导数在不等式证明中的应用探究

夏奕雯

摘要：不等式常见的证明方法有构造法、比较法、反证法等，但是，一些不等式利用这些方法证明比较困难，而利用导数证明不等式不但能精简证明流程，而且能确保证明结果的准确性.本文中主要分析了利用函数凹凸性、导数定义、拉格朗日中值定理证明不等式的详细方式，且给出了多种方式的适用范畴，结合实际情况整理了使用多种方式开展不等式证明的主要观点.

关键词：导数；不等式证明；拉格朗日中值定理；函数凹凸性

1 利用函数凹凸性证明不等式

判断函数凹凸性并以此来证明不等式较为直观.首先要明确凸（凹）函数的定义.

定义1[1]：若f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1），总有

本题就是利用导数定义证明不等式的典型案例，有如下两点特征：（1）在对f（x）=a1sin x+a2sin 2x+……+ansin nx求導后，得出的结构实际就是需要待证明的不等式的左边；（2）通过导数的定义得出f′（0），继而利用不等关系|f（x）|≤|sin x|建立f′（0）和limx→0sin x/x[JB）|]=1之间的不等关系，以此对不等式进行证明.

本文中对导数在不等式证明中的具体应用进行了探讨，并给出了几道例题，值得关注的是通过导数证明不等式，不只有本文当中所阐述的几种方式，还包括其他方法，如导数与积分的融合等.利用导数证明不等式时，一般要构造辅助函数，然后结合具体问题和函数的性质灵活加以运用.当然，证明不等式，还可以通过综合多种方式达到目的.

参考文献：

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