基于数学思想方法的数列教学探究

付迪

现代数学教学观认为，应该着重发展学生的思维，提高数学能力.现代教育的核心是全面提高学生的素质.而这些任务的具体实现，在很大程度上依赖于数学方法的教学.我国数学课程标准已将数学思想方法的学习列入基础知识的范畴，并提出了明确的要求.要发展学生的思维、培养数学能力、提高文化素养，就必须让学生了解数学知识形成的过程，明确其产生和发展的外部与内部的驱动力.而在数学概念的确立、数学事实的发现、数学理论的推导以及数学知识的运用中，所凝聚的思想和方法，乃是数学的精髓.它会对学生的思维及整体文化素质产生深刻而持久的影响，使学生受益终生.

数列是高中数学的重要组成部分.教学中，教师不仅要引导学生掌握数列部分的核心内容，更要让学生体悟数列中蕴含的数学思想方法.只有让学生站在数学思想方法的高度看数列问题，才能达到“统领全局”和“一览众山小”的数学学习境界.那么，在数列教学中，教师应引领学生把握哪些基本的数学思想方法呢？对此，笔者做了些许研究，现总结如下，算是抛砖引玉，与同仁共探.

1 函数思想

数列是一类特殊的函数.既然数列是函數，那么，教师就应该引导学生用函数的思想去认识和解决数列问题.

例如，在数列的教学中，教师应让学生认识到等差数列的通项公式具有一次函数的特征，等差数列的前n项和公式则具有二次函数的特征；等比数列的通项公式和前n项和公式都与指数型函数有着“亲密”的关系.基于函数的观点去理解数列，能帮助学生抓住数列问题的本质，从而使学生对更多数列问题的理解达到一个新的高度.

方法2，利用函数思想.把等差数列看成定义在正整数集上的一次函数，把等比数列（q≠1）看成定义在正整数集上的指数型函数.由a1=b1，a11=b11可知，函数图象有两个交点，如图1所示.显然a6>b6，且当1bn成立；当n>11时，都有an

以上两种方法，第一种方法看似简捷，但学生不易想到，而第二种方法通过数列特征的理性分析和函数图象的直观感觉，学生更容易接受.第二种方法这种解决问题的思想更接近学生思维的最近发展区，函数思想能让学生把数列问题看得更清，把握得更准.

2 方程思想

数学运算是数学核心素养之一.在数列问题中，常常需要用到基本量法，而等差数列有两个基本量a1，d，等比数列也有两个基本量a1，q.等差数列与等比数列的两类基本问题，即通项公式an与前n项和Sn都可以用基本量来表示.因此，求数列中相关的量可以通过列出关于两个基本量的方程组来求解，这是一种基本思想，也是处理数列的基本方法，应要求学生牢固掌握.

或许有人认为，本题采用等比数列的基本性质求解更简捷.因为数列{an}是等比数列，所以a1+a2，a3+a4，a5+a6，a7+a8也成等比数列，进而可以更加简便快捷求出问题的答案.但需要注意的是，数列教学中，教师是要教给学生解决问题的特殊技巧，但更要教会学生最常用的基本方法.

3 化归与转化思想

教会学生把握数学的本质，从某个角度看，就是教会学生化归与转化的思想方法.等差数列与等比数列是数列中最基本的两个数列，说其基本，是因为其他数列问题常常可以转化为这两个基本数列来解决.在转化过程中，不仅能提升学生的逻辑推理素养，而且能提升学生利用这两个基本数列解决问题的能力.因此，在教学中，教师需要让学生深刻领悟化归与思想的作用，

这里值得一提的是，函数迭代和数列递推是新课标高考综合题常用到的思想方法.这类问题从本质上看，是考查函数的性质和函数方法在数列中的应用.与此同时，利用迭代和递推也经常可以实现由一般数列向等差数列、等比数列的化归与转化，深刻考查转化的数学思想.

4 分类讨论思想

分类讨论思想，渗透于高中数学的任何一个知识模块.在数列内容中，等比数列的前n项和公式Sn=[JB（{]na1（q=1），a1（1－qn）/1－q（q≠1）就是以分类讨论的形式给出的.在教学中，教师应提醒学生运用这个公式时，要特别注意公比q是否需要分两种情形进行讨论.此外，对于一般数列，应用数列的前n项和Sn与项an的关系式an=[JB（{]S1（n=1），Sn－Sn－1（n≥2）时，也要注意n=1的情况，以培养学生数学思维的严谨性.

例4涉及等比数列求和.当公比为一个数值时，等比数列求和问题难度不大，只需严格按照等比数列的求和公式实施运算即可，但当公比是一个未知的参数时，由于受思维定式的影响，学生往往还是“依瓢画葫芦”，缺乏分类讨论的意识.为了提高学生的“免疫力”，在数列教学中，教师可以加强这类问题的训练，以此来培养学生数学思维的严谨性与广阔性，提升学生的数学素养.

总之，数学思想方法的学习可以使学生有意识、有目的，并自觉地把数学知识转化为数学能力，最终通过自身的领悟转化为创造性能力.因此，在数列教学中，加强学生对数学思想方法的学习和领悟，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要方法，也是培养学生数学核心素养的重要途径.