利用统计热力学对白矮星结构及演化的分析

黄 柯

(云南大学 物理与天文学院,云南 昆明 650091)

白矮星的结构由简并等温核与理想气体外包层组成,白矮星外包层内的气体可视为理想气体,而中心核是电子简并的等温核,形成自由电子气体.恒星在依靠辐射力抵抗引力的机制失效后,极端高密度内核的电子简并压强足以抵抗氦核间产生的巨大引力时,就形成了白矮星.但是Pauli不相容原理所产生的电子简并压强存在一个上限,导致白矮星质量存在一个极限值,即Chandrasekhar极限.当白矮星质量小于Chandrasekhar极限时,白矮星能稳定存在,处于动态平衡;随着白矮星质量不断增加到Chandrasekhar极限时,白矮星将会发生进一步演化.结构决定性质,对白矮星特殊性质与演化的理解,其基础是分析描述白矮星结构的物态方程.

本文采用统计热力学理论对描述白矮星结构的物态方程进行分析,第1部分对统计物理的三种分布进行阐述.第2部分通过经典统计的Boltzmann分布推导了白矮星外包层的理想气体物态方程.第3部分通过量子统计的Fermi分布,考虑非相对论与相对论情况,推导了白矮星内核简并电子气体的物态方程.第4部分在分析了白矮星结构的基础上,通过简并电子压强与氦核引力势相互平衡,考虑极端相对论情况,求解了白矮星的Chandrasekhar极限,并以此极限值展开对白矮星演化的阐述.第5部分对该研究工作作出小结.

1 经典统计与量子统计

粒子运动状态的描述可分为经典统计与量子统计,若粒子可分辨,采用经典统计中的Boltzmann分布,Boltzmann系统中的粒子视为定域粒子,完全描述粒子的波函数没有交叠,因此近似为连续分布,因为粒子可分辨,而且处在某一量子态上的粒子数不受限制,根据等概率假设得出Boltzmann分布[1]为

(1)

Bose分布为

(2)

Fermi分布为

(3)

三种分布的区别在于,Fermi分布要求满足Pauli不相容原理:不能有两个及以上全同的Fermion处在同一个量子态上,即Fermi系统的任意一个个体量子态上的粒子数要受到限制,而Bose系统与Boltzmann系统则没有这一限制.

(4)

其中N!是粒子全同性原理引入的因子[1].

2 Boltzmann分布推导白矮星外包层的理想气体物态方程

白矮星外包层可视为理想气体,满足非简并条件e-α≪1,因此服从Boltzmann分布.可以求得Boltzmann系统的内能为[1]

(5)

(6)

(7)

(8)

为便于推导,取单原子分子模型,仅考虑非相对论情况下粒子平动的能量,故自由度取3,忽略气体分子间的相互作用,视为近独立粒子并做自由运动,因为Boltzmann系统满足经典统计,粒子可分辨,无全同性的概念,所以态量子化不存在,系统应视为连续分布,故配分函数要求写成积分项[3]

(9)

(10)

联立式(8)和式(10)可以得到白矮星外包层的理想气体物态方程

(11)

实际上,对于双原子或者多原子分子,还应该考虑转动与振动的自由度以及能量,但由于配分函数Z1始终是体积V的单值函数,所以结果仍然满足式(11).

3 Fermi分布推导白矮星内核的简并电子气体物态方程

Chandrasekhar理论指出:白矮星内核的电子是完全简并的.简并电子几乎提供了全部的Fermi压强以抵抗来自氦核引力的坍缩.电子的运动速度与白矮星的平均密度有关,平均密度满足ρ≪106g·cm-3时,简并电子的速度会远小于光速c≈2.99×108m·s-1,通过非相对论物态方程描述,而平均密度满足ρ>106g·cm-3时,简并电子的速度接近光速,通过相对论物态方程描述[4].

3.1 自由电子气体的Fermi统计

白矮星内核的密度极大,电子之间靠得很近,因为电子属于Fermion,Pauli不相容原理指出:两个及以上完全相同的Fermion不能占据同一个量子态,根据能量最低原理,要保持体系的稳定,电子应从能量最低的态开始,依次填充至能量较高的态,于是产生了宏观上独特的量子效应——电子简并.电子的简并程度同样与密度有关,密度越高,简并度越大,电子运动速度越接近光速,满足相对论物态方程.

(12)

(13)

上式表明T=0 K时,电子从ε=0的态开始,依次填充至ε=μ(0)的态为止.μ(0)表示电子0+K时的最大能量,称为Fermi能级,此时电子是完全简并状态.

3.2 自由电子在非相对论与相对论下的量子态密度

首先确定电子的量子态密度,设自由度为3的电子在体积V内自由运动,将μ空间的体积Vdpxdpydpz除以相格大小h3可以得到三维自由粒子在Vdpxdpydpz内的量子态密度[1]为

(14)

(15)

先将动量表示为球极坐标形式

(16)

再将式(16)代入式(15)可得

(17)

(18)

相对论情况下,动量与能量关系式为ε=cp,代入(17)式可求得在ε→ε+dε能量范围内,自由电子的量子态密度为

(19)

3.3 完全简并情况下电子气体的非相对论物态方程与相对论物态方程

非相对论情况下,每个量子态上的平均电子数为f(0)×D(ε)dε,所以总的电子数N为

(20)

(21)

可求解得系统的内能为

(22)

(23)

将式(21)(22)代入式(23)可得非相对论情况下的电子简并压强为

(24)

(25)

μe≈2表示氦原子电离度,mu≈1.66×10-27kg表示原子质量单位,求得非相对论情况下电子简并压强与密度的关系为

(26)

式(26)即为完全简并情况下电子气体的非相对论物态方程.

现在我们来讨论相对论情况.同理,相对论情况下,总的电子数N为

(27)

(28)

可求解得系统的内能为

(29)

(30)

将式(28)、(29)代入式(30)可得相对论情况下的电子简并压强为

(31)

(32)

式(32)即为完全简并情况下电子气体的相对论物态方程.

对比式(11)、式(26)以及式(32)可知:一方面,完全简并情况下,考虑相对论与否,电子气体简并压强P(0)都只是体密度ρ的单值函数;另一方面,理想气体物态方程表明随温度的升高,压强亦随之增大,而内核电子气体在完全简并情况下,压强就不再是温度的函数,只与体密度有关,随着中心密度的不断增大,其质量将趋于Chandrasekhar极限,即电子简并压强支撑的质量存在上限[8].

4 Chandrasekhar极限的求解

白矮星的热核反应已经停止,其演化过程即冷却过程,在白矮星形成初期,高温高密度的中心核通过激发中微子实现快速降温,后期将由冷却过程主导白矮星的演化[9],星体通过缓慢收缩而放出引力势能,即白矮星通过减小半径进而提高密度,由式(26)、(32)可知电子简并压强随密度增大而剧增,用以抵抗来自氦核的巨大引力,电子简并压强和引力相抗衡可建立起流体静力学平衡.本文从平衡方程入手求解Chandrasekhar极限.

从动力学角度看白矮星随时间的演化过程,在不考虑流动效应时,设重力沿z轴向下,白矮星内部平衡结构的密度ρ与压强P服从流体静力学平衡方程[8]:

(33)

假定该平衡结构的物理量都只是位置r的函数,式(33)可改写为

(34)

引力主要来源于氦核,因为引力场是保守力场,可以引入势的概念,根据万有引力定律,引力势φ服从泊松方程[8]

▽2φ=4πρG

(35)

式中G=6.67×10-11m3·kg-1·s-2表示引力常量,同时引力势φ与引力加速度g的关系满足

g=-▽φ

(36)

假设白矮星为球对称星体,电荷背景处(处为零),呈现电中性,电子按照自由电子气体处理,以白矮星中心为原点建立球坐标系,根据球对称性,取引力加速度为g=(-g,0,0),代入式(35),通过拉普拉斯算子▽2在球坐标系下的表示可解得

图1 球对称型白矮星示意图

(38)

(39)

由边界条件r=0,Mr=0对式(39)积分得

(40)

(41)

(42)

Mch就是著名的Chandrasekhar极限,其中M⊙表示太阳质量,当白矮星质量趋近于1.4M⊙时,白矮星半径将趋于零,密度将趋于无穷大,白矮星将被压缩为一个奇点,因此不可能有超过该极限质量的白矮星存在,天文观测同样证实了这一观点,迄今为止观测到的白矮星质量大多为0.5～0.8M⊙[11],因此当白矮星质量超过Chandrasekhar极限时,有两种情况[8,10]:①若白矮星处于双星系统,它将不断吸积来自伴星的物质并达到Chandrasekhar极限,最终产生Ia型超新星爆发.②若白矮星是孤立的,等离子中微子过程使得热核爆炸不会发生,白矮星将被中子化,即电子简并压强不足以抵抗氦核产生的巨大引力,电子会被巨大的引力压进原子核,与核内质子结合形成中子,中子也是Fermion,但中子简并压强却比电子简并压强大得多,能够抵抗此时氦核产生的巨大引力,最后演化为一颗全新且稳定的中子星.

5 小 结

统计物理规律指出:实验观测的时间平均值等于系统的系综平均值,一个精确的理论模型往往可以更好地指导实验观测.本文在此思想上从描述微观状态的统计物理规律出发,对白矮星结构与演化进行分析,利用统计热力学理论推导了外包层理想气体与内核电子气体满足的物态方程,得到了非相对论与相对论情况下的内核电子简并压强,由此分析了白矮星的结构,并在此基础上通过内核电子简并压强与氦核引力势相平衡的条件,利用流体静力学平衡方程求解了球对称型白矮星的Chandrasekhar极限,以此极限值展开对白矮星的两种演化结果的阐述.利用统计物理规律帮助我们深入地理解白矮星结构与演化的本质,对统计热力学在实践中应用具有一定的意义.