浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用

冯月华

在高中数学教学中，一题多解与一题多变教学是常用的方法，以期通过多角度分析达到夯实基础，培养学生创新能力和探究能力，提高学生发现、提出、分析和解决问题能力的目的[1].下面笔者以两道典型的三角函数题为例，谈谈对一题多解与一题多变教学的一些粗浅认识，供参考！

1 一题多解，培养思维的发散性

师：很好！生2从问题出发，灵活运用有关三角恒等变换公式，将已知和问题建立了联系，真正体现了知识的活学活用.

学生给出预设的两种解法后，教师准备开始其他问题的探究，但生3又提出了新思路.

生3：可从已知条件出发，因为tanα/2+π/4=－3，利用二倍角公式得tan（α+π/2）=3/4，所以tan α=－4/3，则sin α=±4/5，解得1+sin α=35/5或5/5.我感觉自己的思路和过程没有问题，但是却和前面两位同学的结果不一致.

生3给出的方法超出了教师的预设，教师一时不知如何回答.不过该方法是学生的真实想法，且具有一定的科学性和探究性，为此选择与学生共同探索，挖掘答案不一致的真正原因.

师：生3的答案和之前两位同学的答案不一致，是前面两位同学的结果不够完善，还是生3的结果存在增根呢？这个确实是一个非常有价值的问题.问题到底出现在哪里呢？

生4：我感觉生3的解题思路和计算过程没有问题，已知条件仅给出了tanα/2+π/4=－3，没有给出α的范围，所以很难确定α的终边在哪一个象限.

师：条件中确实没有给出α的范围，那么α的范围真的没有办法确定吗？

生5：可以将tanα/2+π/4与特殊角的三角函数比较，逐步缩小角的范围.由tanα/2+π/4=－3<－3，得kπ－π/2<α/2+π/4

师：分析得非常有道理！那么是什么原因使生3解题时出现了增根呢？

生6：问题应该出现在“由tanα/2+π/4=－3，利用二倍角公式得tanα+π/2=3/4”这一步的变换上，变换时扩大了α的范围，从而出现了增根.

对于同一题，思考的角度不同，其解决方法也会有所不同，不过最终的结果是一致的.在日常教学中，教师应鼓励学生尝试从不同角度探索解决问题的方法，这样可以有效激活学生的原认知，提高分析和解决问题的能力.

2 一题多变，培养思维的灵活性

例2 已知α是三角形的内角，且sin α+cos α=1/5，求tan α的值.

例2考查同角三角函数基本关系式及其应用，难度不大，教师先让学生独立求解，然后师生互动交流.

师：对于例2，大家是怎么想的？

生1：我是用方程的思想方法求解的，由sin α+cos α=1/5和sin2α+cos2α=1，解得sin α=－3/5，cos α=4/5，或sin α=4/5，cos α=－3/5.又α是三角形的內角，所以sin α=4/5，cos α=－3/5.所以tan α=－4/3.

师：非常好！根据同角三角函数的基本关系式，运用方程的思想方法顺利解决了问题.对于该题，大家还有其他解题思路吗？

生2：由（sin α+cos α）2=1+2sin αcos α=1/25，得2sin αcos α=－24/25<0.又α是三角形的内角，所以α为钝角，则sin α>0，cos α<0.又（sin α－cos α）2=49/25，所以sin α－cos α=7/5，将其与sin α+cos α=1/5联立，求得sin α=4/5，cos α=－3/5，所以tan α=－4/3.

师：很好！根据角的范围判断三角函数的符号往往是解三角函数问题的关键，解题时切勿忘记.

学生顺利完成例2的解答后，教师给出如下变式问题：

变式 若tan θ=2，求sin2θ+sin θcos θ－2cos2θ.

此变式同样考查“sin2θ+cos2θ=1”的灵活运用，将原式变为sin2θ+sin θcos θ－2cos2θ/sin2θ+cos2θ，将此式的分子分母同时除以cos2θ，转化为关于tan θ的式子，进而将已知条件代入即可求得答案.

例2及变式求解后，教师引导学生对以上解题方法进行归纳总结，从而提高学生解决一类问题的能力.在此基础上，教师继续提出新问题：

（1）变式的条件还可以做怎样的变形？如果将tan θ=2变为tan θ/2=2或3sin θ+cos θ=0或sin（3π+θ）=2sin3π/2+θ，该如何求解？

（2）变式的问题还可以做哪些变形？如果是2sin θ－cos θ/sin θ+2cos θ，1/cos2θ+2sin 2θ，sin 2θ－cos2θ/1+cos 2θ，又该如何求解？

通过以上变式，引导学生体会该类题型考查的核心内容是sin2θ+cos2θ=1，tan θ=sin θ/cos θ与“1”的灵活应用，题目虽然形式不同，但是所用的知识、思路与方法基本相同.这样通过一题多变既能加深对相关知识、方法的理解，又能增强学生解题信心，提高学生解决问题的能力.

数学题目千变万化，更换一个条件或结论就会成为一道新题.为了帮助学生跳出“题海”，教学中应注重对一些典型例题进行变式教学，这样既能加深相关知识的理解，又能激发学生的探究欲望，提高学生的思维能力和学习能力，从而让学生逐渐爱上数学学习[2].

3 结束语

在实际教学中，教师要通过一题多解与一题多变为学生提供更多的自主探究空间，以此帮助学生加深对所学知识的理解，培养良好的学习习惯和独立的个性.

学生是课堂的主体.教学过程中，教师要尊重学生、相信学生，提供时间和空间让学生主动参与课堂，切实提高教学有效性和学生数学能力.在实际教学中，教师既要进行充分的预设，又要及时捕捉精彩的课堂生成，以平等对话的态度了解学生的真实想法，共同研究解决问题的策略，激发学生参与课堂的积极性，促成深度学习.

总之，在解题教学中，教师切勿越俎代庖，应该充分发挥学生的主体价值，通过一题多解、一题多变教学提炼解题规律和解题方法，培养学生的创新、探究能力，提升教学有效性.

参考文献：

［1］郭靖.基于核心素养的引导探究教学模式的探索与实践——高中新教材不等式性质的教学案例[J].中文科技期刊数据库（全文版）教育科学，2021（6）：168-170.

［2］陈光建，郑日锋.一花一世界 一题一天地——一节高考二轮复习的教学设计及反思[J].中小学数学（高中版）2013（4）：20-22.