“动”中求“静”,“动”“静”互化

2024-04-14 06:38袁媛
中学数学·初中版 2024年3期
关键词:线段性质思路

袁媛

摘要:在初中平面几何的学习中,要运用运动变化的思路研究图形,让静止的几何图形“动”起来,化抽象为具体,让变化的图形形象直观地揭示出恒定不变的几何规律,把相关的知识点串联起来,这样有助于提高分析问题和解决问题的能力.本文中结合中考试题,对常见的动态几何类题型的解题思路与方法进行了初步探索.

关键词:“动”“静”转化;动“点”类问题;动“线”类问题;动“图”类问题

马克思主义哲学告诉我们,运动是绝对的,静止是相对的.在几何的学习过程中,我们发现“静”只是“动”的瞬间,是运动的一种特殊形式,“动”与“静”是可以相互转化的.如果能让静止的几何图形“动”起来,就可以帮助学生加深对图形概念的准确理解,探索图形的性质.教师可以用动态图形创设富有启发性的教学情境,引发学生对问题的讨论与思考;还可以通过动态图形让学生体验数学实验成功的乐趣.更重要的是,动态的几何图形能够把与几何、代数相关的知识联系起来,其中蕴含着动静结合、数形结合的思想方法,能够在运动变化中发展学生的空间想象能力,不断提高学生综合分析、解决问题的能力.

在初中几何教学中,与动态图形有关的问题主要有以下几类.

1 动“点”类问题

动点问题是中考数学中最常见的题型,涉及面非常广泛.解决动点类问题的思路是化动为静,以相对静止的瞬间去寻求量与量之間的关系.

解析:如图2所示,在矩形ABCD中,设AB=2a,BC=3a,运动时间为t,则CD=AB=2a,AD=BC=3a,BN=v2t,AM=v1t.在运动过程中,将四边形MABN沿MN翻折,得到四边形MA′B′N,所以B′N=BN=v2t,A′M=AM=v1t.若在某一时刻,点B的对应点B′恰好在CD的中点重合,则DB′=B′C=a.在Rt△B′CN中,∠C=90°,

思路与方法:本题考查矩形背景下的动点问题,通过动态图形,将矩形的性质、对称性质、中点性质、三角形相似、全等的判定与性质、勾股定理及翻折的运动形式等知识点联系起来.熟练掌握相关性质及三角形全等的判定定理,利用翻折及中点性质,根据三角形全等的性质求出相应线段的长是解题的重要方法.

2 动“线”类问题

动线类问题的特点很明显,动线在运动过程中可能会出现多种情况,尽管情况不同,但解题的思路是一致的,那就是“以静制动”,通过特殊的静止状态去寻找量之间的关系.

例2 (2022年江苏省盐城市中考第14题)如图3,在矩形ABCD中,AB=2BC=2,将线段AB绕点A按逆时针方向旋转,使得点B落在边CD上的点B′处,线段AB扫过的面积为.

解析:[HTF]由AB=2BC=2,得BC=1,所以AD=BC=1.因为将线段AB绕点A按逆时针方向旋转,所以AB′=AB=2.

思路与方法:首先由动线AB旋转的性质可得AB′=AB=2,再由锐角三角函数可求出∠DAB′=60°,进而求出∠BAB′,最后根据扇形面积公式即可获解.本题考查了旋转的性质、矩形的性质、扇形的面积公式、锐角三角函数等相关知识点.会观察和分析动态图形,灵活运用相关性质是解题的关键.

3 动“图”类问题

动图类问题常常结合图形的平移、旋转、翻折等变换,提出相关问题.解题的思路主要是从寻找图形运动的特殊情况中打开,进而灵活运用相关几何知识(如平行四边形的性质、切线的性质、圆的有关知识、锐角三角函数、直角三角形等)解决问题.

例3 (2022年江苏省苏州市中考全真模拟试题第18题)在△ABC中,AB=BC=6,∠ABC=90°,点D在AC上,且AD=22,E是射线AB上一动点,连接ED并将ED绕着点E旋转60°得线段EF,当点F恰好落在直线AC上时,可求得AE的长等于.

解析:第一种情况.当ED顺时针旋转60°得到EF时,如图4,过点E作EM⊥AC于点M.因为AB=BC=6,∠ABC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形,于是∠A=45°.根据旋转的性质,可得∠DEF=60°,EF=ED,所以△DEF是等边三角形,故∠DEM=30°.设DM=x,则DE=2x,

第二种情况:当ED逆时针旋转60°得到EF时,如图5,作EM⊥AC交AC于点M.

思路与方法:首先要考虑到图形顺、逆两种旋转情况,根据旋转的性质可知△DEF是等边三角形,过点E作EM⊥AC,又可证得△AEM是等腰直角三角形,再设DM=x,利用勾股定理便可求出x的值,最后利用勾股定理即可求出AE的长度.本题考查了图形旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点.能够根据题意,按照ED顺时针旋转与逆时针旋转两种情况,分别画出动态图形进行分类解析是解题的关键.

综上所述,解决动态几何问题的基本思路是:把握运动规律,寻求运动中的特殊位置,在“动”中求“静”,在“静”中探求“动”的普遍规律.在具体解题过程中,要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,找出其中的等量关系和变量关系,并要特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.在解答动态几何类题型时,经常要用到数形结合思想、分类思想、转化思想和方程思想等重要的思想方法.

猜你喜欢
线段性质思路
不同思路解答
随机变量的分布列性质的应用
画出线段图来比较
完全平方数的性质及其应用
九点圆的性质和应用
怎样画线段图
我们一起数线段
数线段
厉害了,我的性质
拓展思路 一词多造