“双减”背景下初中数学作业有效设计实践研究

张燕茹

摘要：“双减”对教师如何切实提高初中数学作业设计的有效性提出了更高要求，就初中数学作业设计有效性的特点进行深入思考，提出了“善于例题变式，让作业有延续性；注重知识整合，让作业有针对性；加强分组设计，让作业有层次性“的策略.

关键词：“双减”背景；初中数学；作业设计；有效性

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出，数学学习的总目标是通过义务教育阶段的学习，使学生获得“四基”，增强“四能”，并具备科学态度和创新意识.作业是学生达到新课标目标要求的重要途径之一，合理的作业可以事半功倍地帮助学生巩固知识、查缺补漏，提高综合素质.因此，“双减”对教师如何切实提高初中数学作业设计的有效性提出了更高要求，笔者就初中数学作业设计有效性的特点进行深入思考，提出了作业有效性的延续性、针对性、层次性，希望通过“三性”的实践研究，为广大教师在作业设计有效性方面提供一定的参考，真正起到减负增效的作用.

1 善于例题变式，让作业有延续性

作业是了解学生掌握课堂知识情况的检验手段，例题的变式可以更好地引导学生从不同角度来思考问题，不仅可以训练学生数学思维，还能促进学生更全面地掌握相关知识点.因此，对例题的挖掘与变式，能让作业更好地发挥延续功效，提高课堂的教学效果[1].

例1 如图1所示，梯形ABCD中AB∥CD，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：（1）AE平分∠BAD；（2）AB＋CD=AD.

分析：该例题解题过程中需要添加辅助线，学生易犯的错误有两点.（1）认为E是BC的中点，为了构造全等三角形，延长DE至点F，DE=EF，连接BF，但并未求证点A，B，F在一条直线上；（2）认为DE平分∠ADC，为了构造全等三角形或等腰三角形，延长DC至点F，使DC=AD，连接EF，但并未求证A，B，F三点在一条直线上.

于是，为了更好地训练学生的数学思维，促进学生全面掌握相关知识点，利用该例题可以变式设计如下作业：

变式1 如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，求证：（1）E是BC的中点；（2）AB＋CD=AD.

变式2 如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AB＋CD=AD，求证：（1）DE平分∠ADC；（2）AE平分∠BAD.

变式3 已知四边形ABCD中，E是BC上的一点，其中DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，AB＋CD=AD，求证：（1）E是BC的中点；（2）AB∥CD.

设计意图：利用该例题设计三种变式作业，能让学生更好、更充分地明白图形结构的内在关系，以及掌握如下两种添加辅助线的常用方法.（1）根据线段中点，可以联想利用中心旋转来构造全等三角形；（2）根据角平分线，可以联想到利用图形翻转来构造全等三角形.此外，变式1～3达到了举一反三的功效，远比单一的、零碎的选择个别作业题效果要好，通过变换问题的条件和结论，变换问题呈现的形式来设计作业，不仅可以引导学生通过本质看问题，不停留在问题的表象，还可以发散学生的数学思维，促使学生掌握相关知识之间的联系，从而更深刻地掌握课堂教学内容.

2 注重知识整合，让作业有针对性

一节课中往往会教给学生多个知識点，教师在设计作业时应注意所学知识点的整合，尽可能地把多个知识点整合到一个例题中或一组例题中.此外，在设计作业的过程中，还可以将前后有关联的新旧知识点整合到一个例题或一组例题中.这样设计作业有助于学生在做题过程中同时掌握一连串相关的、前后有联系的知识点，既能有针对性地复习知识点，又能很好地训练逆向思维，还能减少作业量，避免重复、大量的作业，真正实现“减负增效”，提高作业的有效性.

例2 把下列各式因式分解.

（1）9a2-4b2=.

（2）3x2y4+6xy2z=.

（3）4x2-4x+1=.

（4）a2+6b-ab-6a=.

分析：该例题为关于因式分解知识点的课后作业，学生充分掌握因式分解的方法后，看到类似的题目，在脑海中会形成饱和模式.在此情况下，如果还只是提供一些常见的作业题目，则很难引导学生深入思考，学生完成作业也只是机械的重复，思维得不到锻炼.因此，有必要对作业进行再精选、再设计，以提高作业的有效性.

例3 完成下列各题.

（1）多项式a2＋b2，a2-b2，-a2＋b2中，能分解因式的有.

（2）若多项式a2＋mab＋9b2是一个完全平方式，则m的值为.

（3）如果多项式a2-kb-15能分解因式，则k的值可以是.

（4）把多项式xy-xz+y-z用分组分解法分解因式，不同的方法有种.

（5）把下列各式因式分解：3ca2-3cb4；a2＋2ba-3b2；4x（1-x）3-（x-1）2.

设计意图：以上是关于因式分解知识点的一组作业.这组作业中，有些是基础题，有些则是在基础题的基础上经过变化进行再设计，其目的就是提高作业的有效性，引导学生深入思考，更好地掌握因式分解的解题方法和出题方式.这种将知识点整合的作业设计，特别适用于学业繁重的初三学生，精选、整合、有针对性，能够高效提高学生的解题能力.

3 加强分组设计，让作业有层次性

每个学生都是不同的个体，对各个知识点的掌握程度均不相同.为了更好地加强不同学生的薄弱知识，教师可以依据不同的知识点，细心对作业进行合理分层.学生根据自己对知识点的掌握情况，基于教师设计的具有层次性的作业，选择符合自身的作业题目进行练习.如此设计层次性作业，不仅有针对性地帮助学生突破薄弱环节，还能减轻教师的作业设计任务[2].

（1）若该函数的图象开口向上，求m的值；

（2）若该函数存在最大值，求m的值.

例5 如图2所示，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线方程为x=2，若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，-1＜x1＜0，则以下说法正确的是（  ）.

A.b2-4ac＜0

B.ab＞0

C.x1+x2＜0

D.4＜x2＜5

例6 已知A，B两家公司生产一批同款鞋子200双.A公司生产的每双鞋子成本为70元.B公司生产鞋子的总成本y（单位：元）与数量x（单位：双）之间存在y=ax2＋bx的函数关系，其中，当x=20时，y=1 000；当x=10时，y=400.现需要将鞋子运往C，D两家店，从A公司运往C，D的费用分别为m元/双和6元/双；从B公司运往C，D的费用分别為2元/双和4元/双.C地需要180双，D地需要20双，当A，B两家公司生产这批鞋子的总成本的和最少时，求A，B总运费的和的最小值（用含m的式子表示）.

设计意图：

例4～例6是依据二次函数的不同的知识点设计的作业.其中，例4较为基础，只要掌握二次函数的定义及性质即可，难度较低；解答例5，需要学生熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，并要结合图象来解决问题，难度有所提高；例6与生活相结合，理解难度较大，需要学生能从文字描述中抽象出数学问题，再运用相关数学知识解决问题.例4、例5、例6难度层次不同，学生可以依据自己的薄弱情况，针对性地选择作业，突破薄弱点，增强信心.

在“双减”背景下，教师能够认识到作业设计的重要性，是学生“减负增效”的关键.教师应尽量减少作业数量，提升作业设计的有效性，不断探索、实践日常作业设计，将作业设计作为引导学生发展数学思维、提升数学能力的重要途径，切实使学生获得“四基”，增强“四能”，树立科学态度，培养创新意识.

参考文献：

[1]张玮芳.“双减”背景下初中数学作业设计的策略研究——以二次函数为例[J].中学数学，2022（14）：60-61.

[2]徐益峰.初中数学作业分层设计有效性探究[J].中学教学参考，2021（33）：18-19.