基于逻辑推理素养的排列组合教学设计

王冬月

摘要：随着新一轮课程改革的实施，《普通高中数学课程标准（2017年版）》对逻辑推理素养提出了明确的要求，培养学生逻辑推理素养是教育领域关注的重点，但如何将逻辑推理素养融入实际课堂教学是亟待解决的问题.基于此，文章以高中数学排列组合中“组合”的教学过程为切入点，阐述如何在高中数学课程中落实逻辑推理素养.

关键词：组合；逻辑推理素养；教学设计；教学策略

1 问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版）》重视培养高中生数学核心素养，着重逻辑推理素养，数学课程承担着培养学生数学思维品质、创新能力和发现问题能力等的重任.几何课程中逻辑推理素养的研究较多，但“数与代数”“统计与概率”教学中逻辑推理素养的研究却寥寥无几.逻辑性和推理论证是数学最突出的特性，为了更好地落实逻辑推理素养，“统计与概率”是很好的实施素材和载体.下面以“组合”教学过程为例，引导学生在逻辑推理的过程中吸收知识，提升自身能力；在体验知识生成的过程中，培养思维，发展素养，增进问题解决技巧.

2 教学片段

2.1 创设情境，温故知新

师：上节课我们刚刚学习了排列的知识，下面一起回顾一下.

问题1 从我们班语数外物化生六位老师中选出两位老师参加活动，一名带队，一名协助，可以有多少种不同的选法？

预设：有30种.从6位老师中选出2位，并且他们要做不同工作，要考虑不同顺序，这是排列问题，答案是A26=6×5=30（种）.

师：选择使用排列方法分析、解决问题的理由是什么呢？

预设：要从中选出不同的老师，并且安排不一样的任务.

师：我们能列出所有可能的30种不同方案，列举时要思考差异性——元素的差异性及位置的差异性，先取后排.

2.2 实例分析，概念辨析

问题2 从这6位老师中选出2位组织下午的课外活动，可以有多少种不同的选法？

追问：问题1与问题2一样吗？

预设：问题1有位置的差异性，问题2没有.

师：那大家认为有多少种不同的方案？

预设：15种.从6位中选2位，且工作不同有30种选法，但问题2中2个人的工作没有差异，应该用30除以2，是15种.

师：非常棒！问题1中元素的位置有差异，但问题2中所选元素无位置差异，故有A26×1/2=15（种）.

师：问题2中从6个不同元素中选2个元素，直接合成一组，不需要按顺序排成一列，即使变换元素的位置或顺序，也不影响最后的选择.这就是我们今天要学习的组合问题.

组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

2.3 不断深化，概念理解

师：思考“两个相同的组合满足什么条件”？

预设：元素相同.

师：那两个相同的排列呢？

预设：元素相同且相同元素的位置也相同.

师：排列与组合共同点——两者都是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素；不同点——排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.

问题3 结合组合的定义，判断下面的问题是排列问题，还是组合问题？

平面中有A，B，C，D，E共5个点.

（1）以其中2个点为端点的线段共有多少条？

（2）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？

问题4 判断一个问题是排列问题或是组合问题的依据是什么？

师生合作：排列问题需要考虑元素的差异性和位置的差异性；组合问题只需考虑元素的差异性，不需要考虑位置的差异性.

师：在排列的学习过程中，我们把从n个不同元素中选出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn来表示.

组合数定义：把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示.

设计意图：在分析和练习中让学生熟悉组合和组合数的概念，进而灵活运用排列数解决问题.数学推理的表现是问题解决的过程，在此过程中要注重发展学生逻辑推理等核心素养.

3 教学反思

3.1 读懂吃透教材，教学内容整体分析

排列、组合是两类重要的计数问题，也是培养学生逻辑推理素养的好素材，要读懂吃透教材，对内容整体分析后再开始教学.本节课教学中，先提出学习任务，然后通过实例概括出组合的概念，最后应用分步计数原理和排列数公式推出组合数公式[1].在教学中，难点是学生对问题背景的理解，不然会导致重复或遗漏.这是个数学化的过程，学生需要掌握一些技巧，如“插空法”“捆绑法”“先分类、后分步”等，可以通过不同情境进行训练和辨析，结合具体问题的对比来启发学生，抓住“顺序”这个不同点来区别排列问题与组合问题.

3.2 融合关键要素，落实逻辑推理素养

在教学过程中培养学生逻辑推理素养要融合逻辑推理素养的关键要素，组合的教学设计片段中就是按照“定义与命题的表达、推理的一般形式、归纳推理及演绎推理的思维过程”这四个关键要素[2]来进行培养逻辑推理素养的教学.首先创设情境，让学生体会排列与组合间的共性和差异，抽象现实背景，抽象成数学问题，用数学的语言表达组合的定义，对概念进行辨析，进一步明确组合问题的概念.其次在解决问题时，应该明白推理过程具有动态性，通过归纳推理寻找规律并形成数学命题，再通过演绎推理验证所得数学命题的正确性.从特殊、具体的排列数与组合数之间的关系，归纳推理得到一般性规律，获得猜想，理解归纳推理得到命题具有或然性，需要数学证明来证明準确性.最后通过公式的推导，归纳得到一般性的规律，再演绎推理进行验证，潜移默化落实逻辑推理素养.

3.3 理解感悟思考，紧抓教学设计重点

创设合适的情境、提出启发性的数学问题是促进学生逻辑思维发展的有效方法，教学过程不能单纯依靠教师的讲述.对于高中数学教师来说，创设合适的教学情境和提出合适的数学问题的关键在于深刻理解数学知识的本质，理解概念或方法产生的必要性和应用性.教师应注重定义和命题的准确表达，明确推理的一般形式，清晰阐明演绎推理和归纳推理的思维过程，鼓励学生进行思考和推理，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力.这样的教学方式可以促进学生对数学的深入理解，并且能够使他们在实际问题中更好地运用所学的概念和方法.在“理解”与“感悟”的基础上学会思考，最终发展和落实逻辑推理核心素养，是一线数学教师进行教学设计所必须思考的重点.

参考文献：

［1］章建跃.通过计数原理感悟运算真谛 利用排列组合提升思维品质[J].数学通报，2021，60（11）：6-13.

［2］林玉慈.高中数学课程中的逻辑推理及教学策略研究[D].长春：东北师范大学，2019.