基于数与运算一致性的小学数学结构化教学探析

汪海龙

摘要：在数学教学中，教师要对教材中类似的知识点进行梳理，找到其中的相同点或相同的道理，促进学生知识体系结构化。分数除法和整数除法、小数除法一样，都是平均分的过程，虽然教材没变，但是教师必须基于数与运算一致性开展教学，以计数单位为抓手，促使学生将整数、小数、分数除法深层次地联系起来，促进知识体系结构化，提升学生的思维水平。

关键词：小学数学；数与运算一致性；知识体系结构化

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）指出：“在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。”这就要求教师对教材中类似的知识点进行梳理，找到其中的相同点或相同的道理，促进学生知识体系结构化。北师大版数学教材五年级下册“分数除法（一）”一课是分数除法的起始课，教学中笔者发现，学生虽然知道分数除以整数的计算方法是除以一个不为零的整数，相当于乘以这个整数的倒数，进而发现分数除法可以转化为已经学过的分数乘法进行计算，但是仍然不明白为什么整数、小数除法是平均分，而分数除法就不能平均分了，造成了小学数学知识结构化的障碍。对此，笔者认为，分数除法和整数除法、小数除法一样，都是平均分的过程，教师必须基于数与运算一致性开展教学，以计数单位为抓手，促使学生将整数、小数、分数除法深层次地联系起来，形成结构化知識体系，提升学生的思维水平。

一、细分分数单位——掌握分数除法的核心

新课标指出：“进一步理解计数单位对分数表达的重要性。”分数单位是分数除法计算的核心。基于学生年龄特点，虽然整数、小数可以用小棒、计数器等直观模型表示，但是笔者认为方格纸（面积模型）可以直观地将整数、小数、分数的关系联系起来，即方格纸可以看作“整体1”，基本可以表示小学范围内的整数、小数、分数，也可以表示其计数单位（分数单位）。方格纸可以表示整数，也可以把1张方格纸平均分成10份、100份、1000份等表示小数，还可以把1张方格纸平均分成若干份表示分数。在本课中，教师要用深、用透方格纸，让学生经历细分分数单位的形成过程，理解细分分数单位的必要性，进而理解整数、小数、分数除法的数与运算一致性。

本课共有三个问题串，其中第二个问题串涉及分数单位细分的问题，笔者和学生共同经历教材呈现的两种思路，注重引导学生观察方格纸表示的算式的变化，即分数单位细分的过程。

师：按照你们刚才的经验试一试，分一分。（学生操作）

师：分完的同学和小组同学说一说你是怎么分的，发现了什么问题。

师：这道题还能用你们刚才的经验做吗？

师：那么，用画图能求出结果吗？谁来讲讲？

成3份，取其中的一份就可以了。

师：同学们，你们来看他画的图，画的是多少呢？

师：我听明白了，同学们听明白了吗？可是在他的图上还是不容易看出来阴影部分是整张纸的几分之几，怎么办？

生：我有办法，他只把这边平均分成了3份，要再把另一边也平均分成3份，不就是把整张纸平均分成相等的部分了吗？

师：请同学仔细回想刚才画图的过程，我们是怎样画的？（学生汇报）

师：这位同学图画得很规范，讲解得也很清楚，

师：同学们，我们在计算整数除法和小数除法时，如果高位上的数字或余数不够除时，只需把余数和后一位的数相加，转化成低位上的数就能够继续算下去。通过刚才的画图，你发现了什么？

生：我发现当分子不能被除数整除时，就需要将被除数的分数单位细分，分成单位更小的分数。

师：由此可见，整数除法、小数除法、分数除法的算理都是相通的，都是平均分的过程，都是将计数单位细分的过程，只不过在分数除法里，计数单位是分数单位而已。

在教学三道题的画图过程中，学生经历了三次分数单位细分的过程。本环节是本课的核心环节，学生通过找到新的分数单位，理解了除法计算的本质，感悟到数与运算的一致性，打通了整数、小数、分数除法的联系，在整数、小数除法的基础上出现了新的生长点，发展了学生的数学思维。

二、理解算理，发现算法——促进知识结构化

除法计算本身在小学计算中是难点，除法的基本算理是当大单位不够分时，就转化成较小的单位继续往下分。因此，教师务必要把“平均分”讲清楚，尤其碰到不够分的情况时，必须让学生明白其中的道理。算理的理解与算法的选择是运算的重心。算法就是运算的方法，解决“怎么算”“知其然”的问题。学生明白了分数除法的运算道理后，算法自然迎刃而解。

整数除法和小数除法的进率都是10，而且都有竖式计算方法，算理都是如果前一位在平均分时有余数，只需要将余数和后一位数相加，继续平均分即可。但是，分数除法没有竖式计算方法，这就造成一些教师认为分数除法和整数、小数除法的算理不同，但笔者认为分数除法和整数、小数除法的算理是一致的。学生在五年级上册学习了分数单位，知道分数的分母越大，说明该分数的分数单位越小，也说明“整体1”平均分的份数越多。学生在学习分数加减法的时候同样知道要把不同分数单位的分数转化为相同分数单位的分数，一般转化成分数单位较小（分母数字较大）的分数。分数除法也是同样的道理，当分数不够分时，只需要将现有被除数的分数单位继续细分，分成分数单位较小的分数，再继续平均分即可。只不过分数除法的进率不是十，而是与分数单位有关。在备课时，笔者注重引导学生在对分数除法算理充分了解的基础上，发现分数除法和分数乘法的关系，理解算理和发现算法互为照应，促使学生加深对分数除法的理解。

师：通过刚才的画图，我们知道了当分数单位不够分时，就要细分分数单位，但是分数除法题千千万，我们不能仅靠画图解决，还有什么好办法？

师：学以致用，很棒，还有谁来说一说？

师：怎么样，有没有和你的想法不谋而合？第二道题谁来讲一讲？

师：你们有什么发现？

生：我发现所有的分数除以一个不为零的整数，都相当于乘以这个整数的倒数。

师：这真是个伟大的发现，这个发现与分数乘法之间有什么关系？

生：分数除以不为零的整数，都可以将除法转化为已经学过的分数乘法进行计算。除以一个不为零的整数，相当于乘以这个整数的倒数，也就是整数分之一。

本环节，学生在理解算理的基础上发现算法，即除以一个不为零的整数，相当于乘以这个整数的倒数。这也是分数除法与分数乘法的联系。这么做既提高了学生的运算能力，又发展了推理意识。至此，学生将分数除法与整数除法、小数除法、分数乘法都建立起了联系，形成了清晰的知识框架。

三、练习检测，落实目标——注重对算理过程的理解

练习环节，笔者依旧紧紧围绕分数除法的算理、算法、分数单位的细化，考查学生对分数除法算理的掌握情况，再次落实教学目标。

1.把大正方形的面积看作“整体1”，那么阴影部分的面积变化表示为（   ）÷（   ）=（   ）×（   ）=（    ）。

第1题既给了方格图，也给了列式的提示，帮助学生梳理分数除法的算理和算法。第2题依托教材中的情境，继续考查学生对于分数除法算理、算法的掌握情况，一是看画图是否将分数单位细分，二是看学生列式是否将分数除法的算法体现出来，即是否将分数除法与分数乘法的联系体现出来。第3题将分数除法放在了真实的情境中，需要学生抽象出数学信息，画图并解答。第4题是对分数除以整数算理的考查，考查学生是否真正理解了分数除以整数的算理。以上这四道题都离不开用图来解释，目的是让学生通过观察图，再次深刻理解分数除法的算理。学生多次经历被除数分数单位细分的过程和除以一个整数，相当于乘以这个整数的倒数的算法过程，再次提升了数学思维。

教师要认识到：即使简单的计算，也是培养学生思维的良好契机，在充分理解的基础上进行结构化的计算同样能体现学生的思维水平。这样，能提升学生的运算能力，促进数学思维的发展。

参考文献：

［1］董文彬.從运算能力走向运算素养：关于运算及运算教学的思考［J］.教育科学论坛，2019（28）.

［2］陈士策.在结构中感悟运算的一致性：“分数乘整数”教学实践与思考［J］.小学数学教育，2023（24）.