基于线上线下混合式的“工程数学—线性代数”课程建设的探索与实践

李艳艳，高美平，蒋建新，黄卫华

（文山学院 人工智能学院，云南 文山 663099）

“线性代数”是理、工、农、经管类专业必修的基础数学课之一，关于该课程的教学改革、课程思政建设以及课程建设，文献[1-6]进行了多角度的研究。文献[1]以线性代数的某一个知识点为中心，将此知识点相关的定义、求法、性质、特点、关系等以思维导图的形式展现。文献[2]对于线性代数课的网络授课平台进行探索，对于不同平台的优缺点进行了分析，最终对于多个平台搭配的授课形式，给出了一些较好的建议。文献[3]通过案例的形式，给出了课程思政元素。文献[4]对于线上+线下的课程模式进行了构建，线上应该做什么，线下应该完成什么任务，线上和线性如何有效配合，都给出了很好的案例。文献[5]和[6]探索了课程思政实施的途径和手段，构建了基于课程思政的评价体系，摸索出了一些课程思政课堂设计案例。

“工程数学—线性代数”自2016 年在文山学院工科专业开设以来，主要面向电气工程及其自动化、安全工程、冶金工程、人工智能等专业进行教学，学分3，学时48。2018 年12 月该课程作为校级重点课程立项建设，2020 年12 月通过结题验收。在云南省本科高校大学数学联考2022 年全面启动的大背景下，2022 年3 月该课程作为校级本科一流课程立项建设。

“工程数学—线性代数”开设学期是大一上或下，这个阶段学生的中学数学惯性思维已经根深蒂固，容易掉入思维的陷阱，而面对抽象的概念、众多的性质、繁琐的运算，都让学生望而却步。

为了提升人才培养质量，有效应对省级联考，“工程数学—线性代数”课程教学团队，着力探索课程建设，并积极实践、反思，持续改进。

1 基于线上线下混合式的“工程数学—线性代数”课程建设的探索与实践

基于专业人才培养方案，该课程的目标设定为三维目标。通过该课程的学习，学生能达到以下三个目标：

（1）能表述行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、相似矩阵等的相关概念、性质、定理等，具备基本的数学素养和数学技能。

（2）会计算行列式、矩阵等相关问题，会求线性方程组的解、矩阵的特征值与特征向量，会将矩阵对角化等。逐步培养学生对知识的发现和创新能力，具备一定的分析判断能力和科学计算能力。

（3）能够运用线性代数的思想与方法分析问题和解决问题，具有一定综合运用知识的能力。

课程目标包含了知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面。为了达到以上3 个课程目标，将从教师队伍能力提升、教学模式优化、课程内容改进、课程资源完善、思政案例点库建设、多元化评价体系、课程目标达成分析7 个方面进行探索与实践。

1.1 教师队伍能力提升

通过送出去、校本研修两种形式革新教师的教学理念，提升队伍能力。送出去的主要途径是依托高等学校大学数学教学研究与发展中心开展的短期培训、专题研讨会、学术会议、高教国培等各类项目，以及线性代数的专题研讨活动等提升教师能力。校本研修的形式有：（1）集体备课，每章一个主备主讲教师；（2）示范课及教学研讨，每学期两位示范教师，团队每位成员撰写教学心得和反思；（3）以赛促教，课程团队组团参加校级和省级的创新大赛、课程思政比赛，在比赛中探讨、在比赛中提高、在比赛后反思；（4）以项目建设促发展，课程团队成员积极申报校、省两级教科研项目，在项目建设中提升教师能力。

1.2 教学模式优化

本课程的教学模式是“线上线下混合式”。在已经实施的两年多时间里，对于线上的理解和认识，一直不断加深，从最初单一的学习通作业，到现在的教学视频、课程简介、满足各种需求的学习通测试作业、线性代数中的数学思想方法、前沿视角等资源，每章选定一个内容线上学习和翻转，发布自主学习任务单，让学生小组汇报学习情况，并进行互评。线下的资源也在不断丰富和优化，同时还有教学方式的重构、优化和反思等。

1.3 课程内容改进

课程内容优化，主要聚焦在五个章节所占用学时的调整，各章节重难点的确立，以及运用线性代数的思想与方法分析和解决问题能力板块内容的重构方面。

（1）比如行列式部分，随着对它作用的理解和认识，该部分的学时已经从最初的16 调减到目前的10，比较繁琐、技巧性太强的高阶行列式计算已退出课程主要内容；（2）矩阵及其运算和线性方程组的解部分，学时一直在不断增加，占到了整个课程学时的一半以上；（3）概念引进部分，全部用具体的实际应用案例引入，有助于提高学生对线性代数概念本质的认识和理解；（4）分析和解决问题方面，首先录制了《前沿视角》专题，其次在习题中每章都设计两道经典和热点应用类问题；（5）线性代数发展史方面，随着课程思政教学的深入，对于历史脉络的梳理更加清晰，对于学科的起源和发展中做出重要贡献的数学家的成就和数学家的精神进行学习，并制作了《数学星空 光辉典范——数学家与数学家精神》专题。

1.4 课程资源完善

课程资源完善分为线上资源和线下资源两部分。线上教学主要依靠的是学习通平台，搭建的资源有：（1）国家一流课程——山东科技大学的《课程思政—线性代数》视频资源，课程团队自建的课程简介视频；（2）以检验、提升计算能力为目的，填空题为载体的课前3 分钟测试；以考察基本概念、定义、定理、性质为目的，判断题为载体的课后2 分钟测试；以训练基本知识和技能为目的，选择题为载体的课后测试；（3）网易公开课《前沿视角》视频专题、《数学星空 光辉典范——数学家与数学家精神》线性代数课程有关的数学家专题。线下资源采用（1）OBE 理念下“以学生发展为中心”的教学设计的完善；（2）教学课件优化；（3）习题册的进一步完善，选取题目的典型性和代表性，应用题的经典性和先进性等不断改进；（4）作业记录单的优化，尤其是思维导图部分，除了每章的思维导图外，还规划了7 个知识点的思维导图；（5）矩阵运算易错问题归类总结；（6）线性代数中常用数学思想方法的整理和案例收集；（7）章节测试题的优化；（8）期中考试卷和期末模拟卷的题库建设；（9）各种资源的配套答案的补充完善。

1.5 思政案例点库建设

线性代数课程思政案例点库建设的理念是：以文化人，“文”是指数学的历史与文化；以人育人，“人”是指数学家的故事及科学精神；以哲明人，“哲”是指数学所蕴含哲学思想和人生哲理；以用树人，“用”是指数学的精彩应用。

知识点与相关思政元素深度融合的可进行思政教育的知识点构成了思政案例点。按照文化自信、人生哲学、科学精神、哲学原理、数学文化、爱国情怀、创新思维七个角度进行挖掘和设计。

下面以矩阵与矩阵的相乘这节课的课程思政点为例进行展示。

（1）创新思维：通过展示重要保密的图片，引出如何对这些信息进行加密？人脸识别、搜索引擎、数字图像处理—图像锐化、图像增强等中的矩阵运算。通过明文、密文的转化和解密，介绍矩阵乘法的应用，并为逆矩阵的学习埋下伏笔。

（2）数学文化、科学精神：通过介绍矩阵的创立者英国数学家凯莱的人物生平和成长成才经历，感受凯莱身上的科学精神。

（3）爱国情怀：由凯莱为了剑桥大学接收女性学生所作出的贡献为切入点，从而引出张桂梅老师为了丽江华坪的贫困女孩圆上大学梦的奉献精神和爱国情怀。

（4）人生哲理：矩阵与矩阵的相乘计算过程中，要是有一个数字算错，整个结果都将会全盘皆输，这体现了“失之毫厘差之千里”的人生哲学，告诫学生做事要认真、细致。

（5）数学思想方法：类比的数学思想方法，将数的运算与矩阵的运算进行类比，找出可比与不可比的运算类型。

（6）唯物辩证法：特殊与一般的关系，按照一般到特殊再由特殊到一般的认识规律。先用2 行3列的矩阵与3 行2 列的矩阵做乘法，得出乘法的法则，然后将特殊推广到一般，给出矩阵乘法的定义，再由一般去审视特殊。

1.6 多元化评价体系

课程的评价体系经过两年多的改革实践和完善，现在基本成形。主要理念是过程性评价，形成性评价，多元化评价的有机结合。主观评价与客观评价融会贯通，客观评价为主。

平时成绩（50%），具体观测点有线上、线下测试，书面作业、活动等。其中，出勤（5%），学习通测试（20%），翻转（5%），作业册（15%），作业记录单（5%），章节测试（15%），期中测试（15%），课程思政小论文（5%），云南省大学数学线性代数联考成绩（15%）。

期末考试成绩（50%），目前是课程团队出卷，接下来计划采用教考分离，出卷的单位有省级数学与应用数学虚拟教研室建设共建单位、昆明学院、大理大学等友好合作单位。

1.7 课程目标达成分析

对三个课程目标的达成进行分析，着重对各个目标存在的问题（教师、学生）进行总结，对下次的改进提出针对性措施。

以2021—2022 学年第1 学期的达成度分析中存在问题、原因分析、改进措施为例。

存在问题：本次命题的基本出发点是对纲对标，在学生能力方面加大考核力度，首次出现了应用线性代数的知识解决实际问题的内容。学生答题情况：（1）判断题得分率较低，反映出教师教学中对概念、定义、定理的教学重视不够，学生对于基本知识的掌握存在差距；（2）一个向量在一组基下的坐标问题，学生不能前后融汇贯通，知识的系统性不强；（3）矩阵的对角化，80%左右的学生找不到方法，乱做现象比较严重，说明这块内容的教学是无效的，理想化的；（4）应用线性代数的基本思想方法解决问题方面，50%以上的学生，要么找不到线性代数的方法，要么受中学数学惯性思维的影响，用的方法不简便，反映了学生还不能学以致用，理论与实际衔接卡壳，也说明课程目标3 的达成不理想。

原因分析：（1）教学能力、教学水平有待继续提升，教学设计的创新性还需加强，授课的水平也需提高，对于新时代的教学改革、课程前沿、课程思政等还需继续研究；（2）本学期为了应对云南省大学数学的线性代数联考，授课进度比较快，对于学生在作业中存在的问题，没有及时解决，为了赶进度，课程后期以教师的讲为主，学生的主观能动性发挥不好；（3）布置的作业有点贪多，有些不能完全消化；（4）对于基本概念、定义、定理等基础知识和技能的教学和训练有些弱化。

改进措施：对于学生答题中反映出来的4 个方面的问题，改进措施有：（1）对于基本概念、定义、定理薄弱的现象，计划在学习通设置判断题专项；（2）对于系统性不强的问题，每章进行总结，并用思维导图梳理知识之间的关联，一部分思维导图教师制作，一部分学生制作，多放手让学生做一些事情；（3）矩阵对角化部分的教学，要落到实处，沉得下去，在系统梳理对角化步骤和练习方面再下功夫；（4）应用题方面，加大训练力度，希望提高用线性代数的思想方法解决问题的能力，从而有望较好达成课程目标3。

对于授课过程中和期末问卷调查反映出来的问题，改进措施有：（1）课前3 分钟尽量在课前测，发挥真正的作用；（2）作业中反映出来的问题，要随时解决，及时消化，不能累积；（3）适当优化学习通作业、章节测试题，减轻学生的学习负担；（4）在黑板上的粉笔板书，继续加大力度，让学生思维能持续跟着老师走；（5）课程思政的融入还不够深刻，融入点单一，应该多角度挖掘课程思政点，多研读课程思政相关文献，学习课程思政的理论知识，观看优秀课程思政比赛的视频等；（6）线性代数团队的充电和再提高工作要做到实处，计划外出参加课程建设研讨会，提高团队的创新性和工作热情，并将学到的知识融入到课程建设中，增加团队的造血功能。

2 总结

本文对“工程数学—线性代数”课程的建设举措进行了梳理，着重从教师队伍能力提升、教学模式优化、课程内容改进、课程资源完善、思政案例点库建设、多元化评价体系形成、课程目标达成分析7 个方面，进行课程建设与实践，经过近两年的实践，达到了较好的效果。目前课程建设正站在了新的起点，踏上新的征程，课程团队将继续以更为顽强的拼搏精神，开启新的课程建设之路。