基于“创造性使用教材”的创新性教学设计

林泽华　李孝诚

摘要：高中数学教材的使用要具有创造性.以“等差数列的前n项和”教学为例，针对人教A版教材中导入设计过于理想化的情况，提出“用教材教”的反思，并给出创造性使用教材的策略，以帮助学生深入理解数学知识的本质，掌握数形结合的思想方法，提高数学抽象、直观想象核心素养.

关键词：高中数学教材；创造性使用教材；创新性教学；数形结合思想；数学学科核心素养

1 问题提出

自高中新课改实施以来，教材使用的观点已不再是传统的“教教材”，而是转变为“用教材教”，这对教师解读教材的能力提出了更高的要求[1].《高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中突出强调学生数学学科核心素养的培养，教材的编写和排版也做出了相应的调整，其内容的设计也更加科学合理.然而，这也导致了在教学活动中教师过分依赖教材，不敢对教材进行延伸[2].“用教材教”无疑能够达到课程标准的基本要求，但是只用教材去教学生，照搬他人的想法去实施教学，有时并不能适应真实的课堂教学，而是仅仅达成了教材编写者的设计意图.学生对于知识的探索只停留在课本表面，并没有深入数学知识的本质，其思维能力和推理能力也缺乏相应的锻炼.

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为“数学是一种人类活动”，并提倡以“再创造”原则进行数学教学，即学生要参与到数学学习的过程中，重新创造出有关的数学知识.这种再创造需要教师精心设计，而不是引导学生机械地学习教材中所呈现的有关历史发现.因此，对于教材的使用要更加注重创新，不能局限于教材编写的内容，要结合实际情况创造性地使用教材.笔者以“等差数列的前n项和公式”为例，选取2019年新人教A版教材，基于教材内容进行创新性教学设计，剖析在具体教学过程中仅依赖教材教的现象，提出使用教材的反思与改进策略.

2 教材内容分析

“等差数列的前n项和公式”是2019年新人教A版选择性必修第二册的内容.教材从高斯计算1+2+……+100的算法出发，引入首尾相加的求和方法，仿照这种方法，提出如何求解1+2+……+101的问题.将其与前者进行对比，将首项为1，公差为1的等差数列分成n为奇数与n为偶数两种情况；再借助高斯的算法进行分类讨论，分别对两种情况进行化简并得到相应的公式，总结出这一特殊数列的前n项和公式；最后对其进行一般化处理，推导出等差数列前n项和的一般公式即Sn=n（a1+an）/2.

2.1 设计意图

教材以数学家高斯的算法作为导入，从数学史开篇，这样学生会对等差数列前n项和公式的探索产生兴趣，有利于学生对该公式的探究.在推导过程中，引导学生感受从特殊到一般的研究方法，开发理性思维品质，最终学生通过自主探究得出等差数列前n项和公式的一般形式.这样设计的主要目的是期望在增强学生学好数学信心的同时，培养学生积极探索的学习习惯[3].

2.2 存在的缺陷

如果仅仅借助教材中数学家高斯的算法进行导入而不加以创新，难免会存在几点缺陷：一是高斯的首尾相加法仅仅是高斯的想法，不是学生想出来的，是强加给学生的，同时也失去了“再创造”学习的意义.二是从高斯的算法到倒序相加法的过渡，对于学生来说比较难以理解，如果处理不好就会造成灌输式教学.在此过程中，教师也仅仅只是完成了教学任务，学生的思维并没有得到实效性的锻炼.三是学生对等差数列前n项和公式的理解仅仅停留在表面，并没有深入实质，容易导致死记公式现象的发生.

3 创新性教学的课例分析

为落实和发展学生数学学科核心素养，就需要创造性地使用教材，进行创新性教学设计.创造性地使用教材要求教师在充分了解数学课程标准的基础上，以教材为载体，灵活有效地组织教学，拓展课堂教学空间.

定理、公式的教学要充分暴露思维过程，包括问题的提出过程、问题的求解与探索过程以及证明思路的形成过程三方面，因此，定理与公式的教学可以通过归纳推理、类比推理、直觉思维活动等合情猜测数学结论[4].华罗庚教授曾指出“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”[5].利用图形的直观诱发直觉思维活动即是数形结合思想的体现.以“等差数列的前n项和公式”为例，基于教材内容设计渗透数形结合思想的创新性教学，能够帮助学生经历等差数列前n项和公式的推导过程，加深对公式的理解和感悟.本文中仅对“等差数列前n项和公式”的导入过程进行创新，以下是本节课的教学设计.

师：（情境导入）如图1，一堆圆木桩顶层1根，下层依次为2根、3根、……，按照这种规律一直摆放到100层，一共有多少根圆木桩？

生1：将第1层与第100层进行配对，第2层和第99层配对，以此类推就可得到50对，于是圆木桩的总数为

（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5 050.

（注意：若没有学生提出该方法，则需要教师引出.若这种方法是由教师引出就是灌输式教学，这也是教材设计欠考虑的地方.）

师：很好！这也是伟大的数学家高斯计算1+2+3+……+100的方法.这种方法技巧性很强，是从数的角度进行计算，那么从图形的角度，大家能否发现一种简便的计算方法呢？

生2：这100层圆木桩堆成了一个三角形，我在想是否可以和三角形的面积联系起来，但是圆木桩的个数又不完全是三角形的面积，所以我遇到了困难.

师：生2的角度很独特，我们知道三角形的面积公式是1/2（底×高），但是他遇到了困难，那可以将三角形转化为别的图形吗？

生3：三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半，可以转化为平行四邊形来求！

师：没错！那大家对求解100层共有多少根圆木桩有思路了吗？

生4：再找一堆同样的圆木桩拼凑成平行四边形，这样每一层圆木桩的个数都为1+100=101，一共有100层.那么，可以得出这两堆圆木桩的根数一共是100×（1+100）=10 100，所以这样一堆圆木桩一共有5 050根.

师：很好！如果将原来每一层的圆木桩根数依次写成一个数列，那是一个什么样的数列呢？

生：首项为1，公差为1的等差数列.

师：1+2+3+……+100=5 050就是这个数列前100项的和.将其推广到n项，用Sn来表示它的前n项和，仿照前面的图形直观，大家能写出这个数列的前n项和公式吗？

生5：Sn=n（1+n）/2.

师：你能用图形直观表示一下吗？

生5：如图2，将a1，……，an摆成一个三角形，第一行圆点的个数是1，第二行圆点的个数是2，以此类推，一直到n行圆点个数为n，然后用同样的三角形拼成一个平行四边形，这样每一行圆点的个数都变成了1+n，一共有n行，两堆就有n（1+n）个圆点，一堆就有n（1+n）/2个圆点.

师：很好，将其推广到一般形式的等差数列{an}，它的前n项和公式的表达式是什么呢？

生6：Sn=n（a1+an）/2.

师：那在计算Sn的过程中，需要知道哪些量呢？又该如何计算呢？

生6：需要知道第一项a1和最后一项an以及项数n.将首项与末项相加，所得之和乘项数，之后再除以2.

师：不错！这就是倒序相加求和的方法，我们借助这种方法得到的Sn=n（a1+an）/2就是等差数列{an}的前n项和公式.从这个公式的形式来看，你能想到它与什么图形的公式相似呢？能用图形说明一下吗？

生7：与梯形的面积公式（上底+下底）×高/2相似.梯形的面积也是将梯形拼成一个平行四边形来求解的（如图3），与倒序相加法的原理一样.

师：你能总结一下它们的原理吗？

生7：构造相同的部分，然后倒序相加.

师：那倒序相加的目的是什么呢？

生7：将原本不同的部分变为相同的部分.

师：没错！这就是倒序相加法的原理.通过将一个等差数列倒序后再相加，从而构造出一个数值全部相同的新数列，也就是一个常数列.先求出常数列的和，再求这个数列的和.而梯形面积公式的推导也是这个原理.

“千言万语不及一张图”，这是美国图论学者哈里的名言[6].相比文字和符号，借助图形探索出的数学知识更加形象直观，更易于学生理解.本节课打破“代数式”的束缚，利用数形结合的方式，以三角形面积来推导等差数列的前n项和公式，帮助学生理解倒序相加法的原理，从而更加深入理解公式的本质.若只用教材中高斯的算法在代数层面进行探究，容易导致学生死记公式.而采用图形来推导，借助几何直观建立数与形之间的联系，学生能够更好地理解倒序相加法的原理，更好地发展数学抽象素养和直观想象素养.

4 “用教材教”的反思与改进

教材具有规范作用.借助教材中的例子进行教学无可厚非，但是以教材为本并不是将教材中的所有内容都照搬，也不意味着要完全按照教材编写者的思路进行教学.用教材进行教学的意义在于要结合学生实际情况，以教材为参考来教学，其关键是要解决怎么“用”的问题.教师要能够在教材的基础上，设计出真正有利于学生学习的教学过程.对于“等差数列的前n项和公式”这节课的教学设计，教师可以采用教材中高斯的例子来带领学生感悟等差数列的相关数学史，从而激发学生的学习兴趣.但是，具体的教学设计与实施应以学生的实际情况为依据.想要帮助学生深入理解利用倒序相加法求等差数列前n项和的原理，就需要进行一定的创新性教学.值得注意的是，数学创新性教学不是凭空产生的，需要教师灵活运用教材，并充分利用各种课程资源来设计教学.因此，在数学教学过程中，不能过分依赖教材，要以教材为基础创造性地使用教材.

创造性地利用数学教材教学，应注意以下几个方面：

首先，读懂教材是创造性使用教材的基础，需要教师在仔细分析数学课程标准基本要求的基础上，认真研读数学教材.高中数学教材有不同版本，常见的主要是人教版、沪教版、北师大版、苏教版、湘教版等.不同版本的编排内容不同，各有特色，在教学过程中要注意在主版本的基础上，汲取其他版本中值得借鉴的优点，优化数学知识的教学.“等差数列的前n项和公式”的创新性教学课例就是在人教A版教材的基础上，结合北师大版教材情境所进行的改进.

其次，教师要提高自身素质，在读懂教材设计意图的基础上，研读数学思想方法，并将之渗透于数学教学中.数形结合思想的运用，使得等差数列前n项和公式的推导更加直观，同时，能让学生更加深入理解倒序相加法的本质.

最后，在教学设计的过程中，要从整体上把握数学知识，分析本节数学知识在整个数学学习中的地位和作用，注重前后知识之间的联系，帮助学生建构知识体系，体会整体知识与局部知识之间的关系；注重创新性以及数学学科核心素养的达成程度，将数学学科核心素养的发展渗透于教学全过程.

高中数学教材是专家根据数学课程标准编写的，是高中数学学习的专门用书，是教学的前提.但是，有太多教师过于依赖教材，只是按部就班地按照教材内容进行教学，而没有仔细研读内容的逻辑是否符合学生的认知规律.书面化的语言难免会过于理想化，将文字性的知识教授给学生是教师必备的能力，这就需要教师在仔细分析教材的基础上，在适当的时候设计创新性的教学，创造性地利用教材，深入数学本质，发展学生的数学学科核心素养.

参考文献：

[1]高瑞荣.从“教教材”到“用教材教”：争议与反思[J].上海教育科研，2016（7）：10-13.

[2]籍富仙.创造性使用数学教材的误区分析及策略建议[J].教学与管理，2017（16）：64-66.

[3]陈朝晖.“等差数列的前n项和公式推导”的商榷[J].数学通报，2007（5）：62.

[4]熊惠民.中學数学教学设计与案例研究[M].北京：科学出版社，2014：130-131.

[5]陈秧飞.直觉思维在数学解题中的体现[J].上海教育科研，2010（3）：87-88.

[6]王彬，吴谦，侯晓婷，等.基于数形结合思想的“等差数列的前n项和”教学设计[J].数学教学，2021（6）：17-23.