动点变化巧创设，半径最值妙转化

徐玥

摘要：涉及空间立体几何中的动点变化问题以及空间几何体的外接球问题，是空间几何中最为热点的两类问题.结合一道高考模拟题，将这两个热点问题加以交汇融合，探求动点变化条件下三棱锥外接球半径的最值，从几何与代数两个思维视角切入，利用不同的技巧方法来处理，有效指导数学教学与复习备考.

关键词：正方体；动点；外接球；半径；最值

立体几何中的动点问题，是创新情境背景下的一类特殊问题，主要通过空间动点的运动变化，结合一些特殊条件的限制，进而研究与之相关的空间几何体的一些最值或取值范围问题.其中空间几何体的外接球问题，是此类问题中的一类热点与难点问题.解决问题的关键就是合理审题，借助一些“动”与“不动”的要素，认真分析动点变化特点，寻找静态因素与动态因素之间的关系，从静态因素中寻找解决问题的突破口，以“静”制“动”，以“静”带“动”，“动”中寻“静”，“动”“静”结合，巧妙处理.

1 问题呈现

问题 〔2023年浙江省杭州高级中學高考数学模拟试卷（5月份）〕如图1，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1上的动点（不含端点），则三棱锥M-AB1C的外接球的半径最小值为（）.

此题以正方体为背景，结合“定底面变顶点”的三棱锥M-AB1C的创设，以“动”态形式给出场景，通过对应三棱锥M-AB1C的外接球半径的“变化”来确定其最小值问题.

问题动静结合，解题时，可以从两个视角切入：

（1）几何法，这是解决此类问题的常规思路，首先找到外接球的球心，然后建立与外接球半径有关的方程，解方程即可；

（2）代数法，对大部分学生而言，解决空间立体几何问题的通法仍然是建立空间直角坐标系，找出与半径有关的数量关系，建立目标函数，求得最值即可.

3 教学启示

3.1 剖析动点变化，挖掘解题模型

立体几何中的动点变化问题，往往隐藏于该动点所处的空间几何模型中，抓住动点的运动规律，挖掘对应的空间几何模型是制胜法宝.

在解题的过程中，关注空间想象以及逻辑推理的应用，做到“胸有图形”，“动”中寻“宝”，构建正确的空间图形.具体解答时，或借助逻辑推理利用几何法定性分析，或引入参数利用代数法定量计算等，不同思维视角与应用都可以很好地实现“动”与“静”的和谐统一与转化.

3.2 空间最值问题，解题技巧策略

涉及立体几何中的动点最值或取值范围问题，正确剖析题目条件，把握问题的内涵与实质，解题的常见基本技巧与策略有：

（1）“动中觅静”思维.结合动点变化过程中的不变性，抓住“动”的过程中的一个瞬间——“动”中取“静”，此时是运动的一种特殊形式，化一般情形为特殊情形，问题迎刃而解.

（2）降维思维.化“三维”为“二维”，将空间动点变化问题转化到同一个平面上对应元素的运动与变化，巧妙降维处理，利用平面几何的知识来分析与应用.

（3）坐标思维.合理构建空间直角坐标系，结合动点坐标的设置与应用，利用空间知识来分析与处理，利用函数与导数、不等式等相关知识来分析与应用.