香农公式在扩频通信中的应用

刘昌锦，韦 哲

(解放军陆军军官学院，合肥 230031)

扩频通信是围绕提高信息传输的可靠性而提出的一种有别于常规通信系统的新理论，其构想形成于二战时期，理论形成与40 年代末，50 年代初期，60 年代首先在军事通信保密和抗干扰领域获得应用，70 年代以来，尤其是其突出的抗干扰性能，扩频通信(CDMA)系统在移动通信领域占有重要的地位。

1 香农公式

香农公式是扩频通信的理论基础，它直接反映了信道容量和信号功率、噪声功率的函数关系。信道容量的概念是由平均互信息量定义的［1］。平均互信息量I(X;Y)是指信宿平均每接收到一个符号，所能得到信源发送符号的信息量。若取样频率一定，就可转化为信息传输速率。因此，发送符号的速率快并不能说明信息速率大。

香农公式指出，当信号的有效带宽为B，信号和噪声功率分别为S 和N 时，极限信息传输速率即信道容量C 为

满足的条件是:连续消息是平均功率受限的高斯随机过程;噪声为加性高斯白噪声。由香农公式可以得到以下结论。

1)无论采用何种编码方式，信息速率R≤C，但在允许的信息速率之下总可以找到某种编码系统，以任意小的差错概率传送信息。为差错控制编码提供了理论依据。

如图1 理想情况下，假设解调器两端都达到极限信息传输速率，即

在Ri=Ro且Si/Ni＞＞1 和So/No＞＞1 的情况下，参考文献［2］中给出了

在理想带通系统中，输出信噪比随着带宽比值按指数规律变化。为了提高通信有效性，可以增加发射功率，也可以展宽带宽，而实际中展宽带宽显然比增加功率更易实现，且能够有效提高信噪比。

3)传输信号的有效带宽越宽，信噪比越高，信道容量越大。但当B→∞时，有，因此不能用无限带宽换取信道容量，说明带宽换信噪比是有条件的。下面将从理论分析和仿真验证两方面说明香农公式的应用。

图1 理想带通系统原理框图

2 扩频理论分析

2.1 扩频通信系统结构

扩频通信系统的调制过程分为扩频调制和射频调制，按照扩频方式的不同可分为直接序列(DS)扩频、跳频(FH)、线性调频(Chirp)，以及混合方式。在这里以DS 系统为例，分析调制前后频谱的变化。

图2 DS 系统基本框图

设信号源发出的信息流为二进制双极性不归零码a(t)，码元宽度为Ta，当发送0 码和1 码等概时，参考文献［4］中给出了a(t)的功率谱密度函数

伪随机序列c(t)的定义与a(t)相似，但是周期的，c(t)与a(t)相乘完成扩频调制，射频调制采用PSK，功率谱如图3。

图3 扩频调制后信号的功率谱

接收的过程是超外差式，可以避免瞄准式干扰，无噪声干扰时可恢复原功率谱。信道传输中加入噪声，接收端解扩和混频通常是一并进行的。对于有用信息，只要本地PN 码c'(t)与c(t)相同，码位对准，经过相关运算就可以无损失地恢复a(t)。对于带限高斯白噪声n(t)，经过混频、解扩后相当于分散了其功率

进一步解调和滤波，可消除噪声的大部分分量，而保留信号的大部分频率，从而提高可靠性。

2.2 伪随机码与白噪声比较

白噪声是一种理想的宽带随机过程，它的瞬时值服从正态分布，功率谱密度在整个频域内是均匀的，自相关函数是在τ =0 点的冲击，即不同时刻开始的同一噪声源发出的白噪声，自相关为零。

由于理想白噪声具有良好的自相关特性，无法实现对白噪声的放大、调制、检测、同步，如能人工模拟，可以用于保密通信而不被截获。但白噪声是连续随机过程，很难模拟其统计特性，但在工程上可用多进制脉冲码元在相关特性上逼近白噪声。伪随机码(PN 码)是一种具有类似白噪声性质的码，大部分伪随机码是周期码，可以人为地产生和复制，通常由二进制移位寄存器来产生。

图4 m 序列自相关函数

用m 序列作为伪码，其自相关函数如图4。在一个周期内很好地逼近了白噪声的相关特性，并且随着N 的增加，在τ=kN 附近越尖锐，其它地方越接近于0，逼近效果越好。以下将通过模拟仿真进一步验证理论的正确性。

3 仿真与结论

利用Matlab 仿真整个DS 调制和解调、解扩过程。整个程序分为过程模块、随机码模块、码形产生模块、噪声产生模块，所有模块都为函数形式，过程模块为主体，调用其它函数，自变量为PN 码宽度。仿真步长为0.001，信息码、PN 码由随机码模块产生，并由码形产生模块产生近似连续的码形。噪声产生模块产生与信息码点数相同的噪声序列。调制采用BPSK，载波用余弦函数的离散点代替，频率为PN 码频率的2 倍。

依照图5 的流程，为了简便，在解调的过程中不采用外差式相关，而采用直接式相关。用m 序列发生器产生一段长度为7 的随机信号和长度为31 的PN 码，令信号码宽为1，PN 码宽为1/4(如图6)，可计算输入信号功率为Si=1.001 4。高斯白噪声功率Ni=8.859 7，输入信噪比为Si/Ni=-21.801 2 dB，信号完全湮没在噪声里。

图5 仿真流程

图6 信息码和PN 码波形

在接收端用同频率载波与之相乘，完成解调，再用相同的PN 码与之相乘，完成解扩。得到其频谱如图7 所示(横轴为归一化频率f ' =f/fs，其中fs=100)。

信号频谱的主要能量集中于f '≤0.01(归一化频率)，而高频分量的能量也很大，这些分量主要是被分散功率的噪声。为了滤除这些分量，用切比雪夫最佳一致逼近设计FIR低通滤波器，截止频率设在fc=0.01 处，对其进行滤波，结果如图8。

图8 滤波后的波形和频谱

此波形虽然可以看出原波形的轮廓，但若以0 为判决电平，一些毛刺仍会在很多时刻影响判决，这些毛刺是高频的噪声。从频谱可以看出在f ' =0.25 ～0.3 处有较明显的噪声干扰，由于滤波器的阻带不可能增益为0，所以未能消除，因此对其进行二次滤波(如图9)。

图9 二次滤波后波形

图10 错判概率与PN 码宽度的关系

经过二次滤波，如果设置0 为判决电平，无误地恢复+1、-1 的概率将增大。但仿真中的PN 码速率不够高，不能有效地分散和滤除噪声的频谱。为了探究PN 码速率和通信有效性的关系，选取码宽从1 到1/1000 的14 组码宽，重复上述实验。由于噪声是随机的，每一判决时刻错判概率近似于一段时间出错的频率。因此用该时间段判决错误的频率为衡量标准，得到如图10 所示并拟合曲线。

以上仿真实验可以得出:

1)该实验是在频域较广的高斯白噪声下进行的，其它频域有限的干扰的频率会被更大地分散，通信质量会好于该实验。

2)增加PN 码速率可以降低误码率，但只有码速率有数量级的提高才能明显地降低误码。要保证可靠通信，必须满足Tc＜＜Ta。

3)滤波器的性能非常重要。本实验中35 阶滤波器的过渡带过长，一次滤波的效果并不好，但多次滤波又使得信号能量降低，过高的阶次又会使接收有明显的延迟，因此要选用合适的滤波器。接收端信号功率小且含有杂波，可以接入小信号选频放大电路，进一步放大和选择信号。

4 结束语

扩频通信从编码的角度来看，是通过增加冗余而减少误码概率的，牺牲了有效性。本文选取了DS 系统发送和接收过程，分析了两个过程中信号和噪声的带宽、信噪比的变化情况，并定性地给出了曲线图，说明了通信质量的改善。实际工程中为了增强有效性，常常从两个方面下手，一是设计性能更好的PN 码，使选择的可能性增多，敌方干扰、破译的可能性降低;二是降低信息速率，可以采用线性预测编码、矢量量化编码等技术。扩频通信的前景非常广阔。

［1］沈连丰，叶芝慧. 信息论与编码［M］. 北京: 科学出版社，2007.

［2］韦惠民.扩频通信技术与应用［M］.西安:西安电子科技大学出版社，2007.

［3］田日才.扩频通信［M］.北京:清华大学出版社，2007.

［4］樊昌信，张甫翊，徐炳祥，等.通信原理［M］.北京:国防工业出版社，2005.