多孔功能梯度压电纳米壳中波传播特性

王鑫特, 刘 娟, 胡 彪, 张 波, 沈火明

(西南交通大学 力学与航空航天学院, 成都 611756)

0 引 言

随着新型智能器件的高速发展,开发各类多功能材料已成为一种趋势．其中,功能梯度压电材料(functionally graded pizeoelectric material,FGPM)是采用先进的材料复合技术将两种或多种不同材料耦合而成的非均质材料[1]．FGPM的构成要素(组份、组织、显微气孔率等)随空间位置呈梯度性连续变化,能充分减少和克服组份材料结合部位界面性能的不匹配因素,具有良好的抗变形能力、机电转换性及耐腐蚀性[2-4]．在FGPM制造过程中可通过调控两种或两种以上材料组分的体积分数、孔隙率等参数来设计材料性能,以满足工程结构特定的功能要求．随着智能器件逐渐向微型化方向发展,FGPM的应用范围逐渐延伸至纳机电系统领域．纳机电系统中承载构件可以简化为特征尺度处于纳米量级的梁、板、壳等结构,典型应用为纳米谐振器、纳米传感器、纳米执行器、纳米开关等．

随着构件特征尺寸减小至纳米尺度,原子之间长程作用力会显著增加,尺度效应变得不可忽略．分子动力学模拟表明,经典连续介质力学理论所预测的纳米结构振动频率与实测结果相差10%～30%[5]．因此,寻找和发展适应于纳米力学研究的新途径和新方法,是当前连续力学的研究热点之一[6]．由Eringen[7]提出的非局部弹性理论在纳米力学研究中扮演着重要角色,非局部连续力学将分子间作用力是长程力的思想引入到传统连续介质力学中,认为连续体内某一点的应力不仅取决于该点的应变,还是连续体内所有点的应变及应变梯度的函数．非局部理论被诸多学者证明能成功地预测软化效应[8-10]．然而Kuang等[11]研究了含流体的双壁碳纳米管的非线性振动,表明非局部弹性模型无法预测材料可能存在的刚度硬化效应．而且在不同金属材料的微纳米压痕实验中[12-13],同样观察到了非局部理论无法解释的微尺度下材料强度比常规尺度下材料强度显著提高的现象．而应变梯度假设则是将连续体中的每一个物质点看作含有高阶应变的胞元,据此引入长度尺度参数来表征其对结构力学性能的影响,该参数可合理地预测结构中的刚度硬化效应[14]．Lim等[15]基于非局部理论并结合应变梯度假设,提出了新的非局部应变梯度理论．该理论考虑了应变梯度的非局部效应,也考虑了材料物质点处高阶应力梯度的非局部效应．Lim等将该理论应用于纳米梁和碳纳米管中的波传播分析中,揭示了关于晶格动力学和波传播实验的一些新发现．Ma等[16]通过两种非局部应变梯度壳理论,研究了磁电弹性纳米壳中的波传播特性,总结了电-磁-机械荷载与截止波数的关系．Wang和他的同事[17-19]利用非局部应变梯度理论,对功能分级纳米板在弯曲、屈曲和轴向运动时的振动特性和稳定性进行了系统研究,并且在这些机械运动中都观察到了刚度软化和硬化机制．此外,不少学者也利用非局部应变梯度理论探究了FGPM纳米结构的动态特性[20-21]．然而,以上研究对孔隙作用下FGPM纳米壳的波动特性关注较少．

本文采用基于非局部应变梯度理论的一阶剪切壳模型研究了多孔FGPM纳米材料的波传播特性．根据Hamilton原理推导了结构的非局部运动微分方程,进而通过数值分析研究了尺度参数、几何参数、内部结构参数、外部电压等参数对波传播特性的影响．

1 多孔FGPM纳米壳的动力学建模

1.1 非局部应变梯度理论

由Lim等建立的非局部应变梯度理论综合考虑了应力场与高阶应力场的非局部性．其应力场可表示为[22-23]

(1)

(2)

(3)

式中,l是表征高阶应变梯度效应的材料特征长度参数,α0与α1是非局部核函数,e0a和e1a是表征非局部效应的非局部参数,cijkl是弹性系数,ε′kl和ε′kl,x分别是应变和应变梯度．将式(2)、(3)代入式(1)中,引入Laplace算子∇2,可得到一种简化应力和非局部应力的关系:

[1-(e1a)2∇2][1-(e0a)2∇2]σij=[(1-(e1a)2∇2)-l2∇2(1-(e0a)2∇2)]cijklεkl．

(4)

经典非局部应变梯度理论假设e0=e1,并忽略高阶项Ο(∇2),即可得到基于该理论的本构方程为

[1-μ∇2]σij=(1-η∇2)cijklεkl,

(5)

其中,μ=(e0a)2,η=l2．在电场的影响下,FGPM纳米壳结构的矩阵形式本构方程可以定义为

(6)

(7)

1.2 多孔FGPM纳米壳的几何描述

本文采用由压电陶瓷PZT-4与PZT-5H耦合组成的多孔FGPM纳米壳模型,如图1所示．壳长度为L,半径为R,厚度为h,图中U(x,θ,z,t),V(x,θ,z,t)和W(x,θ,z,t)是壳上任意一点处在x,θ,z三个方向上的位移．壳内部含有的孔隙分布形式可看做是均匀分布,FGPM纳米壳的材料常数[25]可表示为

(8)

图1 多孔FGPM纳米壳的模型示意图Fig. 1 The geometric model for the porous FGPM nanoshell

其中,z为纳米壳中任意一点到中表面的垂直距离,参数N∈[0,∞)表示幂律指数,即功能梯度指数,参数α为孔隙率．为了满足Maxwell方程,FGPM纳米壳外部沿厚度方向分布的电势定义为[26]

(9)

其中,β=π/h为一个线性常数,Φ(x,θ,t)表示壳平面上分布的电势,V0代表初始的外加电压．

利用一阶剪切变形壳模型方程分析位移场[27],得到壳中任意一点处的位移分量为

(10)

FGPM纳米壳任意一点处的电位移为

(11)

(12)

(13)

1.3 多孔FGPM纳米壳的运动微分方程

FGPM纳米壳上各个点处的动能ΠK为

(14)

模型应变能ΠS为

(15)

轴向和环向电场力对FGPM纳米壳做功为

(16)

将式(14)—(16)代入Hamilton原理

(17)

可得如下控制微分方程:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

其中

(24)

(25)

(26)

(27)

将非局部应变梯度本构方程(4)沿纳米壳径向进行积分,并将所得力和力矩表达式代入控制方程(15)—(20)中,可得位移形式的结构运动微分方程如下:

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

其中,Γμ=(1-μ∇2),Γη=(1-η∇2)．

2 多孔FGPM纳米壳波传播问题的求解

针对FGPM纳米壳内每一点处波传播响应的模拟问题,引入壳结构波传播通解[28]:

(34)

其中,Um,Vm,Wm,ψxm,ψθm分别表示纳米壳各个点处波传播的位移与转角的幅值,Φm表示电势幅值,i为虚数单位,k和n表示波传播时沿着x方向产生的纵向波数和沿着转角θ方向产生的周向波数．将通解方程(34)代入运动微分方程(28)—(33)中,即可得到FGPM纳米壳的波传播特征方程为

(35)

其中,L6×6与H6×6分别为刚度系数矩阵以及质量系数矩阵,角频率ω的值可由系数矩阵的行列式等于零求得,而波传播频率f的值可根据f与ω的关系式得到:

(36)

3 数值结果及分析

本节通过求解特征方程(32),研究了波数、尺度参数、几何参数、外部电势、孔隙率以及功能梯度指数对图1所示FGPM圆柱形纳米壳波传播特性的影响,两种材料参数如表1所示[29]．

表1 FGPM的材料特性数值

3.1 有效性验证

为了检验理论模型的正确性,将FGPM纳米壳的结果和磁电弹纳米壳的结果进行验证．基于非局部理论将本文得到的波传播频散关系与Ma等[16]的结果(文献[16]中的图3(a))进行对比(图2)．可以看出,本研究的结果与Ma等[16]的结果良好吻合,验证了本研究的有效性．

图2 退化验证(η=1 nm2)Fig. 2 Comparison of frequency dispersion results (η=1 nm2)

(a) k=5×108m-1

3.2 数值讨论

表2表示前三阶固有频率(f1,f2,f3)与纵向波数k和周向波数n的关系．从表中可以看出三阶频率随着纵向及周向波数的增加而增加,且两方向波数对频率的增加影响呈现互补效果．本文后续工作主要分析探究纳米壳中波传播的纵向波数k对基频f的影响．

表2 前三阶固有频率(f1, f2, f3)与纵向波数k和周向波数n的关系

图3显示了在不同波数k下,两个尺度参数间比值η/μ的变化对FGPM纳米壳波传播频率f的影响．图中n=1,h=20 nm,R=200 nm,α=0.2,N=2,Φ0=5 V．从图中可以看出,整体上,当η/μ<1时,非局部应变梯度理论对应的频率都小于通过经典弹性理论得到的频率,这是因为非局部效应占主导地位时,会使得壳的刚度减弱,呈现软化效应．相反地,当η/μ>1时,非局部应变梯度理论获得的频率都大于通过经典弹性理论得到的频率,此时占主导地位的应变梯度效应使得壳的刚度增强,呈现硬化效应．当η/μ=1时,非局部应变梯度理论和经典弹性理论得到的频率是等价的,说明两种类型的尺寸依赖效应会相互抵消．此外,固定长度尺度参数η不变,在不同波数下同等程度的改变非局部参数μ,发现当波数较大时导致的频移大于波数较小时对应的频移．同理,固定μ不变时,η对f的影响也随着k的增大而增大．这表明由非局部参数引起的软化效应和由应变梯度参数引起的硬化效应在波数较大时更加明显,在波数较小时较为微弱．所以对于纳米壳尺度效应的频散特性研究不仅需要考虑尺度效应的作用,也需要关注波数的影响．

图4为基于非局部应变梯度理论,在不同波数k下,变化的功能梯度指数N对FGPM纳米壳波传播频率的影响．图中n=1,R=200 nm,α=0.2,N=2,Φ0=2 V．在图4中也可以观察到图3中的类似现象．这是由于当η<μ和η>μ时,非局部参数的软化效应和应变梯度参数的硬化效应得到了体现．特别地,当两个参数取值不同但比值相同时,其对应的f-N曲线在波数较小时间距很大,而在波数较大时近似重合．这也证明了纳米结构中的波传播行为研究需要考虑尺度效应和波数的共同作用．此外,还可以看出,波传播频率f随着功能梯度指数N的增加而减小．这是因为在由PZT-4与PZT-5H耦合组成的FGPM纳米壳中,当N增大时,材料的整体性能P会更接近于P5H,而P5H的弹性模量小于P4,从而整个纳米壳的弹性模量会减小,与之相对应的频率也会减小．且通过对比发现,频率f受梯度指数N的影响程度随着波数的增加而增加,也即纳米壳频率受到功能梯度指数和波数的耦合作用．

(a) k=1×108m-1

图5探讨了对于不同的壳厚h,FGPM纳米壳的频率f与功能梯度指数N间的关系．图中μ=1 nm2,η=2 nm2,n=1,k=5×108m-1,R=200 nm,α=0.2,Φ0=2 V．从图中可以看出,波传播频率f随着壳厚h的增加而降低,且在壳厚h越小时,频率对壳厚h变化越敏感．这是因为壳厚变大会导致结构刚度和质量的同时增加,而对于由PZT-4和PZT-5H复合而成的FGPM纳米壳,在一定范围内,由质量增加导致波传播频率的降低程度比由刚度增加导致频率的增大程度更大．因此,更大的厚度会导致更低的频率,而且这种影响程度随着壳厚的减小而更加显著．

图5 不同壳厚下FGPM纳米壳的频率与功能梯度指数的关系Fig. 5 Frequencies vs. FG indexes for different thicknesses of the FGPM nanoshell

图6中给出了孔隙率α和功能梯度指数N对FGPM纳米壳波传播频率f的影响．图中μ=1 nm2,η=2 nm2,n=1,k=5×108m-1,h=20 nm,R=200 nm,Φ0=2 V．由图可知,孔隙率α和功能梯度指数N对波传播频率有耦合影响,当N从0开始小范围内增加时,纳米壳的频率f会随着孔隙率α的增加而增加．当N>3.6时,规律则会相反,即频率f随着孔隙率α的增加而减少．这是因为孔隙率对材料刚度的影响与此时的功能梯度指数有关．当N<3.6时,N减小,材料的刚度在增加,而α的增大会减小材料的刚度,但此时N较小,刚度较大的材料P4占比很大,即在这一耦合作用中,由N减小导致增加的材料刚度大于由α增大而减小的材料刚度, 所以频率会增大．当N>3.6时,N与α的增加同时导致材料刚度的减少, 从而导致频率快速减小．这说明对于两种材料耦合组成的多孔FGPM,可以通过改变结构的孔隙率和功能梯度指数来控制波在该结构中的传播．

图6 不同孔隙率下FGPM纳米壳的频率 图7 不同外电压作用下FGPM纳米壳的 与功能梯度指数的关系 频率与功能梯度指数的关系 Fig. 6 Frequencies vs. FG indexes for different Fig. 7 Frequencies vs. FG indexes for different porosities of the FGPM nanoshell electric voltages of the FGPM nanoshell

图7为在不同外加电势作用下,FGPM纳米壳的频率与功能梯度指数的函数关系图．图中μ=1 nm2,η=2 nm2,n=1,k=5×108m-1,α=0.2,h=20 nm,R=200 nm．由图可知,波传播频率会随着正向电压增大而减小,而随反向电压的增大而增大．这是由于在对模型结构施加正/反向电势时,会在结构的轴向和周向产生压/拉力,使得结构的刚度发生软/硬化效应,从而减少/增加波传播频率．特别地,从图中可看出,频率对反向电压变化的敏感度大于对正向电压的敏感度．此外,还可观察到频率受正向与反向电压的影响均随着功能梯度指数的增加而变得明显．这是因为N越大,材料P5H占比越多,而P5H的压电系数大于P4,与之相对应的电压对频率的影响程度也会增加．

4 结 论

本文基于非局部应变梯度理论建立了多孔FGPM纳米壳的尺度依赖模型．数值分析了尺度参数、梯度指数、孔隙率、壳厚和电压对波传播频率的影响．主要结论如下:

1) 当尺度参数间比值η/μ<1时,会使材料刚度呈现软化效应,而η/μ>1时,则呈现硬化效应,另外,增大波数或减小壳厚会加剧尺度效应;

2) 增大功能梯度指数或纳米壳厚度会减小波传播频率,其中,波数越大,梯度指数的影响程度越大;

3) 孔隙和功能梯度指数对频率具有耦合作用,功能梯度指数较小时,功能梯度指数和孔隙对频率的作用总体表现为增强,反之表现为降低;

4) 对结构施加正向电压,波传播频率会减小,施加反向电压,频率会增大,且电压对频率的影响程度随着功能梯度指数的增加而增加．