太阳能小屋的最优设计模型

何 帆,黄 迎,石秋菊,欧阳康

(湖南理工学院 数学学院,湖南 岳阳 414006)

引言

2012年全国大学生数学建模比赛B题是一个如何给大同某建筑配置太阳能发电装置的优化问题.首先原题中给的太阳辐射数据是按时刻获取的,为了准确地计算出年总辐射强度,对辐射数据先按时刻做平均,得到每时刻的平均辐射强度,再对平均辐射强度进行拟合得到辐射强度的变化函数,由该函数通过积分可得≥30W/m2和≥80W/m2辐射的总强度.其次,设计太阳能发电的使得收益效率最大化的电池及逆变器的选择问题,需要结合实际情况,我们可以把基本需求归纳为:选用的电池及逆变器的成本最低,但使得收入最大化.因此需建立非线性整数规划模型来对最优方案进行选择.再次,由于需确定的变量非常多,目前有的整数规划算法均不能有效地求解该问题.在第一问中给出了对针对同类型电池组件进行性价比的优选模型,对电池组件进行了优选.然后再取最优和次优的电池组件作为选择的对象进行模型的计算,大大减小了计算量.最后,在第二问可调整电池组件的安装角度时,先考虑如何确定电池组件平面的方位角和高度角使得接受的太阳光年辐射总强度能达到最大,然后分析可行的安装方案,并考虑阴影的影响.第三问根据第二问的结果,分析考虑电池组件的最佳方位角和高度角来进行参考设计小屋,可使得电池组件的安装的复杂程度降低.

1 模型的假设

(1)假设题中所给的数据真实可靠;

(2)假设太阳能小屋的光照仅受气象条件影响,而不受树荫等其它外界因素的影响;

(3)假设太阳能光伏电池组、逆变器在自身温度变化的情况下,其电能的转换效率不变;

(4)假设每个表面上的阳光辐射强度是均匀的;

(5)假设电池组并联时,电压差不超过10%,电压按最低电压输出.

2 模型的建立

2.1 问题一

在该问中,对数据进行了预处理,并对太阳的辐射建立了曲线拟合模型,计算出年太阳辐射总强度.并建立了问题一的基本模型,进行了优化,计算出相关的结果.

图1

2.1.1 数据预处理及模型分析

从附件4中的数据来看,屋顶的长斜面(图1中ABFE面)的辐射强度未知,需计算ABFE面上的阳光辐射强度.当阳光从某角度入射ABFE面时,在 ABCD平面和 DCFE立面上投下的阴影由几何学可知都是平行四边形.而ABFE面上的辐射能量就等价于阴影上的辐射能量.因此ABFE面上的辐射强度可按下式近似计算,

其中W水平、W南、W水散分别为水平方向、南立面方向、水平散射的总辐射强度.

每天的辐射强度受气象的影响比较强烈,为了计算全年的总辐射强度,这里采用先求每时刻上的平均数据,再建立曲线方程.由于当辐射强度小于30 W/m2时,太阳能电池均不能工作.这里将小于20的数据都剔除,再进行曲线的拟合.

图2 各方向单日平均辐射强度及拟合曲线(*原始曲线,+拟合曲线)

由图2可知除了东、西面,其它方向都比较符合二次曲线的特征.因此对除了东、西立面外其它方向均采用二次曲线拟合模型:f(x)=ax2+bx+c,而东、西立面的辐射强度则采用三次曲线拟合:f(x)=ax3+bx2+cx+d.使用最小二乘法可计算出系数,结果见表1.

表1

考虑太阳的辐射是连续变化的,这里可以根据拟合函数进行积分,可得到一天中太阳的总辐射强度,假设每年按365天计算,即可得到每个方向上的年总辐射量,公式如下:

考虑某些电池在 30W/m2或 80W/m2的辐射强度以下不能工作,因此积分的上下限分别取方程f(t)=30和f(t)=80的根,从而可计算出每天可产生电能的太阳总辐射量,见表2.

表2

2.1.2 建立模型

由于同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时,同型号的电池板可串联,不同型号的电池板不可串联.在不同表面上电池不能进行串、并联连接.因此这里认为在不同表面上不能共用逆变器.总的发电量是每个表面发电量的和.总的经济效益为所有面上的经济效益的和,因此该问题可以分解为每一个面上的组合优化问题.外表面有 6个,其中顶部小斜面由于朝北,并且坡度较陡,不适合安装光伏电池,因此这里仅考虑其它5个面.假设第l个表面上的经济收入为Zl,成本为Cl,则可得经济效益的表达式:.

假设第l个表面:使用了第i种逆变器的数量的数量为xl,i个,第i个逆变器下使用第j个电池有gl,i,j组,每组电池数量为nl,i,j,所有光伏组件在0～10年效率按100%,10～25年按照90%折算,25年后按80%折算,则35年该表面的发电总收入为,

而该面上的总成本则为

其中ηi表示第i种逆变器的效率,ηPVj为第j块电池板的转换效率,Wj表示第j块电池板受太阳光的辐射强度,Mi为第i块逆变器的价格,MPVj为第j块电池板的单价(元/wp),PPVj为额定功率,每块电池的价格实际上是PPVjMPVj.

考虑到小屋的各个外表面面积约束,逆变器的额定功率及允许输入电压范围约束,及不同电池组并联的约束,从而建立如下基本模型.

模型Ⅰ:

其中Sj为第j种电池板的面积,为可铺设面的面积,Pi为第i种逆变器的功率,Uj为第j块电池板的输出电压,ULOWi与UUPi为第i种逆变器允许输入的最低与最高电压.

2.1.3 模型改进

由于模型Ⅰ变量数量(共450个变量)过多,通过LINGO编程计算不能得到可行解.模型优化的思路为如何减少变量的个数.由数据知电池分为3类,每类电池的适用范围相同.因此考虑在相同的光照强度、相同的面积下对每类电池的性价比,选出每类电池性价比最高的 2种电池进行计算可以大大减少模型求解中计算的复杂度.另外还可以根据每个表面的光照特征来确定适用的电池,进一步减少可选电池数量,简化模型的计算量.

(1)由性价比优选电池:随机模拟一块矩形面积S,给定辐射强度为1000W/m2,比较同类电池产生的功率和其价格的比做为性价比指标进行判定.

模型Ⅱ:

其中i为同一类电池的个数.为了排除特定面积的影响,随机给出十万个面积进行计算,然后以十万次结果的平均作为性价比的评价指标,模拟结果见表3.结果表明3类电池中A3、B7和C6的性价比为各自类别中最高.后面都仅考虑每组排名前两位的电池型号进行计算.

表3

(2)由太阳辐射优选电池:由平均辐射强度可以统计出强度分别超过200,80,30的大致时长(见表4),由此根据电池的特性可以确定某个外表面上适用的电池类型,比如北立面辐射强度超过80的仅仅只有约4个小时,使用A、B型电池的开机率太低,因此北立面只能选C型电池.

(3)模型优化:模型Ⅰ中由于同时考虑了5个表面,在计算上比较复杂.考虑到每个表面是独立的逆变器,因此可以把总的收益效率分解为5个面的效率的和,每个面的收益效率均使得最大即可,因此这里对每个表面建立相同的模型即可.

表4

模型Ⅲ:

其中NPV为相应表面上可选的电池数量,该数量综合电池的优选和辐射强度的优选结果见表5.

表5

表6

2.1.4 模型求解

(1)计算结果

经过简化的模型数据量大大减少,通过LINGO程序计算可得到优选结果见表6.

(2)方案设计

根据表6的计算结果,在方案的设计时,不仅要考虑方案的可行还要便于实际情况的安装和维护,设备的选择方案见表7.

表7

表8

(3)收益计算

根据太阳辐射总量和表7的设备选择可计算出收入,见表8.易算出每年收入效率为:10.4%.成本的回收年限为:9.2年.

2.2 问题二

对于问题二,选择架空方式安装光伏电池,需要考虑电池板的朝向与倾角问题,使得接受到的太阳辐射尽可能大.

2.2.1 问题分析

当电池板法向的高度角和方位角记α,β确定时,可以确定该电池板的所在的平面位置,如图3,4所示.

图3

图4

设北向为x轴正向,东向为y轴正向,垂直xy平面向上为z轴,设电池板的法向的高度角和方位角分别为α,β,其法向单位向量 (x1,y2,z3).则x1=cosαcos(π−β),y1=cosαsin(π−β),z1=sinα.太阳的直射方向随着时间变化的,设i为日期的序号,t为时刻,第i日,记第t时刻的太阳高度角为ai,t和方位角为bi,太阳光线的单位向量可表示为(−xi,t,−yi,t,−zi,t),向量取负,其中xi,t=cosai,tcos(π−bi,t),yi,t=cosai,tsin(π −bi,t),zi,t=sinai,t.太阳能电池板法线和太阳光方向夹角的余弦为:

2.2.2 建立模型

记Wi,t为第i天,第t时刻的太阳法向直射强度.对于单位电池板的面积SB=1,则太阳光垂直通过的面积为cosθ,则可求α,β使得一年中总辐射最大的模型,

模型Ⅳ:

其中(xi，t,yi，t,zi，t)由数据计算所得.通过编程计算可得到高度角a=34o6′和方位角b=214o3′.但按照这个角度去安装光伏电池,考虑施工上会有很大的困难,这里仅仅考虑高度角的变化.按每一面的最优化建模,得到模型如下,

模型Ⅴ:与模型Ⅲ相同,面积约束改为

2.2.3 模型求解

(1)计算结果

通过LINGO程序计算得到结果见表9.

(2)方案设计

根据表9的结果,在方案的设计时,不仅要考虑方案的可行还要便于实际情况的安装和维护,设备的选择方案如表10.

(3)收益计算

根据表 9的设备选择及计算出的辐射总量可计算出收入见表 11.同时可计算出每年收入效率为:16.4%,成本的回收年限为:6.8年.

表9

表10

表11

2.3 问题三

本问中根据前两问给出了计算结果,参考光伏电池的最优高度角和方位角进行了小屋的设计,并建立最优模型进行了计算,计算出了总的收益效率.

2.3.1 问题分析

这里参考问题二中最优化的方位角和高度角.方位角在214o3′分,及高度角在 3 4o6′时太阳辐射最强,考虑太阳光法向直射辐射强度在 14点时刻最强.因此在朝向上需要考虑将南立面向西偏一定的角度,或者将西立面向南偏一定角度.另外,对于屋顶朝南的斜坡,需要尽可能地符合最优的高度角,以保证屋顶更多地接受太阳辐射,并可使安装简化.设计如图5所示.

图5

2.3.2 模型建立

按照上述的设计方案,顶部和南立面的太阳光辐射可以达到最优情况,这里采取墙面附贴的形式进行安装,通过对一个外表面进行建模所得模型与模型Ⅴ同.但墙外表的太阳光辐射强度按公式(8)计算.

2.3.3 模型求解

采用LINGO编写程序,计算出结果.

(1)计算结果

通过LINGO程序计算(见附录)可得到计算结果,见表12.

(2)收益计算

根据公式(8)计算出的太阳辐射总量和表 8的设备选择可计算出收入,见表 13.同时易算出每年收入效率为:21.4%,成本的回收年限为:4.8年.

表12

表13

3 模型的评价

本文中的给出太阳辐射的曲线拟合模型,优选电池组合的非线性整数规划模型及改进的模型,针对非线性整数规划模型难以求解的问题,给出了减少变量的优选电池的方法法,有效地减低了求解的复杂程度,是一种有效的处理办法.

[1] 沈 辉,曾祖勤.太阳能光伏发电技术[M].北京:化学工业出版社,2005:13～16,79～86

[2] 萧树铁.数学实验[M].北京:高等教育出版社,2006:73～77

[3] 【日】太阳光发电协会编.太阳能光伏发电系统的设计与施工[M].刘树民,宏 伟,译.北京:科学出版社,2006