“学习进阶”视域下的数学单元复习课模式探索

彭鹏

摘要：本文研究者以“勾股定理”的单元复习为例，呈现“学习进阶”视域下的数学学习活动设计，提出以“立德树人”为统领，以“明暗相交的目标”为主线，以“问题链”为载体，实现高阶思维的培养和数学核心素养的发展，彰显数学学科育人的价值.

关键词：学习进阶；单元复习课；勾股定理

数学学习是一个螺旋上升、不断进阶的过程，学习者在各个学习阶段有着不同的具体学情，也有着不同的学习目标.而“学习进阶”理论作为一个教育学概念，则是基于学习者以上学习事实而提出的，倡导让学习者的数学学习从低阶走向高阶、从模仿走向创新、从现象走向本质，以实现高阶思维的培养和数学核心素养的发展，彰显数学学科的育人价值［1］.

单元复习课对于日常数学教学而言基础且重要，原因在于其承载着梳理知识、完善结构、培养思维和发展素养等多重任务.然而一些教师为了完成教学任务，常常倾向于大容量、高难度和快节奏，这种教学模式以教师讲、学生听为主，难以调动学生复习的内驱力，弱化了知识的重建、结构体系的再构建及思想方法的再优化，无法让数学学习走向高阶.

事实上，复习课在实践“学习进阶”理论中具有较大优势.下面笔者以“勾股定理”的单元复习为例，说明“学习进阶”视域下的单元学习活动设计，以飨读者.

1 “学习进阶”下的课前思考

作为平面几何中的重要定理之一，“勾股定理”不仅揭示了直角三角形三边的数量关系，而且是渗透数形结合思想的有效载体.基于对新课标的分析，笔者认为本节课的进阶起点大致如下：对勾股定理及其逆定理的内涵、相互关系有一定的认知基础，并能解决一些简单的实际问题.据此，教师可以围绕进阶起点设定进阶目标［2］.

当然，本节课的学习进阶由于各种具体学情，存在如下障碍：（1）受到新课学习中诸多因素的影响，如时间紧导致勾股定理及其证明不够充分，时间久导致定理证明的遗忘等，使得不少学生“只知其然”；（2）由于学生缺乏在复杂情境中探寻隐含关系的能力，使得本节课的学习进阶困难重重；（3）学生思考和表达能力方面的欠缺，使得后续解决立体图形表面“最短路径”问题落入困顿的境地.同时，如何融通定理内涵与爱国情怀，培养学生的实践能力和合作意识等都是本节课的难点.

2 “学习进阶”理论下的教学设计

2.1 情境导入，融入学习

问题1 图1是耸立于萨摩斯岛的毕达哥拉斯雕像，从中你能生成什么数学联想？（课件呈现图1，学生很快据图抽象出“直角三角形”，并引出其性质等.）

设计意图：通过数学史素材设计一个问题，一方面引领学生温故知新，让学生沿着知识台阶与思维起点探索，沿着精准进阶路径前行；另一方面，通过素材为后续勾股定理的进阶认识打下伏笔.

2.2 自主检测，进阶起航

教师共出示五个习题（此处由于篇幅有限，具体习题略）.

设计意图：通过拾级而上的五个问题，考查定理本身及其几何意义、逆定理的应用及勾股数，强调定理本身的内涵，综合应用定理及其逆定理；通过“赵爽弦图”证明定理，助力学生自主整理知识，完成自主梳理和思维进阶.同时，教师在巡视中了解学生的进阶起点，为学生后续的进阶学习设计科学而适切的路径.

2.3 踏梯而上，逐层进阶

问题2 如图2，一根竹子原高一丈（等于10尺），一阵风来竹子折断，竹稍恰好抵地，且抵地处距竹子底部6尺，试求折断处距离地面的高度.（出自“折竹抵地”问题.）

问题3 如图3，已知一池塘的截面为正方形，其边长10尺，池塘中央长着一棵芦苇AB，高出水面的部分BC长1尺.若把AB沿着与水池边垂直方向拉向岸边，则该芦苇顶部B刚好碰到岸边的B′处，试求水深及芦苇的高度.

问题4 在图4所示的直角三角形纸片ABC中，已知AC=6 cm，BC=8 cm.若将边AD沿着AB折叠，使其落于斜边AB上并与AE重合，求线段CD的长度.

问题5 在图5所示的长方形ABCD中，已知AB=16，BC=8.若沿着AC折叠矩形ABCD，使得点D与点E重合，且CE交AB于点F，求线段AF的长度.

问题6 图6所示的长方体木块的长、宽、高分别为4 cm，3 cm和4 cm.已知一只蜘蛛藏匿于木块的一顶点A处，一苍蝇停在与蜘蛛相对的顶点B处.若蜘蛛想沿着最短的路线捕获苍蝇，则需沿着什么路线爬上去？最短路径的长是多少？

设计意图：在这一环节，教師以不同层次的多个问题进行引导，以例题与变式相结合的方式，逐级提升问题难度，让学生通过自主探究、小组讨论和合作交流分析与解决问题，培养数学思考、语言表达和数学探究能力，使思维品质与理性精神得到最大限度的发展.在学生解决问题6之后，教师继续从“立体图形表面最短路程”角度提出变式问题，如蚂蚁爬圆柱表面、爬多级台阶等，让学生充分想象和思辨，以发展直观想象能力和数学思考能力.此处将勾股定理模型贯穿整个环节，使学生学习的积极性越发高涨，让数学学习越发深入.

2.4 课堂小结，深化学习（略）

2.5 课后进阶，升华课题

问题7 “勾股定理”看似简单，却有着深刻的寓意，下面请大家从以下课题中选择一个以小组合作的方式研究：

（1）“勾股定理”的历史；

（2）整理“勾股定理”的证法（不少于8种）.

问题8 各小组围绕如下话题试着制作一张专题手抄报：

（1）古今中外数学家研究勾股定理的有趣故事；

（2）具体介绍搜集的勾股定理验证方法中的一种；

（3）以上课题学习中你的收获与困惑.

设计意图：本章节知识中囊括了丰富的德育元素，为教师的“立德树人”价值追求提供了契机.在这一环节中，教师鼓励学生以小组合作的形式展开研究性学习，更加深入地了解勾股定理的发展史和各种证法，并以手抄报的形式展示成果，水到渠成地培养学生的爱国情怀与科学精神.当然，由于课堂学习时间有限，本环节可以延伸到课后，使学生的深度学习不断延伸开去.

3 几点思考

3.1 以“立德树人”为统领

数学知识是人类文明的产物，承载着各种思想与文化，一线教师需自觉将“立德树人”的目标落实在具体的教学之中.在本课中，教师以“立德树人”为统领，针对性地将其列为学生学习进阶的延伸点，通过“一针见血”的设计与引导，提升数学复习课的育人价值，以文化力量厚植学生的爱国情怀，水到渠成地提升学生数学核心素养.

3.2 以“明暗相交的目标”为主线

数学学习需要落实知识技能与学科素养双重层面的目标，这就需要教师基于这两个层面分别设计“明暗相交”的进阶目标，让学生在渐次提升的问题情境中深度思考、探究和交流，最终实现学习的自然进阶.在本节复习课中，教师的教学设计呈现多个水平层次，让学生在低起点、高立意的数学探究进程中获取数学知识技能，发展数学思维，提升数学素养［3］.

3.3 以“问题链”为载体

数学复习课应以问题为纽带，以知识的发展与思维的培养为主线，以师生、生生互动的形式形式提高学生学习的参与度，增强数学思维的层次性，提高复习课的质效.本课中教师基于学习进阶目标精心选题改编，并以“问题链”为载体，引导学生独立探索和互动研讨，使学生的思考脉络得到递进式发展，促进数学素养的自然提升.

参考文献：

[1]李松林.以大概念为核心的整合性教学[J].课程·教材·教法，2020，40（10）：56-61.

[2]吕世虎，吴振英，杨婷，等.单元教学设计及其对促进数学教师专业发展的作用[J].数学教育学报，2016（5）：16-21.

[3]史宁中.高中数学核心素养的培养、评价与教学实施[J].中小学教材教学，2017（5）：4-9.