Fredholm积分-微分方程的高精度数值方法研究

林楠,张新东

(新疆师范大学 数学科学学院,新疆 乌鲁木齐830017)

积分方程于1823年由Able首先提出,随后许多学者对其进行了研究.Fredholm和Volterra开创了研究线性积分方程理论的先河.其中Fredholm先后提出了三类Fredholm积分方程.随着科技水平的不断发展,许多实际问题也日渐复杂化,例如生物医学,航空航天,经济学等问题,这些问题大部分都可以转化成求解积分-微分方程,这是继微分方程和积分方程后出现的又一新的数学分支.而Fredholm积分-微分方程是其重要组成部分,在许多的领域中都有着广泛的运用,尤其是在生物数学、原子物理、航天航空等方面.但由于大部分的积分-微分方程都很难得到确切的解析解,所以寻找不同的数值求解方法尤为重要.目前,随着不断的研究,已经出现了许多有效的求解方法,如:有限差分配置法[1],变分迭代法[2],Adomian分解法[3],Tau方法[4]等.

本文运用一种新型无网格计算方法,即重心插值配点法求解Fredholm积分-微分方程.重心插值配点法包括重心Lagrange插值和重心有理插值.2004年,Berrut等人提出了重心Lagrange插值公式[5],由于重心Lagrange插值在一些特殊节点的分布下具有很好的数值稳定性,但对于常用的等距节点,其插值却是病态的.于是在2007年,Floater 等人提出了一种重心有理插值形式[6],这种插值方法能够有效的克服插值不稳定性问题.由于重心插值配点法具有计算精度高,程序简单等优点,所以可以用来求解各种不同类型的方程,如:Allen-Cahn方程[7,8],Cahn-Hilliard方程[9],高维Fredholm积分方程[10],非线性抛物方程[11],粘弹性波方程[12]等.

本文主要介绍如何运用重心插值配点法对积分项包含未知函数导数的Fredholm积分-微分方程进行数值求解.本文首先对重心插值配点法进行介绍,进而使用重心插值配点法推导出Fredholm积分-微分方程的离散格式,最后通过三个不同的数值算例验证了本文方法的有效性和数值格式的稳定性.

本文主要研究以下形式的Fredholm积分-微分方程

(1)

其中,p(x),q(x),f(x)均为区间[a,b]上的连续函数;K(x,t)为关于变量x,t连续的积分核函数;r,s均为正整数.

1 重心插值配点法介绍

本节主要介绍求解方程(1)时所用到的重心Lagrange插值和重心有理插值.

1.1 重心Lagrange插值

设有n+1个不同的插值节点xj(j=0,1,…,n)和相对应的一组实数yj.则Lagrange 插值公式为

(2)

其中,Lj(x)为Lagrange插值基函数,

令l(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn),

定义重心权

也就是ωj=1/l′(xj),则插值基函数就可以表示成

(3)

将式(3)代入式(2)中,得到改进的Lagrange插值公式[13]

(4)

利用插值常数1,可以得下面的恒等式:

(5)

将式(5)两边分别去除式(4)的两边,就可以得到重心Lagrange插值公式[14]

其中,ωj为重心Lagrange插值权.

1.2 重心有理插值

重心有理插值[15]是利用有理函数进行插值,给定插值节点xi(i=0,1,…,n)及其所对应的函数值yi,选择一个整数d,并满足0≤d≤n,对于每一个i=0,1,…,n-d,令pi为插值d+1个点对(xi,yi),(xi+1,yi+1),…,(xi+d,yi+d)的次数至多为d的多项式,则有理函数插值公式为

(6)

其中,λi(x)=(-1)i/((x-xi)…(x-xi+d)).

将多项式pi(x)写成Lagrange公式形式

(7)

并将式(7)代入式(6)的分子中,能够得到

(8)

其中

(9)

指标集Jk={i∈M:k-d≤i≤k},其中M={0,1,2,…,n}为一指标集.由于

由此可以得到

(10)

将式(8)和式(10)代入式(6)中,则得到的高阶重心有理插值公式就可以写为

2 离散格式构造

下面,考虑运用重心插值配点法构造方程(1)的离散格式.

首先,将方程(1)的区间[a,b]离散为a=x0

(11)

其中,Lj(x)(j=0,1,…,n)为重心Lagrange插值基函数或重心有理插值基函数.

将公式(11)代入方程(1)中,可得到如下等式,

(12)

进一步,若使方程(12)在节点xi(0≤i≤n)处成立,则可得到如下n+1个方程的方程组

(13)

将方程(13)右端第二项中的积分号和求和号交换次序,则可得到

(14)

对上式右端项中的积分项引入记号Kj(xi),并采用Gauss积分公式[16]计算,可得

其中,tk,Ak分别为Gauss积分的积分点和积分权;m为Gauss积分的积分点数量;(b-a)/2为定积分变换系数.

由式(14)可得

(15)

将式(15)代入方程(13)中,可得到重心插值配点法离散格式如下,

(D(r)-P-QK)y=f

(16)

最后,对Fredholm积分-微分方程的重心插值配点法离散格式(16)施加定解条件,求解代数方程组,就可以得到Fredholm积分-微分方程的数值解.

3 数值算例

数值计算中所使用的计算软件为Matlab R2021a,电脑型号是Lenovo小新15ALC 2021.数值算例计算的绝对误差和相对误差分别定义为

例1满足y(0)=1和y′(0)=-3的如下方程

其解析解为y(x)=e-3x.

本算例为方程(1)中r=2,s=1的Fredholm积分-微分方程.重心插值配点法的计算区间取积分区间.根据(16)可以得到本算例重心插值配点法的计算格式为(D(2)-9I-K)y=f.

在采用8个高斯积分点,21个等距节点和第二类Chebyshev节点、重心有理插值参数d=15的计算条件下,重心插值配点法的计算误差见表4.1,其中所使用的8个高斯积分点和积分权见表2.通过表1、图1和图2可以看出,在使用等距节点时重心有理插值配点法计算精度较高,在使用第二类Chebyshev节点时重心Lagrange插值配点法的计算精度高于重心有理插值配点法.

图1 例1在等距节点条件下的误差

表1 例1的计算误差

表3 例2的计算误差

表4.2 八个高斯积分点和高斯积分权重

例2本例的方程如下

其解析解为y(x)=cos(x).

本算例为方程(1)中r=3,s=2的Fredholm积分-微分方程,积分核函数为K(x,t)=xt.重心插值配点法的计算区间取[0,1],根据公式(16)可以得到本算例重心插值配点法的计算格式为(D(3)-K)y=f.

在8个高斯积分点、11个等距节点和第二类Chebyshev节点、重心有理插值参数d=10的计算条件下,两种重心插值配点法的计算误差见表3,其中所使用的八个高斯积分点和积分权与表2相同.通过表3、图3和图4能够看出,两种插值配点法在第二类Chebyshev节点的计算精度高于等距节点的计算精度,且在使用第二类Chebyshev节点时重心Lagrange插值配点法的计算精度高于重心有理插值配点法的计算精度.

图3 例2在等距节点条件下的误差

例3第三个例子具有如下形式

其解析解为y(x)=ex+x3.

本算例为(1)中r=4,s=3的Fredholm积分-微分方程,积分核函数为K(x,t)=xt.重心插值配点法的计算区间取[0,1],根据公式(16)可以得到本算例重心插值配点法的计算格式(D(4)-K)y=f.

在6个高斯积分点、11个等距节点和第二类Chebyshev节点、重心有理插值参数d=10的计算条件下,重心插值配点法的计算误差见表5,其中所使用的6个高斯积分点和积分权见表通过表5、图5和图6可以看出,在本算例中两种插值配点法都有较好的计算精度,且节点误差分布基本相同.

图5 例3在等距节点条件下的误差

表5 例3的计算误差

4 结束语

本文主要研究重心插值配点法求解积分项包含未知函数导数的Fredholm积分-微分方程.数值算例结果表明利用重心Lagrange插值配点法和重心有理插值配点法进行计算,均可得到较高精度的数值解.但当需要获得高精度数值解时,一般会优先采用重心Lagrange插值配点法在第二类Chebyshev节点上计算.同时,还可以看出,随着积分项中未知函数导数的阶数不断增大,计算误差也会不断增大,其主要原因是当导数的阶数越高时,进行数值模拟所需要的运算次数就越多,误差积累也会越来越多.