年龄结构下具B-D功能反应和扩散的三种群系统的最优收获

李根全 ,雒志学 ,刘江璧

(1.兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州 730070;2.甘肃省庄浪县职业教育中心,甘肃 平凉 744699)

研究生物种群系统常常把年龄问题作为建立模型的一项至关重要的考虑因素,因为种群中每个个体的年龄问题不仅影响其自身的生命活动参数,也决定其所在种群的整个群体行为.目前,研究年龄结构的单种群系统各类成果比较多[1-8],但多种群系统控制问题且功能反应函数是Beddington-DeAngelis功能反应的研究成果还不是很丰富,本文基于文献[9]的基础上探究一类具有年龄结构和Beddington-DeAngelis功能反应函数的三种群系统的最优收获问题.

首先提出如下最优控制问题:

其中i表示第i种群,则ui为收获努力度函数,Bi为收获该种群的成本,Ki表示该种群的销售价格,i=1,2,3,u=(u1,u2,u3)而p=(p1,p2,p3)为系统

(1)

的解,其中Δ表示Laplace算子,Q=(0,A)×(0,T)×Ω,Ω是在d(d≥1)上的有界区域,边界∂Ω是C2+σ(σ>0),而∑=(0,A)×(0,T)×∂Ω,,ΩT=Ω×(0,T),pi(a,t,x)表示t时刻年龄为a的第i种群在空间Ω处的密度;ki为正数,为种群在Ω内的扩散率;λi为两食饵之间相互竞争的作用系数,μi和βi则表示第i种群的平均死亡率和出生率,k1,k2,k3,ai,bi,ci,di,ei(i=1,2)全为正常数.

定义1定义控制集

Uad={u∈L2(Q)|ζ1(a,t,x)≤u(a,t,x)≤ζ2(a,t,x),a.e.于Q}.

定义2若

(2)

在任何紧子区间上连续},其中(a0+α,t0+α)∈{A}×(0,T)∪(0,A)×{T},S为系统(1)的特征线.而S={(a,t)|(a,t)∈(0,A)×(0,T),a-t=a0-t0}={(a0+s,t0+s);s∈(0,α)}.

为方便文章后面的讨论,始终做以下的假设:

(A1)λi,βi∈L∞(Q),0≤λi(a,t,x)≤λ0,0≤βi(a,t,x)≤β0,a.e.Q,λ0,β0是一正常数.

(A3)pi0∈L∞(ΩA),0≤pi0(a,x)≤p0,a.e.于ΩA,p0是一常数.

1 系统解的适定性

在为建立的模型做了一些适当的假设后,接下来依次探究系统(1)的解的存在性、唯一性、非负有界性以及对控制变量的连续依赖性.为证明系统(1)的解的存在唯一性,给出如下柯西问题.

(P)

f:[0,T]×X→X关于t可测而且f关于x∈X是一致Lipschtiz连续的.

设H为一个实Hilbert空间,如有

(Ax-Ay,x-y)≤0,∀x,y∈D(A).

成立,称算子A:D(A)⊂H→H是耗散的.若耗散算子A满足

(I-A)(D(A))=H,

其中I为X上的恒等算子,则称A是超耗散算子.如果A是超耗散算子,那么

(λI-A)(D(A))=H.

容易知,A为压缩C0半群无穷小生成元的充分必要条件是A是超耗散算子,其中A上稠定线性算子.exp(tA)是由线性超耗散算子A产生的半群.因此,系统(1)可写成具有如下初值的Cauchy问题:

(3)

在H=(L2(Ω))3空间中证明文章所需,其中算子A:D(A)⊆H→H,

假设算子B:D(B)⊆L2(Ω)→L2(Ω),由下式定义

由前面知识得B是超耗散的.

此时令H=L2([0,+∞]×Ω)且

命题1算子Aφ-μI是超耗散的,且对每个p∈D(Aφ-μI)有下式成立.

证明 若p∈D(Aφ-μI),可得

证明

由于对每个p∈L2(0,+∞),有

定理1[10]假设A:D(A)⊆H→H是线性且是超耗散算子,B:H→H也是连续的耗散算子,那么A+B:D(A)→H是超耗散的.

定理2[11]对每个p0∈X,初值问题(P)有唯一的mild解p∈C([0,T];X),且

另外,如X是Hilbert空间,则A在X上是超耗散的,p0∈D(A),此mild解应是强解且p∈W1,2([δ,T];X),∀δ∈[0,T].

pi∈L∞(Q)∩L2(0,T;H2(Ω))∩L2(0,T;H1(Ω))

此外,还存在一与p和u无关的常数C1>0,使得

(4)

(5)

由于F在p上不一定是Lipscchiz连续的,针对此问题,不宜直接应用定理1,经常采用的办法是先对F进行分段处理,首先考虑如下面截断的初值问题

(6)

另外,pN∈[L∞(Q)]3.考虑初值问题

(7)

和

(8)

可以等价地写为

即

(9)

(10)

给(10)在Ω上积分并利用Green公式得

使用Gronwall不等式可进一步得

(11)

|g(x1,y1)-g(x2,y2)|≤L(|x1-x2|+|y1-y2|)

再根据(3)知

其中C是和T及Ω有关的常数.

给(11)式分别乘以φ1,φ2,φ3,再在ΩT=Ω×(0,t)上积分可得

(12)

由(12)和Gronwall引理可得

那么有φ1=φ2=φ3=0,则系统解pi一定是唯一的.

下面,为方便讨论,先证明系统(1)的弱解的存在唯一性.

定理4如果(A1)-(A4)成立,则系统(1)应该存在唯一的弱解p=(p1,p2,p3)且有

证明 容易得到系统的弱解是唯一的[7],因为p在特征线上是绝对连续,那么它就保证了(1.2)5,6有意义,可易证得它接近于在每条特征线S和S1上

S1如下给出

另一方面,p满足(2),如果α=A-a0,那么将证明

在

上成立.即证明下式在L2(Ω)成立

给(1)1乘以p1且在Ω上积分可得

和

(13)

给式(11)在(0,s)上积分有

(14)

∀s∈[0,α],a.e.s∈(0,α).对sα,由(14)知在L2(Ω)中

因此,pi∈L2(S;H1(Ω)).

(15)

(16)

(17)

给(17)两端用ωi作内积,然后在(0,A)×[0,t]×Ω上积分有

因此利用B的耗散性可得

从(3)经过简单的计算有

那么进一步有

其中M是依赖于T和Ω的常数.

利用Bellman不等式得

所以有

即

2 最优性条件

(18)

那么

(19)

(20)

(21)

其中

(22)

证明 系统(18)的解q=(q1,q2,q3)的存在唯一性类似定理3可证.

uε=u*+εv∈Uad,v=(v1,v2,v3),ε>0足够小,任意的v∈L2(Q).因为u*是控制问题(OH)的最优解,则可以推出

J(u*+εv)≤J(u*).

(23)

将(OH)代入到(23)中有

(26)

给方程(18)分别乘以zi,然后在Q上积分,经过计算有

(27)

结合式(24)和(27)可得

由切锥法锥定义可得

因此,结论证明完毕.