基于排队论的工程装备战时维修力量配置

鲁冬林，张 强，邸彦朝，曹建伟，张红锋

(1.解放军理工大学，南京 210007;2.解放军边防学院 边防管控教研室，西安 710108)

工程装备在执行工程保障任务时，特别是在战争中，会受到不同程度的损坏，严重降低了装备的工程保障效率。因此，对战损工程装备的战场抢修成为战时维修重要内容。在战争的准备阶段，必须充分考虑工程装备的维修力量的配置，以减少维修力量配置不足或过剩，从而达到维修力量的合理配置。

目前，大多维修排队模型考虑的是工程装备数量无限多的情况。而实际运用时，工程装备的数量是有限的，而且维修站的容量也是有限的，因此，其模型有一定的局限性。目前对工程装备战时保障力量的配置研究还很少。在此充分考虑到参加战时工程保障任务的工程装备的数量有限，建立了顾客数量有限的排队模型。并在排队论的基础上引用了战时工程装备的平均故障台数、等待修理的平均台数、装备的完好率，通过限制不同损坏程度的工程装备的完好率，获得了针对不同损坏程度的工程装备的战时维修力量配置，最终获得战时维修力量总配置。

1 维修排队模型选取

1.1 排队论模型一般形式及数量指标

排队是日常生活中的常见现象，如顾客到商店购物、客户到银行接受服务等。当顾客数超过服务机构(服务器、服务台、服务员)的容量时，到达的顾客不能立即得到服务，因此就产生顾客等候的情况，即排队现象。一般来说顾客的到达是随机的，因此排队论又称随机服务系统理论。

1)排队模型的一般形式。X/Y/Z/A/B/C，其中:X 表示顾客相继到达间隔时间分布;Y 表示服务时间分布;Z 表示并列的服务台数目;A 表示服务系统的容量限制;B 表示顾客源数目m;C 表示服务规则，如先到先服务(FCFS)，后到后服务(LCFS)。

2)排队模型的数量指标。对长:指在系统中的顾客数，其期望值记作Ls;排队长:指在系统中排队等待服务的顾客数，其 期 望 值 记 作 Lq。到达率:指单位时间内到达系统中的顾客数，其期望值记作λ;服务率:指单位时间系统中每个服务台所服务的顾客数，其期望值记作μ。

1.2 维修排队模型选取的依据

一般情况下，工程装备的维修服务由多个维修维修力量编组而成，并遵循先到先服务的维修规则，维修点的最大容量有限，维修装备源有限，且装备针对一个维修服务点的进行维修循环(即战损后再次送往维修点维修)。

工程装备到达率λ 服从负指数分布为简化模型，对于工程装备而言，视其损坏后即刻送达维修站维修，工程装备损坏的时刻满足以下4 个条件［1］:

1)在不相重叠的时间区间内工程装备损坏是相互独立的。

2)对于规定时间间隔Δt，在时间区间［t，t +Δt)内有1个装备损的概率与t 无关，且视为与时间区间Δt 成正比，即p1(t，t+Δt)=λΔt+ο(Δt)，其中ο(Δt)，当Δt→0 时，是关于Δt 的高阶无穷小。λ ＞0 是常数，它表示一个单位时间装备到达维修站的概率。

3)对于规定时间间隔Δt，在时间区间［t，t +Δt)内有2个或者2 个以上工程装备到达的概率小。

4)工程装备的到达是纯随机的，无记忆性。

因此，工程装备的到达率服从负指数分布。维修率μ 服从泊松分布。对于某台工程装备的维修时间，在固定人员配备的情况下，维修人员对工程装备的维修时间满足上述前3条。由于人员对工程装备的维修时间随着经验的增长而维修时间变短，因此维修时间不满足无记忆性。则维修时间服从泊松分布。

由上述分析，工程装备维修系统排队模型可表述为M/M/c/m/m;其参数依次为:顾客到达服务台的时间服从负指数分布(M 表示)，服务时间服从泊松分布(M 表示)，服务台个数为c，服务系统容量为m，顾客总体为m。

2 工程装备维修服务排队模型

2.1 维修排队模型的构建

M/M/c/m/m 排队系统模型可表示如图1 所示。建立M/M/c/m/m 排队模型的状态转移图(图2)，其中第n 个状态表示系统中有n 台工程装备，φ 为维修力量合并后相对于总维修力量变化的影响系数。两相同维修力量合并后而成的维修力量为总维修力量的60% ～80%。

图1 M/M/c/m/m 排队系统模型

图2 状态转移图

根据状态转移图列出状态转移方程:

求解得差分方程:

其中:

由排队论的基本理论，定义队长度等于工程装备平均故障台数，排队长等于工程装备排队等待维修的平均台数。

1)等待修理的平均台数:

2)平均故障台数:

2.2 工程装备维修排队模型参数获取

首先，装备平均到达率λ 的获取。一是可以通过人员到实际地域调查获取。二是通过对到达维修站的工程装备数量的统计获得。其次，工程装备的平均维修率μ，主要是通过对该维修所的人员进行综合评价获取。

2.3 装备完好率

工程装备完好率是反应装备技术状况的指标，它是完好装备与实有装备之比率。工程装备完好率可以按装备台数来计算，称装备数量完好率;也可以按装备台日数来计算，称装备台日完好率。本文定义装备的数量完好率。

设参加某工程保障任务的工程损坏装备有m 台，其中有Ls台装备由于故障正在等待维修。则工程装备的完好率可定义为:

3 实例分析

工程装备战时损伤可以分为轻度损坏、中等损坏、严重损坏。根据资料统计，对于轻度损伤装备，一般需要一个维修小组进行2 h 维修(现场维修);对于中度损伤装备，需要一个维修小组进行4 h 维修(定点维修);对于重度损伤的装备，需要一个维修小组进行24 h 维修(定的维修)。视工程装备一个维修小组具有维修力量量化为1(单位维修力量)，视工程装备单位维修力量为工程装备战时维修力量的最小模块化单元。通过配置单位保障力量即可获得工程装备的战时保障力量。

设某战区动用100 辆工程装备为部队遂行工程保障，据历史数据统计，工程装备的故障间隔时间服从负指数分布，平均无故障时间为30 h，即工程装备的平均无故障率λ 为0.033 3台/h。伴随保障服务时间服从泊松分布，对于轻损装备的维修时间为2 h，即平均修复时间μ轻=0.5 台/h;对于中损装备的维修时间为4 h，即平均修复时间μ中=0.25 台/h;对于重损装备的维修时间为24 h，即平均修复时间μ重=1/24 台/h。假设要求对轻损装备的完好率保持在90%以上，中损装备的完好率保持在80%以上，重损装备的完好率保持在60%以上。配备战时保维修维修力量。

由于不同损伤装备的维修率不同，可针对不同装备的损伤数目分别求出其维修力量，最后求得总维修力量。根据战损比例，100 台工程装备在遂行工程保障任务中的不同程度损伤的台数:轻损装备40 台，中、重各损坏15 台，另外15 台报废(不进行维修)。

根据M/M/c/m/m 可计算得，计算结果如图3 所示:轻损装备(m=40)完好率要保持到90%以上至少需配备c =3个维修力量;中损装备(m=30)完好率要保持80%以上至少需c=4 个维修力量;重损装备(m =15)完好率不能达到60%以上。为此，在配置重损装备的维修力量时，将两个维修力量合并到为1 个维修力量，取影响系数φ =0.75。则两个维修力量合并后维修力量为1.5，因此2 个维修力量合并后对重损装备的平均修复时间μ重=1/18 台/h。经计算得重损装备的维修力量配置图(图4)，重损装备(m =15)完好率不能达到60%以上，需要配备2 ×7 =14 个维修力量。

图3 维修力量未合并前战损装备维修力量配置

图4 合并维修力量后重损装备维修力量配置

4 结束语

在模型中，通过多战时工程装备的总数的限制。修正了其他模型的不足，更加结合实际运用。根据上述事例分析，在战时维修力量的配置时，若保障要求严格，可能导致现有的单位保障力所具有保障效率量不能完成保障任务，因此需要将维修力量合并，但需考虑维修力量合并后的变化(并不是维修力量的简单叠加)。如实例所诉，当重损装备在单位保障力为1，无论怎样提高保障力的数量，任然不能使装备的重损装备的完好率达到60%，原因是提高的维修力没有得到充分利用，多余的维修力量处于空闲状态。因此在讲2 个维修力量合并到一起后可以缩短重损装备的平均维修时间，最后从新配置维修力量即可使得重损装备的完好率达到60%。

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