问题驱动教学，环节层层递进

戴锋　刘静锐

新课程改革要求高中数学课程注重对学生基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的培养，提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.学历案较以往的教案、学案、导学案等教学方式，更加注重学生在学习过程中知识的理解、能力的提升与核心素养的培养，注重“需求、目标、内容、实话、评价、反思”等要素一致，优化了教育教学理念，拓展了学习思维与能力.下面以笔者“函数的零点与方程的解”这节课为例，对这一单元的学历案的教学 过程和评价过程设计加以展示与剖析.

1 合理问题驱动，设计教学过程

1.1 创设情境，提出问题

问题1 教材（人教A版）在“2.3二次函数与一元二次方程、不等式”中提出：我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.一元二次方程ax2+bx+c=0的根，就是二次函数y=ax2+bx+c的零点，也就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.那么更一般情况，又是怎样的？

（1）概念引入

对于一般函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点.

（2）概念理解

探究1 方程视角.对于不能用公式求解的方程f（x）=0，可以通过分析函数y=f（x）的图象和性质得到零点的信息，进而得到方程的解.

方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系如图1所示：

探究2 图象视角.如图2，观察函数y=f（x）的图象，y=f（x）有几个零点？零点分别在哪个区间？零点附近，图象特征如何？

探究3 函数值视角.图2中函数y=f（x）零点附近函数值有何规律？

师生活动：学生认真思考、观察，得到函数f（x）的图象与x轴不仅仅是有公共点，更重要的是穿过了x轴；教师利用几何画板展示动态图象，凸显函数的取值规律，引导学生把“图象穿过x轴”这种形状特征用“f（a）·f（b）<0”这种数值规律表达出来.

设计意图：探究1类比一元二次函数的零点得出一般函数的零点及其相关结论，从具体到抽象的过程学生是容易接受的，没有必要作特别的解释；探究2给出了一个学生相对陌生且复杂的图象，突出考查学生对零点的理解，图象三次穿过x轴更容易让学生发现图象的本质特征，拓宽了学生对函数图象的认识，为后续自主画出各类函数图象并进行研究作铺垫；探究3有一定的难度，实际上这是一个数形结合、将形转化成数的过程，因此教师给出的动态图象有助于学生发现与探索.

1.2 抽象概念，內涵辨析

根据上述探究，抽象出函数零点存在定理，如表1.

（1）函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线.

（2）满足f（a）·f（b）＜0.

结论/

函数y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.

问题2 （1）你能通过作图直观说明零点存在定理吗？为什么结论是“至少有一个零点”？

（2）利用函数零点存在定理证明方程x3+x－3=0在区间（1，2）内有解.

（3）利用函数零点存在定理说明方程ln x+2x－6=0有解，并给出解的一个存在区间.

（4）小结：如何利用函数零点存在定理证明方程有解？

师生活动：在问题1的基础上，教师直接给出函数零点存在定理，没有严格证明，仅要求学生作直观上的认同即可.问题2（2）（3），学生独立完成并展示，教师点评指出不足，引导学生进一步总结定理的使用方法.

设计意图：鼓励学生自主作出函数图象，理解函数零点存在定理，即函数图象穿过x轴，由于穿过x轴的次数是不确定的，因此零点的个数也不确定.问题（2）属于定理的直接应用；问题（3）则要求学生自主取点求值，找到两个函数值异号的点才能应用定理；问题（4）进一步明确利用函数零点存在定理判断方程有解的步骤.

问题3 （教材第155页习题4.5第2题）已知函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应数表（表2）：

问：函数y=f（x）在哪几个区间内一定有零点？为什么？

探究1 因为f（1）f（4）>0，f（1）f（2）>0，那么是否可以说函数y=f（x）在区间（1，4），（1，2）内没有零点？你能画出y= f（x）在区间（1，2）内的图象并作出直观解释吗？

探究2 根据上面的分析，“f（a）f（b）<0”是“y=f（x）在区间（a，b）内有零点”的什么条件？

探究3 能确定函数y=f（x）在区间[1，6]内零点的个数吗？若要确定零点的个数，还需要知道什么？

师生活动：学生独立思考并板书展示，教师结合学生作答补充完善.

设计意图：进一步挖掘教材习题的价值，在学生自主分析、作图、判断的前提下，提醒学生注意，函数零点存在定理只是给出了函数有零点的一个充分不必要条件，利用函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定函数无零点或零点的个数.如果要判断零点的个数，还要与函数的性质相结合，为问题4的解决做铺垫.

1.3 例题练习，巩固理解

问题4 （教材第143页例1）求方程ln x+2x－6=0的实数解的个数.

追问：讨论方程ln x=6－2x解的个数与分布情况.

师生活动：学生独立思考、交流讨论，教师展示学生答案并引导学生得出判断简单函数零点个数的一般方法，并得出函数零点存在定理在单调基础上的推论——如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调，图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有且仅有一个零点.

设计意图：追问中，学生容易将方程ln x=6－2x的解转化为方程ln x+2x－6=0解，即和问题4一致.除此之外，教师也可引导学生从图形的角度分析，y=ln x，y=6－2x都是基本初等函数，其图象学生已经掌握，方程ln x=6－2x的解也是函数y=ln x与y=6－2x图象公共点的横坐标，通过画图，很直观就能观察得到公共点的个数和横坐标的范围，进一步拓展数形结合思想.

2 检测学习成果，落实评价任务

问题5 总结：谈谈你对解方程方法的认识和对函数零点存在定理的理解.

学生一起归纳总结，形成知识体系（如图3）.

练习 （1）（教材第155页习题4.5第3题）略.

（2）求方程x3+x－3= 0实数解的个数.

设计意图：进一步巩固函数零点存在定理的应用，形成知识的应用迁移.

3 学后反思，发展核心素养

3.1 过程展示，暴露思维

通过一系列问题的巧妙设置，借助学历案的合理设计，从概念的引入到定理的给出、理解与应用等展示这节课的整个过程，充分暴露学生数学思维中的一些关键节点，克服难点，进一步有效理解定理.其实，函数零点存在定理只是给出了函数有零点的一个充分不必要条件，“连续不异号”不能判定该函数是否有零点，另外零点存在定理也不能判定零点的个数，这些都是学生容易混淆的地方.

3.2 思想引领，关注主体

基于学历案的教学设计，是通过数学思想方法与任务驱动引领课堂.在实际课堂教学中，以问题驱动教学，通过合理的设问、追问等方式，问题设置层层递进、环环相扣，清晰、准确地把握学生的思维状态，把课堂还给学生，关注学生的主体地位，真正做到了将以学生为本、问题引导、任务驱动的理念贯穿堂课始末.

课题信息：江苏省教育科学“十四五”规划2021年度重点课题“基于学历案的高中数学主题单元教学模式建构与实践探究”，课题批准号为B/2021/02/152.