“变与不变”、“多变归一”地探究“旋转”三角形

☉江苏省盐城市明达中学 陈云龙

一、引言

旋转变换在初中数学图形与几何内容中占有非常重要的地位，它贯穿在相交线、三角形、四边形、圆等几乎所有重要的几何内容之中.新课标中也提到：“让学生经历探索物体与图形的旋转变换过程并掌握图形旋转变换的基本性质”.近年来，有关旋转变换的几何问题不断地在中考题中呈现，尤其是在特殊三角形的几何问题中更为突出.而在特殊三角形的几何问题中加入了“旋转”这一因素之后，能让题目变得格外有魅力和活力.笔者整理了2012年各地中考试卷中的部分有关特殊三角形旋转型中考题，进行赏析.赏析之后总结归纳出了一些教学启示，意在抛砖引玉.

二、2012年部分特殊三角形旋转型中考题赏析

1.等边三角形中的旋转问题

例1 （辽宁铁岭）已知△ABC是等边三角形.

（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O.

①如图1，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？______（填“是”或“否”），∠BOE=______度.

②当△ABC旋转到如图2所在位置时，求∠BOE的度数.

图1

图2

图3

（2）如图3，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=AB′，AC=AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图3探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由.

图4

图5

图6

图7

图8

2.等腰直角三角形中的旋转问题

例2 （辽宁阜新）（1）如图9，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.

①当点D在AC上时，如图9，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论.

②将图9中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图10，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由.

甲：AB∶AC=AD∶AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；

乙：AB∶AC=AD∶AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；

丙：AB∶AC=AD∶AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°.

图9

图10

图11

图12

图13

例3 （福建宁德）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

如图14，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A顺时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E.

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠MAB，则AE也平分∠MAC.请你证明小敏发现的结论.

（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：

小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图15）；

小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图16）.

请你从中任选一种方法进行证明.

图14

图15

图16

图17

（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45°＜α≤135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立.现请你继续探究：当135°＜α＜180°时（如图17），等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

评析：本题的考点为角平分线的定义、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、叠对称的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形外角性质、三角形内角和定理等.（1）由角平分线的定义，根据等腰直角三角形和旋转的性质，即可得出结论.（2）小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DEF中应用勾股定理而证明.小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△AEG≌△AED，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明.该小题其实给我们提供了两种解题思路，分别是小颖的轴对称变换思路和小亮的旋转变换思路，为后面的探究做好了强有力的铺垫.（3）当135°＜α＜180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立.仿（2）中两位同学的思路都能证明，如图18，是用小颖的轴对称变换思路.如图19是小亮同学的旋转变换思路.

图18

图19

图20

图21

其实，如果我们对本题进行深入探究还可以发现，第⑶小题中一笔带过的那句话：当45°＜α≤135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，我们也还可以进一步进行探究，在45°＜α＜90°，此时，点D和点E一个在线段BC上，一个在BC的延长线上，如图20是用小颖的轴对称变换思路，同样，我们也可以用小亮的旋转变换思路来证明，如图21.

还有一种情况也值得我们去探索，就是当90°＜α＜135°，这个时候点D和点E都在延长线上，如图22，是用小颖的轴对称变换思路来证明，同样，我们可以用小亮的旋转变换思路来证明，如图23.最后，我们再来看看当180°＜α＜225°时结果会怎样，发现和0°＜α≤45°其实也是一样的，如图24，到这里，应该说这一题所有情况都已探索到了.我们可以总结：本题任何一种情况，实质都是一样的，都是先通过利用变换思想构造全等三角形，从而把要求判断的三条线段利用全等三角形的性质转化到同一个三角形中，最后再说明该三角形是直角三角形进而得出结论，问题就解决了.本题的精妙之处就在于旋转中的变换，即在整个大的旋转背景条件之下，再利用旋转变换或者轴对称变换的解题思路进行证明，最终体现“多变归一”的本质.

图22

图23

图24

三、对以上中考美题赏析后引发的教学思考

1.“旋转”所带来的变式拓展，让三角形问题变得绚烂多姿

以上三个中考题，每题中通过多次“旋转”带来了诸多变式拓展图形，让三角形问题变得绚烂多姿.而纵观例1和例2不难发现，其实例2就是例1的一个变式，把问题的背景由等边三角形变成了等腰直角三角形.可见，在近年的中考题中，变式拓展探究类问题已逐渐成为了主流，因此，在平时的教学中，我们应该非常重视“变式教学”，让学生在一系列的变化中寻找规律，发现“变”中的“不变”，从而找到整个系列问题的根本解决办法，做到“多变归一”，达到“解一题，通一类”的教学目的.另外，从课堂形式来看，通过“变式教学”，可以激发学生的好奇心、求知欲和创造力以及求异思维，从而提高学生的课堂参与度，让学生真正成为课堂的主角，这正是我们所需要的“生本课堂”.

2.“旋转”所带来的基本图形，让三角形问题变得精妙绝伦

3.“旋转”所带来的数学思想，让三角形问题变得美不胜收

通过以上中考题的赏析，让我们体悟到了隐藏在旋转变换这一背景下的全等这一数学核心知识点以及渗透在里面的诸多重要数学思想，包括转化（化归）思想、从特殊到一般的思想、分类思想、数形结合思想、类比思想等等，让三角形因这些重要数学思想的渗透而变得美不胜收.我们都知道，数学是思维的科学.数学教学最重要的是要使学生学会思维，学会数学思维，而合理的思维主要依赖于科学的思想方法.因此，要使数学学习卓有成效，就必须十分重视数学思想方法的学习.数学思想方法具有隐性的特点，它隐于知识内部，它的形成是一个逐步渗透的长期过程，必须以数学问题为载体，经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟.因此，数学思想方法的教学需要我们教师悉心研讨《课标》，认真钻研教材，努力挖掘教材中能进行数学思想渗透的各种素材，对数学知识从数学思想方法的角度认真分析，课堂上才能很好地进行数学思想方法的渗透.只有注重数学思想方法的教学，才能开启学生智慧之门，超脱题海之苦，使学生学习更富有朝气和创造性.

4.“旋转”所带来的探究活动，让三角形问题变得精彩纷呈

以上中考题通过“旋转”带来的一系列变式探究活动过程，让学生经历了知识探究的全过程，充分体验到“一题多变”的情趣以及“多变归一”的妙趣，让三角形问题的课堂变得精彩纷呈.学生在整个探究过程中解题能力、思维能力都得到了提高和发展.“知识探究过程”是变式教学的“生命线”，学生经历了发现问题、得出猜想、操作体验、探索交流、质疑反思、推理验证、解决问题这整个过程，其中不乏“山重水复”“豁然开朗”的学习体验.从思维的锻炼、能力的形成角度看，要比单纯的解题训练来得更深刻，更有效！因此，在教学中，教师应该多组织学生进行有效的探究型活动，让学生自主合作学习，把课堂还给学生，真正实现“生本课堂”.

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