统无条件稳定和Hopf分支

武燕玲

（安徽工业高级技工学校，安徽 淮南 232001）

一时滞微分系统无条件稳定和Hopf分支

武燕玲

（安徽工业高级技工学校，安徽 淮南 232001）

利用定性分析方法和代数理论中代数方程根的性质，研究了三阶线性时滞微分系统的无条件稳定性和Hopf分支，得到了三阶线性时滞微分系统无条件稳定性的充要条件和出现Hopf分支的条件。

时滞微分系统；特征方程；无条件稳定性；Hopf分支

本文讨论如下形式的时滞微分系统的无条件稳定性和Hopf分支

这里f1，f2，f3∈c1,τ＞0。系统（1）可作为三种群相互作用的数学模型[1-4]。设E（，，）是系统（1）的平衡点，系统（1）在平衡点E处的一阶近似系统为：

进行如下计算得

一、无条件稳定的判定

假设（3）式有纯虚根，令λ=iω，ω＞0，则

综上分析可得下面结果。

定理1 系统 （2）无条件稳定的充要条件为（HI）成立及条件（HII）或条件（HIII）之一成立。

二、Hopf分支

引理7 在条件（HVII）成立条件下，若（HVI）和（HIV）（HV）之一同时满足时，则有

（1）当 τ∈[0，τ0]时，特征方程（3）的所有根皆具有严格负实部；

（2）当 τ=τ0时，方程（3）有一对简单纯虚根± iω0，且其余根皆具有严格负实部；

（3）当 τ＞τ0（n=0，1，2，…）时，方程（3）至少有n+2个正实部的根。

将引理4和引理7应用到系统2中，有下面定理。

定理2 在条件（HVII）成立条件下，若（HVI）和（HIV）（HV）之一同时满足时，则在τ＞τ0（n=0，1，2，…）时，系统2出现Hopf分支。

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O172.1

A

1009-9530（2010）05-0026-03

2010-06-19

武燕玲（1970-），女，安徽淮南人，安徽工业高级技工学校讲师。