结构化教学构建高效高中数学课堂

梁春波

摘要：结构化教学是构建高效高中数学课堂的关键，可以引导高中学生在学习数学的过程中进行高效学习.本文中以“平面解析几何”为例，探讨了在高中数学教学中構建高效数学课堂的具体方法，主要是通过渗透结构化的思想和方法，使数学理解变得结构化，让高中数学的学习变得轻松、高效.

关键词：结构化教学；高中数学课堂；高效

1 结构化教学

结构化教学是由有规律的或相关联的教学内容组合而成的一个有序的系统.高中数学与初中数学相比，初中数学教材所呈现的内容多以“点”的形式出现，随着高中教材中内容和知识难度的增加，这些以“点”存在的知识就需要进一步衍生为“线”，再由“线”衍生成为“面”，最终形成“体”，这个过程就是结构化教学的核心.结构化课堂的构建还需要遵循完整性、多维性、开放性和发展性几个特点，其中完整性是结构化教学的基础，多维性是横向、纵向繁杂知识的有效规划，开放性和发展性是结构化教学的延伸.

2 结构化教学案例分析

人教版高中数学教材中“平面解析几何”的主要内容为直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、坐标系与参数方程等知识.根据课程标准，在必修2解析几何初级课程中，要求学生学习直线与方程、圆与方程的最基本内容，并初步建立空间坐标系的概念.由于这些内容是必修，因此是为所有学生设计的.而在选修的课程中我们进一步学习了圆锥曲线与方程、空间坐标系以及参数方程等.综上，课程标准要求掌握解析几何的最基本方法——用代数的思维研究基本曲线的几何性质，并能将最基本的学习方法迁移到圆锥曲线的学习中.通过代数思想，一方面降低了平面解析几何的难度，提高了学生对平面解析几何的理解程度；另一方面，这些代数思维为选修内容的学习奠定了基础.

在“平面解析几何”的教学过程中，教师应引导学生经历以下过程：（1）将几何问题代数化，用代数语言描述几何元素及其关系；（2）将几何问题转化为代数问题，直接解决代数问题；（3）分析代数结果的几何意义，再回到几何问题上，最终实现几何问题的解决.这是解决平面解析几何问题的基本思路和方法，学生需要熟练掌握这种“数形结合”的相互转化方法.

2.1 数学知识的提炼将知识结构化

高中数学知识的抽象性是大家所熟知的，由于太抽象，因此学生不容易理解，更别说在解题中灵活应用了.学生需要不断地把教师教授的知识转化为自己熟悉的知识，由于高中生思维水平有限，这对学生来说显然是有难度的，因此，在高中数学的教学过程中，教师需要适当利用结构化教学方式和方法，引导学生找到众多知识中的重点知识，从而完成对数学知识的提炼，帮助学生加深对知识的理解，实现高效的高中数学课堂的构建.

例如，在研究“直线和圆的方程”时，可以进行如下知识提炼：

例1 求圆心在直线y=2x-3上，且过A（5，2），B（3，-2）两点的圆O的方程.

教学指导：引导学生阅读题干信息，通过相互交流或讨论，找到这道题目的基本解决方法.因为题目中的条件与圆心有关，所以可以设圆的标准方程，利用圆心在直线y=2x-3上这一关键信息来解.当然，解决问题的方法不唯一，还可以从圆心O在线段AB的中垂线上实现突破，从而求出方程.此外，本题的重中之重是引导学生提炼、总结解决此类问题的方法和步骤，将复杂问题简单化.

本题介绍了求圆的标准方程的基本方法，解法1用待定系数法求圆的方程，只要确定三个参数便可求出圆的方程，一般计算量相对大一些.解法2主要利用圆心在弦的中垂线上，可得圆心满足的直线方程，再结合题目中其他已知条件可确定出圆心，进而由两点间的距离公式求出圆的半径，从而可以得到圆的标准方程.基于此，提炼出求圆的标准方程的基本方法——待定系数法和几何性质法.

2.2 揭示知识点间的联系将知识结构化

由于高中数学课程分为必修和选修，因此明明可以设计在一起的知识却因为必修和选修的区分被编排在不同的教材中.学生由于思维能力受限，不能及时将相关联的知识联系起来，此时教师在教学过程中就需要采用结构化教学模式，适当揭示各个知识点之间的联系.比如，在学习“平面解析几何”时需要向学生揭示，“平面解析几何”主要包含直线、曲线、方程三方面的知识.直线与与方程主要包含直线的倾斜角和斜率、直线方程的基本形式、点和直线的位置关系、两条直线的位置关系等.曲线与方程主要包含三个方面的知识：（1）圆——圆的定义、标准方程、几何性质；（2）椭圆——椭圆的定义、标准方程、几何性质；（3）双曲线——双曲线的定义、标准方程、几何性质；（4）抛物线——抛物线的定义、标准方程、几何性质.而椭圆、双曲线与抛物线又统称为圆锥曲线.直线、曲线与方程方面知识的研究都需要借助平面直角坐标系来完成，这就形成了“数向形，形向数”的转化.

2.3 循序渐进、逐步提高问题难度，将知识结构化

在高中数学课堂上应用结构化教学时，在提升学生理解能力的基础上还应不断发展学生解决问题的能力.具体来说，教师需要根据具体的教学内容和学生的实际需求，逐步提高问题设置的难度和深度.基础难度的题目可以让所有学生参与思考和讨论，难度较大的题目可以引发学生深入思考，使学生在学习过程中可以感受到分析和解决问题是由易到难而产生良好的学习体验，帮助学生形成结构化的数学思维.

例如，在研究“轨迹方程”时，可以进行如下教学：

轨迹问题是高中数学中的一个难点，大多以解答题的形式出现在高考试卷中.首先我们应总结求轨迹方程的几个常用方法：

（1）单动点的轨迹问题——直接法十待定系数法；

（2）双动点的轨迹问题——代入法；

（3）多动点的轨迹问题——参数法+交轨法.

例2 已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切.

（1）求动圆圆心轨迹C的方程.

（2）是否存在直线l，使直线l过点（0，1），并与轨迹C交于P，Q两点，且满足OP＼5OQ=0？若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由.

高中数学中轨迹方程问题往往是通过圆锥曲线的定义来求解的，本题中的轨迹方程问题就是通过抛物线的定义来解决的.因此，在遇到此类题目时，可将轨迹问题构建为圆锥曲线问题来解决，这就需要学生充分掌握圆锥曲线的定义并且能灵活应用.在例2的教学中，笔者围绕直线和圆锥曲线精心设计了一组难度不同的梯次问题，带领学生在思考和分析中逐渐了解直线和圆锥曲线的位置关系及特点，从而引导学生直观感知直线与圆锥曲线相交的相关知识，形成结构化思维.

2.4 利用知识迁移将知识结构化

在高中数学教学中，为了利用结构化教学构建高效课堂，教师应将知识迁移的教学模式运用到教学中，激发学生利用现有的学习经验和方法继续探索新的知识，能通过举一反三和触类旁通的学习模式，掌握结构化的具体学习方法.

例如，在教学“直线与圆锥曲线的位置关系”时，可以借助例2中“圆与方程”的相关知识来解决例3中“直线与圆锥曲线”的相关问题：

在例3的教学过程中，笔者结合学生对例2的学习经验和方法来讲述，使例2的解题思路有效迁移至例3中，帮助学生掌握结构化的学习方法，有助于高效数学课堂的建构.

3 小结

综上所述，结构化教学提倡的教学理念是根据知识之间存在的内在关联，将相关知识巧妙联系起来，形成相应的知识结构.对于内在联系不太明确的知识，在教学设计时教师需要投入更多的心思，深度探索和挖掘其相关性.同时，在总结、实践、拓展等环节，教师也需要将构建等思想渗透到教学活动中，帮助学生形成结构化的数学方法.结构化的数学方法不仅能促进知识的学习，也是数学核心素养的重要组成部分，可为学生的终身学习奠定坚实的基础.

课题信息：2021年广东省教育研究院“普通高中教育质量监测结果应用”专项课题“新课程背景下普通高中学生数学自主学习能力培养研究”，课题编号为GDJY-2021-G-a04.