加强“构”“悟”融合　促进思维灵活进阶

何献菊　廖雪刚

摘要：近几年高考试题深化基础性考查，注重数学的本质与创造性思维，深入考查核心素养和关键能力.高三二轮复习是学生提升能力、灵活思维的关键时期，可以在二轮复习中开展“一题一课”教学实践，在解题教学过程中加强对问题“结构”的合理设置，引导学生对解题本质的“领悟”，促进思维的灵活性，达成减量提质之效.

关键词：高考复习；一题一课；数列

1 问题提出

最近几年的高考全国卷数学试题，大大降低了“题海战术”“机械刷题”的效益，部分学生在高考场上手足无措，觉得试题难度大，计算量大，思维量大，从而发挥失常.针对以上现象，在二轮复习中，可以尝试对解析几何、立体几何、导数、数列、解三角形等模块内容进行“一题一课”教学，建立知识结构框架，训练学生灵活运用基础知识解答问题的能力.下文中，以一道高考数列题为例尝试进行二轮复习“一题一课”教学.

2 教学过程

2.1 精选例题，“一题”引入学习主题

教学实践表明，在高考复习中，“一题一课”多解变式教学模式的运用应常态化.学生经过一轮复习，虽然知识体系系统化，解题方法通性化，但是一题多解不熟练，变式能力较欠缺.二轮复习精选试题，一题多解，变式变解，能激发学生的思维，加深学生对知识、题型间相互联系的理解，从而提高学生应对综合性、应用性和创新性考查的能力.

例 （2020年·全国卷Ⅲ）设数列{an}满足a1=3，an+1=3an－4n.

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn.

试题分析：该试题起点低，背景深，是一道值得细品多悟的高考好题.第（1）问计算a2，a3，猜想{an}，体现了特殊到一般的思想，数学归纳法顺势而生，解题思路直截了当.学生对于数学归纳法不熟悉，书写格式模糊，是一个“会而不全”的典型试题.第（2）问为错位相减求和，第（1）问即使不会证明也可进一步完成第（2）问，层次明显，面向各个层次的学生.

2.2 巧设问题链，架构“一课”学习序列

问题1 （展示真题）请同学们迅速阅读题目，思考第（1）（2）问的解题方法.

设计意图：一方面，训练学生的审题能力，相信解题的第一感觉，了解学生对基本解法的掌握情况；另一方面，第（1）问因学生对数学归纳法不熟练，书写上不严谨，因此可以此為契机，改编条件，一石激起千层浪，进入主题.

问题2 请改变条件“an+1=3an－4n”，变成大家熟悉的递推公式，并根据a1=3，求{an}的通项公式.

生1：改为“an+1=3an”，则数列{an}是公比、首项均为3的等比数列，an=3n.

生2：改为“an+1=an－4”，则数列{an}是公差为－4，首项为3的等差数列，an=7－4n.

生3：改为“an+1=3an－4”，变形后利用待定系数法，得an+1－2=3（an－2），解得an=3n－1+2.

设计意图：让学生改变题目条件，回到熟悉的等差数列、等比数列和利用待定系数法求通项公式，回归基础，回忆通性通法.

设计意图：回归通性通法，提高计算能力，便于与待定系数法进行比较.

设计意图：灵活运用待定系数法解决错位相减类型求和问题，感悟待定系数法的妙处，思维迁移.

问题7 求数列n2/2n的前n项和Sn.

设计意图：增加难度，“逼迫”学生想办法解决问题，避免生搬硬套.学生在变式中要敢于利用通性通法，大胆尝试，积极思考；同时，在变式中灵活选择解题方法，深度思考问题.

2.3 回望梳理过程，悟出解题思路

问题8 请同学们梳理思路，然后自由发挥，解答例题第（2）问.（学生多种解答方法略.）

数列解答题的通性通法较多，学生难以发散思维，灵活运用通法解答变式创新题，帮助学生在二轮复习中建构数列解题体系.环节一（问题1～2），从学生熟悉的等差数列、等比数列入手改编真题，步步为“营”，改变条件，增加难度，拓展思维，促进学生思维的灵活性，提炼出解答数列一般题型的本质即待定系数法.环节二（问题3～7），在环节一的铺垫下，学生求解真题.环节三（问题8），一题多解，提升解题能力.此过程重点是教师对问题的“架构”，关键是让学生经历解题全过程，形成自己的“领悟”.

3 课后反思

高三二轮复习主要关系到两个方面：一是在解题教学中，如何构建兼顾数学核心素养培育与高考应试能力培养的教学模式；二是在教学中如何落实数学核心素养的培育[1].万变不离其宗，“问题是数学的心脏”.如何借题发力，培育学生的核心素养，杨孝斌教授认为，借助波利亚解题思想与“三教”理念，可构建“一题一课多解变式”教学模式.高三二轮复习“一题一课”，有一题多解、一题多变、一题多说三种教学模式，教师可在实践中摸索以上教学模式.

参考文献：

[1]杨孝斌，吕传汉，吴万辉，等.高中数学“一题一课多解变式”教学模式的理论构建与实践探索[J].中小学课堂教学研究，2021（11）：14-19.