活用基本图形 解反比例考题

李斌

1 基本图形及基本结论

证明：由图1可知，四边形OABD的面积

S＝S△AOC＋S梯形ACDB.

从另一角度，四边形OABD的面积S＝S△AOB＋S△BOD.而S△AOC＝S△BOD，所以S△AOB＝S梯形ACDB.

2 运用结论，简洁明快

2.1 直接运用

分析：由于反比例函数的解析式已知，因此A，B两点的坐标可求出，再直接运用本文的基本图形即可求出△AOB的面积.

点评：本题融合一次函数与反比例函数图象，运用它们各自的性质，结合函数与方程的思想及本文的基本结论进行解答，比较容易得出答案.

2.2 与比例线段贯通

分析：由BE∶BF＝1∶3，想到分别过点E，F作x轴的平行线，利用线段成比例，用含某一字母的式子表示点E，F的坐标，再运用本文的基本结论可求出△EOF的面积.

解：如图4，作EP垂直y轴于点P，EC垂直x轴于点C，FD垂直x轴于点D，FH垂直y轴于点H.

由本文的基本结论，得

点评：容易发现“基本结论”中的图形隐藏在题目的图形中，自然想到运用基本结论解题.解题的关键是如何作出辅助线，很好地用上两条线段的比这个关键条件.

2.3 与等长线段相融

分析：由本文的基本结论知，要求△AOB的面积，只需求出点A，B的坐标.点B的坐标已知，且点B在反比例函数图象上，则反比例函数解析式易求.由三角形相似求出点A的横坐标，则点A的坐标就解决了.过点A作x轴的垂线，用比例线段解决之.

解：如图6，过点A作AF垂直x轴于点F，过点B作BG垂直x轴于点G.设AF交BD于点E.

因为BD垂直于y轴，所以BD平行于x轴，则BD⊥AE.

结合本文基本结论，可知

点评：由等长线段OC＝CA，构造相似三角形，并利用相似三角形的性质，结合点B的坐标求出点A的坐标，再利用本文的基本结论可轻松解决问题.

3 打破模式，灵活处理

解：如图8，过点C作CE垂直于x轴，垂足为E.

易知CE∥AB，而C是OA的中点，则

CE是△OAB的中位线.

又点C，D都在反比例函数的图象上，则

由S△OCD＝9，C为OA中点，知S△OAD＝2S△OCD＝18，

所以S△OAD＝S△AOB－S△ODB＝18.

點评：本题没有求出C，D两点坐标，也没有将△OCD的面积转化成直角梯形的面积.解题时，要根据题目特点，灵活运用适当的方法，既要掌握基本模型，又要及时打破模式化，不能僵硬照搬模式.

D，若△COD的面积为20，则k的值等于.

解：如图10，过点C作CE⊥AO于点E，连接BE.

而k＝xy＝OE·CE＝3a·4a＝12a2＝24，所以k＝－24.

点评：本题所给的三角形与本文的基本图形完全相同，但并未利用基本结论求解.解题时要根据具体题目的特征灵活运用，千万不能硬套模式.

4 结束语

数学家怀特指出：“数学就是对模式的研究”.学习数学的重要方式就是：对生活实际进行提炼、总结，建立起数学模型，模仿数学模型，运用数学模型，并打破数学模式，再建新的数学模型，在不断循环中逐步构建数学的学科体系，形成解决数学问题的能力.利用基本模型、基本结论是提高解题速度、提高思维能力的重要途径，但千万别让“数学模型”变成“思维枷锁”.我们应从不同的方面对问题进行全面思考，用多思来战胜对“第一印象”的依赖.

在平时的解题基础上，我们要立足题目的解答，深度思考，挖掘出简单图形的丰富内涵，建立联系，进而借题发挥，通过各种图形与知识的联系，将综合问题分解、简化.教学中要关注核心知识，关注基本图形，加强思维引导，将方法、技能落到实处.