以题破“题”——例谈教材中习题的拓展和改进

☉浙江省嵊州市城关中学 范浙杨

☉浙江省嵊州市教研室 蔡建锋

一、多年数学教学实践中“问题”不断

“问题”一：过多的作业数量一直降不下来

2011学年初，笔者的办公桌上放着8叠差不多高的试卷，这是特意向我校2009年入学的八年级学生要来的（选取试卷保存得最完整的学生），分别来自不同的班级（所教数学老师不一样），目的是想比较确切地统计一下八年级学生一学年的作业数量.称了一下，结果大吃一惊，整整12千克，平均每位学生1.5千克；数了一下，总共1584份试卷，平均每位学生198份试卷.估算了一下，完成每张试卷，学生平均要花去60分钟左右的时间.当然，这还不包括教材中的习题和《作业本》，因为这些试卷只是老师找来的，根本不是这位学生的全部数学作业.而九年级这种作业的数量只会更多.事实上，多年的数学教学实践，早就使得数学老师形成了这样一种定势：谁的作业量降得多，谁的成绩就降得多.

“问题”二：学生的学习兴趣总是提不上去

在嵊州市内，我校学生整体的数学成绩要比绝大多数学校好得多.但就在这样所谓的好学校里，仍有不少学生对学习数学缺乏兴趣.对此，笔者于2011年初、2012年初，连续二次对所任教班级学生学习数学兴趣的现状进行了调查，二次调查结果比较一致：只有约三成同学对数学感兴趣，还有约五成的同学对学习数学感觉一般，约二成的同学明确表示不喜欢学习数学；数学在所有学科中，按喜爱程度，排在第一的只有一成，排在第二的有二成，排在第三或以下的倒有七成.学生普遍认为学习数学不好玩，不停地做题目很枯燥无味.

“问题”三：自身的授课方式通常一成不变

例题、习题的教学是数学教学环节中不可缺少的部分，但由于自身对教材例题、习题的重要作用认识不到位，以题论题.如在讲解例题时，通常的方法有二种：一是教师先读题，然后分析，讲完后问学生听懂了没有，并在部分学生肯定、部分学生无语中结束例题的讲解；二是教师读题后，给学生时间思考，让有思路的学生讲解思路，并在老师的帮助下完成解答.而对教材习题则更加容易忽视，方法比较简单：要么布置习题，没有下文；要么布置习题，之后快速校对答案.这种对例题、习题的简单操作持续一定的时间后，通常会给学生起一个负面的示范作用：学生不会去重视教材中的例题和习题，只把它们当成自己完成的众多题目中的一个，根本不会去设疑、提炼、固化，平时面对的每一个题目还是那么“似曾相识”.

针对上述突出问题，笔者从2011学年起，尝试在完成教材中例题基本性质的讲解，学生掌握基本知识点的基础上，对教材中的习题进行了拓展改进.通过对教材中习题的“二次开发”，即利用教材中习题的潜在价值，再创新教材中习题的背景、条件、结论、基本图形、知识的整合等，将教学目标落实在教材中习题的拓展改进这个点上，试图让学生觉得这同单纯的做题目不同，感到好玩、有意思，从而专注地投入进去，达到“做一题、通一类、会一片”的解题境界.

二、教材习题拓展改进的典型做法

浙江省初中数学学科教学建议中指出“对例题、习题作适当的变式，让学生练习，尝试举一反三”.数学教学中离不开习题，而教材中的许多习题都具有典型性、示范性和探索性，所蕴含的内容相当丰富，对它们不能简单地以题论题，而应进行适当的变化、引伸与挖掘，提示有价值的新结论，这样做不但能改进数学教师的授课方式，而且还能减少学生数学作业数量，激发学生学习数学的兴趣.下面以浙教版八年级上册P47习题第2题为例，介绍笔者在拓展改进教材中习题的典型做法.

教材原题 如图1，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC.请说明理由.

说明：这是教材中的一道习题，根据已知条件，学生容易证得结论，但这道习题蕴藏着丰富的内容和背景，对它作进一步的挖掘、引伸和探索，对提高学生的数学素养、发展学生的学习能力都能起到事半功倍的作用.

图1

（一）做法一：改变背景，隐藏模型

拓展改进题1如图2，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为a、b、c.A、B、N、E、F五点在同一直线上，则c=______（用含有a、b的代数式表示）.

图2

说明：本拓展改进题把原题中单一的数学模型，放到以正方形为主体的背景中，不仅使题目具有新意，而且要运用正方形的性质，构造出原题中的一个数学模型，使题目更具有综合性和灵活性.

拓展改进题2如图3，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm.以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是（ ）.

图3

说明：本拓展改进题把原题中的数学模型，放到以圆为主体的背景中，挖掘同圆半径相等的隐含条件，得出原题中的数学模型.再结合点到直线的距离和勾股定理等知识来解决问题，使题目具有新意.

拓展改进题3如图4，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是（ ）.

图4

说明：本拓展改进题设置了以三条平行线为主体背景，需要添加辅助线从点A、C分别作l3的垂线，构造得出原题中的数学模型，这样使题目更具有新意，同时也增加了学生的思维量.

（二）做法二：弱化条件，变化引伸

1.第一次弱化

弱化原题中的“两边相等”的条件，使原题中的三角形全等弱化为三角形相似.

拓展改进题4如图5，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BC的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4.那么AB=_____.

图5

说明：本拓展改进题把原题中的条件AC=CE去掉，使原题中的△CAB≌△ECD模型改变为△CAB∽△ECD的数学模型，这样把原题目中的全等三角形知识转变为利用相似三角形的性质来解决问题.

拓展改进题5如图6，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（ ）.

图6

说明：本拓展改进题设置以矩形纸片为试题的背景，并通过几何图形的折叠，构造出一个相似三角形的数学模型，再根据折叠中所蕴含的数学规律，结合几何性质来解决问题.这样拓展改进题不仅使题目具有新意，而且使学生在操作中挖掘图形中所蕴含的几何性质，提炼出所需要的数学模型.

拓展改进题6已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90°.

图7-1

图7-2

（1）如图7-1，如果AB=6，BC=16，且BE∶CE=1∶3，求AD的长.

（2）如图7-2，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明.再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明.

说明：本拓展改进题设置以圆为试题的背景，通过动点和开放性问题构建数学模型，使题目更具有新意、灵活性和开放性.当点E恰为这段圆弧的圆心，则由原题模型得AB+CD=BC，当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD时，则有如下等量关系：

2.第二次弱化

弱化原题中的“两边相等”和“直角”条件，把三个直角相等的条件弱化为三个角相等，由直角三角形全等弱化为一般三角形相似.

图8

A.3 B.4

C.5 D.6

说明：把原模型中的三个直角相等和斜边相等，弱化∠B=∠APD=∠C=60°，使△ABP≌△PCD变为△ABP∽△PCD.这种变式和拓展在中考命题中有着广泛应用.

拓展改进题8如图9，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G.

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对.

（2）连接FG，如果α=45°，AB=4，AF=3，求FG的长.

说明：本拓展改进题设置一般图形使∠DME=∠A=∠B=α，根据上述数学模型，得出△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.再把α取一个特殊值45°，利用相似三角形和等腰直角三角形的性质来解决问题.

3.第三次弱化

弱化原题中的三角形的形状，变“三角形”为“等腰梯形”，条件仍为三个角相等，构造出两个三角形相似的数学模型.

图10

拓展改进题9如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y.

（1）求y与x的函数表达式.

（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

说明：本拓展改进题把原题中的直角三角形弱化为等腰梯形，并使∠A=∠BEF=∠D=120°，易得△ABE∽△DEF，通过动点把几何图形与函数问题结合起来，利用函数的性质来求y的最大值.

（三）做法三：动静结合，分类讨论

拓展改进题10若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点.例如图11的矩形ABCD中，点M在CD边上，连AM、BM，∠AMB=90°，则点M为直角点.

（1）若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由.

图11

（2）若点M、N分别为矩形ABCD边CD、AB上的直角点，且AB=4，BC=，求MN的长.

说明：本拓展改进题给出了一个矩形的“直角点”的新概念，从图形中易得两个三角形相似的数学模型，运用数学模型，对点M的位置设置不同的条件，需要用分类讨论的思想来解决问题，本拓展改进题不仅具有新意，而且具有较强的灵活性和开放性.

拓展改进题11如图12-1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……已知标准纸的短边长为a.

（1）如图12-2，把这张标准纸对开得到的“16开”纸按如下步骤折叠.

第一步：将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE.

第二步：将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF.

则AD∶AB的 值 是______，AD、AB的 长 分 别 是_______、_______.

（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值.

（3）如图12-3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E、F、G、H分别在“16开”纸的边AB、BC、CD、DA上，求DG的长.

（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M=90°，MN=MQ=2PQ，且四个顶点M、N、P、Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积.

图12-1

图12-2

图12-3

说明：本拓展改进题以生活中的实际问题为背景，通过一张标准纸的折叠引出问题，设置8个大小相等的小正方形构成“L”型图案放置在矩形中，使图12-3中隐藏着两个数学模型，△EBF≌△FCG和△HGD∽△GFC，通过这两个数学模型的应用使问题解决.

（四）做法四：结合函数，综合应用

拓展改进题12如图13，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（－1，2）.

（1）求点B的坐标.

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式.

（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP=S△ABO.

图13

说明：本拓展改进题以抛物线为问题的背景，通过设置OB⊥OA这个条件构造“L”型图形放置在坐标系中，添加过A、B分别作x轴的垂线构造出两个三角形相似的数学模型，通过数学模型与抛物线的有机结合增加了试题的灵活性和综合性.

拓展改进题13如图14，经过x轴上A（－1，0）、B（3，0）两点的抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C，设抛物线的顶点为D，若以DB为直径的⊙G经过点C，求解下列问题.

图14

（1）用含a的代数式表示出C、D两点的坐标.

（2）求抛物线的解析式.

（3）如图，当a＜0时，能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？若能找到，试写出Q点的坐标；若不能，请说明理由.

说明：本拓展改进题以抛物线和圆为问题的背景，通过设置直径所对的圆周角构造“L”型图形放置在坐标系中，添加过D作y轴的垂线构造出两个直角三角形相似的数学模型，通过数学模型与抛物线、圆的知识的有机整合，增加了试题的新颖性和综合性.

三、教材习题拓展改进的初步经验

通过近两年的初中数学教材中习题的拓展改进实践，笔者初步形成并积累了一些看法和经验，主要有以下几点.

（一）从总的理念层面来说

1.方向要明

对教材中的习题进行拓展改进可以跳出教材，但不能跳出《数学课程标准》和当年的《考试说明》，更不能“拓”出一些“繁、难、杂”的习题来浪费学生宝贵的学习时间和挫伤学生学习数学的兴趣.

2.本质要抓

教师可不断更换命题中的非本质特征：变换问题中的条件或结论，转换问题的内容和形式，配置实际应用的各种环境.但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性.

3.情感要顾

要充分照顾到学生的年龄、性格、生活阅历和解题经验，找到那些学生喜欢、感兴趣、可接受、乐于主动参与的点来进行拓展改进.

4.方式要活

拓展改进后的习题训练的方式要灵活多样，力求使学生独立练习和教师启发引导下的半独立练习相结合.有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个教材习题下拓展改进后的题目可分几次完成，促使学生的多种感官参与学习.

5.题量要减

教材中的习题进行拓展改进后，题量有一定增加.因此，先前数学教学中大量的题型复制、繁难的习题求解演示和解题方法的记忆与重复等活动必须大幅减少.

（二）从具体的操作层面来说

1.吃透是基础

数学教材中的习题往往聚集了大量的专业智慧和实践经验，拓展改进时教师要尽可能“吃透”并“利用”现有的教材习题：一是“调整”教材习题，即保持总量不变，只是变换教材习题在各个教学章节的顺序；二是“整合”教材习题，将教材习题中的各个知识点综合起来，使各个知识点之间相互照应，融合为新的习题；三是“解构”习题，即教师引导学生尽量解释和发掘教材习题背后的意义，或者以怀疑、批判的方式使原有的教材习题显现另外的意义.

2.补充是关键

教材习题往往比较单薄，教师要不断寻找和发现现有的教材习题之外那些相关的有意义的材料，并将它们有选择地引入课堂，使现有的教材习题与课外的习题材料相互补充.

3.替换是选项

如果教师发现现有浙教版教材某个章节的习题绝大部分内容比较过时、落后或者不适合学生学习时，那么教师就可以考虑用另外的教材版本中的相关习题进行适当替换.

四、教材习题拓展改进的初步成效

（一）数学作业数量大幅下降，但学业成绩没有下降

以2011学年我校八年级为例，《作业本》每个班级都完成，区别是笔者所教班级的每位学生平均只加做了23份试卷，其他作业主要是数学教材中的习题和拓展改进后的习题，其他班级的每位学生平均则加做了162份试卷.2011学年两个学期的期末考试，我校八年级的20个班级中，笔者所教班级数学成绩的“三率一平”与其他班级平均水平相比如下.

1.2011学年第一学期期末考试差别不大

优秀率约高5个百分点，合格率约高3个百分点，低分率约高7个百分点，平均分约少1分.

2.2011学年第二学期期末考试略有优势

优秀率约高7个百分点，合格率约高5个百分点，低分率约高3个百分点，平均分基本持平.

“谁的作业量降得多，谁的成绩就降得多”的局面基本打破，所教班级基础相对较好的学生的数学成绩甚至还有点长进.

（二）学生学习兴趣不断上升，但学习压力没有上升

教材中习题拓展改进后，虽然我们师生经常一节课只研究一个问题（进行一题多解和一题多变），有时到下课了还没有研究结束，但这样的教学效果较好，学生得到的是思想方法、情感体验和个性发展，学生对数学知识理解深刻，独立性高，知识迁移能力强.它改变了学生对数学解题的恐惧心理，开始从相似度很高、非常机械的试卷练习中解脱出来，激发了学习数学的兴趣，在一定程度上体会到了“在多样的变化中领略数学的魅力，在层层的演变中体会数学的快乐”.2013年初，笔者再一次对所任教班级学生学习数学兴趣的现状进行了跟踪调查，结果显示：约七成同学对数学感兴趣，还有约二成的同学对学习数学感觉一般，只有约一成的同学明确表示不喜欢学习数学；数学在所有学科中，按喜爱程度，排在第一的已有三成，排在第二的有四成，排在第三或以下的下降至三成.“趣学”、“乐学”、“轻松地学”的良好氛围逐渐形成.

（三）自身授课方式逐渐改变，但成长趋势没有改变

在教材中习题的拓展改进过程中，笔者在两个方面有明显变化：一是课堂授课方式有了明显的改变.延续了十几年的讲讲练练的常见方式笔者已很少使用，而是经常通过精选教材中典型的习题，充分挖掘、延伸、改造，用拓展改进后的习题进行教学，注重剖析破题思路，沟通知识间的联系，展示知识的形成、演变过程.目前这种授课方式现已逐渐成型，并得到提炼和固化.二是析题和编题的能力有了明显提升.数学专业知识日趋扎实，编题时注重以教材中的习题为基础，对原题根据不同的要求进行拓展改进，还学会充分了解学生，学习数学试题的命制技术，编写出了相当数量的具有新意又符合学生实际的拓展改进习题，基本能覆盖整个初中阶段.另外，笔者先后获得绍兴市首届初中数学教师基本能力比武一等奖（第一名）和嵊州市学科带头人称号，自身个人专业成长的趋势没有停止和改变.

当然，在近两年的初中数学教材中习题的拓展改进实践中，还暴露出了以下突出问题：一是有时为了拓展改进而拓展改进，不注重拓展改进的典型性；二是拓展改进后的习题不能完全覆盖基本知识；三是拓展改进后的习题跨度不合适，难以循序渐进；四是不同课型中习题的拓展改进在差异上把握明显不足.这有待于今后在数学教学改革实践中进一步探讨和解决.