中考数学压轴题的结构分类评析

☉江苏省泗阳县实验初级中学 朱宜新

中考数学压轴题，涉及知识点多，解答过程运用多种数学思想方法，具有一定的综合性、选拔性.这种题型多采用“组合型”的结构形式，搞清“组合型”压轴题中总条件与分题间及分题与分题间的结构关系，对于题目的圆满解决是十分必要的，根据题目的结构关系，压轴题常分为下列三种类型.

一、“串联式”结构

“串联式”结构的压轴题，除了总条件“统领”全题外，前一个分题的结论，可以作为后一个分题的条件来使用，没有前一分题解（证）的结论，就无法解（证）下一个分题.

它的结构示意图如图1所示.

图1

例1 （2012年山东临沂市中考）如图2，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：本题融合了函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识.主要考查了学生的阅读理解能力、分类讨论能力、逻辑推理能力，难度较大，具有一定的选拔功能.

解：（1） 如图2，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCD=90°.

因为∠AOB=120°，所以∠BOC=60°.

又因为OA=OB=4，

图2

所以点B的坐标是（－2，－2）.

（2）因为抛物线过原点O和点A、B，所以可设抛物线的解析式为y=ax2+bx.

（3）存在，如图2，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）.

①若OB=OP，则22+y2=42，解得y=±2.

当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，所以∠POD=60°.

所以∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°.

即P、O、B三点在同一条直线上，所以y=2不合题意，舍去.

所以点P的坐标为（2，－2）.

②若OB=PB，则42+（y+2）2=42，解得y=－2.

所以点P的坐标为（2，－2）.

③若OP=BP，则22+y2=42+（y+2）2，解得y=－2.

所以点P的坐标为（2，－2）.

综上，符合条件的点P只有1个，其坐标为（2，－2）.

点评：由于“串联式”结构的压轴题上下呈承接关系，所以需强调解题的正确性，显然如前一分题解答有误，则解答以后几个分题，将会劳而无功，另外这种题型若前一分题不会解（证），亦可拿前一分题的结论来解（证）下一分题，结果仍然有效.

二、“并联式”结构

“并联式”结构的压轴题，总条件“统领”每一个分题，但每一个分题却又是“独立”，呈并列关系，它的结构示意图如图3所示.

图3

例2 （2012年宁夏回族自治区中考）如图4，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.

（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；

（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式，当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？

（3）连接BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长.

分析：本题综合考查了利用二次函数求最值、相似三角形、一元二次方程等知识.

解：（1）因为△APE≌△ADE，所以AP=AD=3.

图4

在Rt△ABP中

（2）因为AP⊥PE，所以Rt△ABP∽Rt△PCE，

若PE∥BD，则△CPE∽△CBD.

整理得3x2－13x+12=0，

点评：本题的三个分题除总条件不变外，分题的条件各不相同，所以前一个分题的结果不能成为后一分题的条件，这种结构的压轴题，做对任何一分题都是有效的，都能得分，即使前一分题不会做或做错了，也不影响下一分题的解答或得分.

三、“混联式”结构

“混联式”结构的压轴题，除总条件仍“统领”每一个分题外，有的分题也“统领”下一个分题，分题与分题间既有承接关系，又有并列关系.它的结构示意图如图5所示.

图5

（1）求抛物线的解析式；

图6

（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长.

分析：本题考查了二次函数的性质、平移、相似三角形等知识.第（1）问将A、B两点坐标代入即可求该抛物线的解析式.第（2）问先求出直线AB、AC的解析式，再根据平移条件，表示出平移后的二次函数的解析式，用含m的代数式表示出其顶点坐标，将坐标代入直线AB、AC的解析式中，即得到两个极端值，从而确定点P在△ABC内时m的取值范围.第（3）问先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，所以只需使∠NBA=∠OMB即可，从而确定在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点，然后证△ABN与△AMB相似，通过相关比例线段求出AM的长.

（2）由题意得，新抛物线的解析式可表示为

它的顶点坐标P（1－m，－1），由（1）的抛物线解析式可得C（4，0），那么直线AB的解析式为y=－2x－4，直线AC的解析式为y=x－4.

当点P在直线AC上时，（1－m）－4=－1，解得m=－2.

（3）由A（0，－4）、C（4，0）得OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形.

如图6，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°.

所以∠ONB=∠NBA+∠CAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠OMB=∠NBA.

在△ABN1、△AM1B中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=AM1B，所以△ABN∽△AM1B.

所以AB2=AN·AM1，

易得AB2=（－2）2+42=20.

AN=OA－ON=4－2=2，

所以AM1=20÷2=10.

所以DM1=AM1－OA=10－4=6.

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，

所以OM1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2.

综上所述，AM的长为10或2.

点评：“混联式”结构的压轴题，特别要搞清分题与分题之间的关系，即前一个分题的条件或结论，下一个分题能否使用，就要搞清分题与分题间是“串联”关系的结构，还是“并联”关系的结构，万不可盲目乱用，徒劳无功.