核心素养背景下反例在高中数学教学中的应用研究

王克军

摘要：新课改背景下的数学教学将发展数学核心素养放在首位.本文中分别从“借助反例夯实知识基础、揭露问题症结、提高解题效率、实施深入探究”四个方面，结合实例对基于核心素养背景应用好反例进行教学展开阐述与分析.

关键词：反例；基础知识；解题

反例是指想要说明一个数学命题为假命题时，通过举出一个例子让它具备命题的条件，却与命题结论不相符，这个例子则称为反例.反例是相对于全称命题的一个概念，在实际教学中应用非常广泛，尤其对于高中数学而言，反例可为学生提供新的思维视角.在数学教学过程中，学生的思维遇到障碍是常有的事，灵活应用反例可帮助学生换个视角观察与思考问题，提升学习效率.

1 借助反例夯实基础知识

新课标强调数学教学要注重“四基”与“四能”的培养，基础知识属于“四基”最重要的内容，任何教学活动都是紧紧围绕基础知识而展开的，夯实基础是实现解題的关键.因此，每一位教育工作者都要关注基础知识的教学，只有不断强化对知识基础的理解，学生才能基于此基础更上一层楼.为此，笔者在这方面做了大量尝试与探索，发现借助反例进行基础知识的教学，效果异常显著.

案例1 “直线与平面垂直的判定定理”的教学

为了深化学生对“直线与平面垂直的判定定理”的理解，强化“平面内两条直线相交”这个基本条件，教学时笔者尤其关注“相交”二字，呈现出如下教学过程：

问题 如图1，正方体ABCD-A1B1C1D1中AB1⊥BC，AB1⊥B1C1，但AB1⊥平面BCC1B1并不成立.

师：请大家分析这个命题结论正确的原因.

生1：因为BC和B1C1虽同在平面BCC1B1内，但BC与B1C1并非为相交的关系.

这个简单易理解的反例让学生清晰地明确了“相交”这个词在此定理中所占的分量.

该反例的应用成功展示了定理中核心词的重要性，夯实了知识基础.若再次遇到这一类题型时，可通过对这个反例信息的提取，避免错误的发生.这个反例也从侧面提醒我们在理解基础知识时，可从正反两个角度去分析，这也是避免思维定式的重要方法.

2 通过反例揭露问题症结

新课标强调要关注学生在解题中的错误，将一些错误作为教学资源，可有效激活学生的思维，增强学生的理解能力，避免类似问题的再次发生.实践证明，正确对待教学过程中学生暴露出来的错误是不可忽略的环节.因此，探寻高效教学的同时要常停下脚步，回过头来及时复盘、反思，以便及时发现问题并解决问题，这也是发展“四能”的关键步骤.实践发现，反例的应用常能将问题的症结暴露出来，让学生正视自己的问题.

案例2 “一元二次方程根与系数的关系”的教学

学生在解决有关一元二次方程根的问题时，常会出现遗漏条件的情况，为了让学生自主发现问题的症结所在，笔者设计了如下问题：

问题 若方程x2+（k－3）x+k=0的两根都小于－2，求k的取值范围.

学生这么解题，主要源于初中阶段接触过一元二次方程两根均大于0的情况，受思维定式的影响，出现了这种错误解法.大部分学生在复看时，都不会发现错误.为了从源头上扭转学生的思维，笔者决定借助如下反例来解决这个问题：若两个根分别为－4与－3/2，这个条件满足所列的不等式，却与题目不符.

这种解法没有关注到对称轴，从而导致错误发生.为了让学生自主发现问题的症结，笔者移动了一下对称轴，学生瞬间就明白了.

这种解法的错因在于忽略了“端点”，只要据此举出相应的反例，学生就能发现大根可以大于－2，也能小于－2.

用反例来说明以上三种典型错误，不仅让学生明确每一类错误的原因，还让学生进一步回顾基础知识，感知遇到这一类问题时必须考虑周全，其中判别式、对称轴与端点是三个不可或缺的因素.在此基础上，学生很快自主求得本题的解为k∈［9，10）（过程略）.

反例的应用，显著提高了教学效率，无需教师过多的阐释，学生就从这几个典型错误中夯实了基础，发展了“四能”.

3 巧用反例提高解题效率

反例是提高解题效率的法宝.当遇到一些灵活多变的问题时，如果学生仅单纯地从正面思考，常常会因为考虑不够周全而发生失误，若能转换解题思路，适时应用反例，则能从问题的另一个角度切入，实现解题的突破.

案例3 “立体几何”的教学

问题 如图2，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中AB，AD，AA1的长度分别为5，4，3，动点由点A出发沿着长方体的表面活动到点C1处，求该动点运动的最短路径.

不少学生解这道题时，直接将AB，BC，CC1三条线段的长度相加，获得“最短路径长为12”这个结论.显然，这种做法是错误的.为了让学生明白这种解法的错误（思维过于“简单粗暴”），笔者提出如下反例：若动点由点A出发，沿着AB—BC1到达点C1，那么运动的距离为10，显然小于12.

这个反例成功激活了学生的思维，他们立刻意识到此类最短路线问题，可从长方体的侧面展开图的角度去分析，如图3，学生自主画图，很快就获得了准确答案.

这个案例告诉我们，反例是激活学生思维、提高解题效率的重要方法.反例的应用还能有效避免思维漏洞，这对提升解题效率具有重要价值.

4 应用反例实施深入探究

课本内容远远达不到新课标提出的要求，核心素养背景下，学生不仅要掌握“四基与四能”，还要具备良好的探究与创新能力.因此，我们应关注课本知识的延伸与拓展，以深化学生对知识的理解，为完善知识体系、建构良好的认知结构服务.带领学生借助各种教学手段探索灵活多变的教学内容是当下教学的关键任务，也是发展学生探究能力的重要渠道.结合教学经验，发现应用反例教学可引导学生进入灵活的探索阶段，促进思维深刻性、发散性与灵敏性的发展.

案例4 “函数”的教学

问题 已知f（x）=x3－ax2+3x在［1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围.

不少学生拿到该题，首先想到自己熟悉的知识：对于函数y=f（x），如果在某个区间上f′（x）＞0，那么f（x）在这个区间上是增函数.因此，看到本题时，就思维定式地求出f′（x）=3x2－2ax+3，然后根据f′（x）＞0，即a＜3/21/x+x在［1，+∞）上恒成立，解得a＜3.

为了让学生发现问题，笔者举了这样一个反例：已知函数f（x）=x3在[WTHZ]R上单调递增，而f′（x）=3x2≥0恒成立，由此不难看出y=f（x）在区间（a，b）上可导，据此可发现f′（x）＞0并非f（x）在区间（a，b）上单调递增的充要条件.

在这个反例的引导下，学生瞬间就发现了问题出在哪里，并及时修正获得a≤3的结论.这个案例告诉我们，反例的应用不仅能促使学生快速发现问题，还能有效点燃学生的探索欲，驱动学生的探究行为，为发展核心素养奠定基础.

总之，灵活应用反例，将反例恰到好处地应用在刀刃上，不仅能快速检验教学成效，还能发展学生的数学思维，推动学生的深度探究.因此，每位教师都应关注反例在教学中的实用价值，将它作为提高教学成效、发展学生核心素养的利器.

课题信息：江苏省教育科学“十四五”规划课题“观念建构视角下指向核心素养的高中数学单元教学设计研究”，立项编号为D/2021/02/513.